東北大学 理系 数学|2012年度大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

東北大学 理系 数学|2012年度大学入試数学

●東北大理系は難易度に変化なし


いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^




いよいよやってきました。2次試験の大学入試シーズンです。


2012年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2012大学入試シリーズ第30弾。


はじまりました、国公立大学入試。


国公立シリーズ、第13弾。

東北大学(理系)です。




問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、

典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



難易度の指標は、こんな感じです。


SHIN KATSUYA Online

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。


E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。


※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの

標準的な時間です。



したがって、

目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越える

ことも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、

ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。



※2012年の数学の記事から、「Principle Piece」という言葉が登場します。

>> 意味分かってから見たほうが、ぜったい数学の実力上がります^^



東北大学(理系)  

(試験時間150分)




全体総評・合格ライン


2010年は超難化で、2011年は落ち着きすぎでしたが、今年は平年並みに戻りました。


すべての問題に対して、いくつかポイントがあり、正しくクリアしないと泥沼にはまってしまう感じで、試験としては非常に怖いセットでした。


ヘタすると完答は0、うまくいけば全完という感じの試験。


また、いつも後半に出される行列は、今年は第2問でした。

また、2,4,5,6問がⅢCですが、ⅠⅡABとうまく融合されていて、出題バランスが非常に良くとれています。



試験時間150分に対し、

目標解答時間合計は170分。

計算量が多いため、オーバーです。しかも途中に落とし穴がぼこぼこ空いているような問題なので、さらに時間を食われる可能性があります。



KATSUYAは、ちょうど100分で終了しています。





☆第1問・・・領域、存在範囲(B、20分、Lv.2)


方針を間違えなければどうってことはない問題ですが、(1)などは経験がないと、これでも泥沼にハマる可能性は大です。


(1)は、s、t に関する条件が分かっているのなら、s、t をx、y で表せばいいわけです。


うすれば、x、yに関する条件に変わりますもんね。



(2)は、積が入っていますから、簡単に表せません。しかし、すべての実数を取りますから、こんどは十数階条件に持ち込みましょう。


まとめて、原則としておきます。

Principle Piece Ⅱ

存在範囲の問題 

→ 1次式なら連立方程式を解く

→ 積があるなら方程式の実数解条件


しかし、この原則もレベルは高く、類題経験がないと迷ってしまいますね。



KATSUYAの感想


おっと、最初はこういうパターンか。最初から差が出そうな感じだ。解答時間13分。




☆第2問・・・行列、1次変換(B、30分、Lv.2)


昨年の行列は簡単すぎてちょっとすかされました。一昨年は難しすぎでした。今年の行列は良問です^^


こちらも、うまく穴が用意されています。B^3 はまともに計算すると6次式ですから、計算量5倍です。



y=mx に関する対称移動は、以下の3つの動作の合成(行列では積)で求められることは、知っていると思います。(m=tanθとおくと)


原点周りに-θ回転 → x軸に関する対称移動 → 原点周りにθ回転


最後にcos2θやsin2θが出てきますが、こちらがmで表せることを知っていないと、ここも泥沼です。



東北大受験者なら覚えている人もいたでしょう。


でも、覚えているんなら過程も必ず書けるようにしてください。


過程が書けないなら、覚えてはいけません。



θを使わない場合は、こちらの原則に従って下さい。

Principle Piece Ⅱ

直線Lに関して、 Pと対称な点Qの求め方 

① PQ⊥L

② PQの中点がL

これで求められます。それを行列の積の形にすればOKです。



(2)のような方程式場合の原則です。2次、3次のことが多いですが。

Principle Piece C

方程式 A^nE 


ハミルトン・ケーリー利用で次数下げ


これで、○K=●E のような形にして、場合わけですね。



KATSUYAの感想


対称移動の計算はいいとして、最後はHC定理使ってもちょっとめんどくさいな。解答時間19分。



☆第3問・・・確率(B、30分、Lv.1)


カードを同時に取り出し、数字が一致するかどうかを議論する問題。Nの数字が小さくて何よりでしたね。


それでもちょっとボリュームあります。


(1)と(2)はほぼ独立していて、(1)もうまく数えないと、何が同様に確からしいか混乱してしまいます。

期待値が1にならなければおかしいと思えるセンスがあれば、(1)は間違えないかと。



(2)のほうが個人的には簡単かと思います。


pn はすぐです。 qn も、東北理系受験者であれば 類題経験済みで、多分大丈夫でしょう。






KATSUYAの感想


こちらも類題経験の有無で差が出そうな問題。このセット、怖いなぁ。。。解答時間18分。



☆第4問・・・絶対値付き積分、最大、最小(BC、30分、Lv.2)

出ました。難関大でもお好きなパターン。この手のパターンの原則です。

Principle Piece ⅡⅢ

絶対値付き積分

→ 絶対値の中身=0 になる t の値を、積分区間がまたぐかどうかで場合分け



場合わけはラクですが、積分はこちらもまたまた、類題経験がないと考え込みそうな積分。気づけば計算は一瞬のはずなんですが・・・。


また、その後の微分も2回行うとなると、結構計算量おおいですね^^;


KATSUYAの感想

また類題経験で差が出そう。今年は類題経験だけで決まりそうな予感。解答時間18分。





☆第5問・・・図形、微分法(C、30分、Lv.2)


ある線分のながさの最大を求める問題。図形自体は非常に単純ですが、こちらも(1)から下手すると手詰まりです。

(1)を求めるときに、∠ABP=θ とでも置いておくとよかったと思います。

Principle Piece ⅠⅡA

長さの問題では、角度をパラメータにする


こちらも、何回も紹介している気がします。



また、これを用いなくても、△ABP=△APQ+△BPQ と2通りに表すことで求まります。しかし、(2)で最大値を求めるときには、実はθで表しておいたほうが、増減は見やすいです。

ここでの最大のポイントは、y ではなく 1/y を考えるところでした。(積/和)になっている場合は、(和/積)にしたほうが分けれます。


また、x や√(1ーx^2) ばっかりが出てくるときは、θ変形に気づいて欲しいですね^^


こちらも答えはややこしく、計算量の多さは想像がつきます。


KATSUYAの感想

逆数を考えるところは難しいかな。答えとして書くと簡単に見えるだけに、微妙。解答時間18分。




☆第6問・・・漸化式、極限(BC、30分、Lv.2)


漸化式と極限の問題。東北大受験者であれば経験済みでしょう。やり方も同じ、誘導もいつもと同じです。


ただ、分数の無理関数は計算がふくれあがりますね。

(4)の形をみれば、平均値の定理を適用しましょう。

Principle Piece Ⅲ

一般項不明の漸化式の極限

→ 平均値の定理の形の不等式



今回は微分がややこしいので、素直に引いたほうがよかったかもしれませんが、√つきなのでうまく変形しないと計算量はかなり増えます。




KATSUYAの感想


こちらも、泥沼への招待状あり。絶対抑えたい、と言える問題がないのが怖いな。解答時間14分。






合格ライン


どの問題も、同様に泥沼ありの、類題経験による差ありというセットでした。


解きやすい順番に書いておきます。


第1問 → 第3問 → 第2問 → 第4問 → 第6問 → 第5問



このうち、第4問ぐらいまで完答できれば問題はないでしょうが、そうもいかないと思うので、この順にまんべんなく点数を稼ぐ感じで、半分強とれればいいかと。 60%ぐらいですね。





対策


出題分野に偏りがなく、行列や1次変換含め、どこからも出題される雰囲気です。


積分は毎年少しひねったものが出ますので、過去問を解く際にはよく研究しておきましょう。


領域系統もよく見かけます。こちらも要チェック。


原則(Principle Piece)の存在を確認するために量をこなし、自分で原則が適用出来るように、じっくり演習をおこなうことがベスト。



以上です^^


 

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