東北大学　理系　数学｜２０１２年度大学入試数学

●東北大理系は難易度に変化なし

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾

いよいよやってきました。２次試験の大学入試シーズンです。

２０１２年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１２大学入試シリーズ第３０弾。

はじまりました、国公立大学入試。

国公立シリーズ、第１３弾。

東北大学（理系）です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、

典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

難易度の指標は、こんな感じです。

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。

E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの

標準的な時間です。

したがって、

目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越える

ことも、当然ありえます。

同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、

ヒントや答えをみるといい　という目安にしてください。

※２０１２年の数学の記事から、「Principle　Piece」という言葉が登場します。

＞＞　意味分かってから見たほうが、ぜったい数学の実力上がります＾＾

東北大学（理系）　　

（試験時間１５０分）

全体総評・合格ライン

２０１０年は超難化で、２０１１年は落ち着きすぎでしたが、今年は平年並みに戻りました。

すべての問題に対して、いくつかポイントがあり、正しくクリアしないと泥沼にはまってしまう感じで、試験としては非常に怖いセットでした。

ヘタすると完答は０、うまくいけば全完という感じの試験。

また、いつも後半に出される行列は、今年は第２問でした。

また、２，４，５，６問がⅢCですが、ⅠⅡABとうまく融合されていて、出題バランスが非常に良くとれています。

試験時間１５０分に対し、

目標解答時間合計は１７０分。

計算量が多いため、オーバーです。しかも途中に落とし穴がぼこぼこ空いているような問題なので、さらに時間を食われる可能性があります。

ＫＡＴＳＵＹＡは、ちょうど１００分で終了しています。

☆第１問・・・領域、存在範囲（B、２０分、Lv.２）

方針を間違えなければどうってことはない問題ですが、（１）などは経験がないと、これでも泥沼にハマる可能性は大です。

（１）は、s、t　に関する条件が分かっているのなら、s、t　をx、y　で表せばいいわけです。

こうすれば、x、yに関する条件に変わりますもんね。

（２）は、積が入っていますから、簡単に表せません。しかし、すべての実数を取りますから、こんどは十数階条件に持ち込みましょう。

まとめて、原則としておきます。

Principle　Piece　Ⅱ

存在範囲の問題　

→　１次式なら連立方程式を解く

→　積があるなら方程式の実数解条件

しかし、この原則もレベルは高く、類題経験がないと迷ってしまいますね。

KATSUYAの感想

おっと、最初はこういうパターンか。最初から差が出そうな感じだ。解答時間１３分。

☆第２問・・・行列、１次変換（B、３０分、Lv.２）

昨年の行列は簡単すぎてちょっとすかされました。一昨年は難しすぎでした。今年の行列は良問です＾＾

こちらも、うまく穴が用意されています。B^3　はまともに計算すると６次式ですから、計算量５倍です。

y＝mx　に関する対称移動は、以下の３つの動作の合成（行列では積）で求められることは、知っていると思います。（m＝tanθとおくと）

原点周りに－θ回転　→　x軸に関する対称移動　→　原点周りにθ回転

最後にcos２θやsin２θが出てきますが、こちらがmで表せることを知っていないと、ここも泥沼です。

東北大受験者なら覚えている人もいたでしょう。

でも、覚えているんなら過程も必ず書けるようにしてください。

過程が書けないなら、覚えてはいけません。

θを使わない場合は、こちらの原則に従って下さい。

Principle　Piece　Ⅱ

直線Lに関して、 Pと対称な点Qの求め方　

①　PQ⊥L

②　PQの中点がL上

これで求められます。それを行列の積の形にすればOKです。

（２）のような方程式場合の原則です。２次、３次のことが多いですが。

Principle　Piece　C

方程式　A＾n＝E　

ハミルトン・ケーリー利用で次数下げ

これで、○K＝●E　のような形にして、場合わけですね。

KATSUYAの感想

対称移動の計算はいいとして、最後はHC定理使ってもちょっとめんどくさいな。解答時間１９分。

☆第３問・・・確率（B、３０分、Lv.１）

カードを同時に取り出し、数字が一致するかどうかを議論する問題。Nの数字が小さくて何よりでしたね。

それでもちょっとボリュームあります。

（１）と（２）はほぼ独立していて、（１）もうまく数えないと、何が同様に確からしいか混乱してしまいます。

期待値が１にならなければおかしいと思えるセンスがあれば、（１）は間違えないかと。

（２）のほうが個人的には簡単かと思います。

pn　はすぐです。　qn　も、東北理系受験者であれば　類題経験済みで、多分大丈夫でしょう。

KATSUYAの感想

こちらも類題経験の有無で差が出そうな問題。このセット、怖いなぁ。。。解答時間１８分。

☆第４問・・・絶対値付き積分、最大、最小（BC、３０分、Lv.２）

出ました。難関大でもお好きなパターン。この手のパターンの原則です。

Principle　Piece　ⅡⅢ

絶対値付き積分

→　絶対値の中身＝０　になる　t　の値を、積分区間がまたぐかどうかで場合分け

場合わけはラクですが、積分はこちらもまたまた、類題経験がないと考え込みそうな積分。気づけば計算は一瞬のはずなんですが・・・。

また、その後の微分も２回行うとなると、結構計算量おおいですね＾＾；

KATSUYAの感想

また類題経験で差が出そう。今年は類題経験だけで決まりそうな予感。解答時間１８分。

☆第５問・・・図形、微分法（C、３０分、Lv.2）

ある線分のながさの最大を求める問題。図形自体は非常に単純ですが、こちらも（１）から下手すると手詰まりです。

（１）を求めるときに、∠ABP＝θ　とでも置いておくとよかったと思います。

Principle　Piece　ⅠⅡA

長さの問題では、角度をパラメータにする

こちらも、何回も紹介している気がします。

また、これを用いなくても、△ABP＝△APQ＋△BPQ　と２通りに表すことで求まります。しかし、（２）で最大値を求めるときには、実はθで表しておいたほうが、増減は見やすいです。

ここでの最大のポイントは、y　ではなく　１／y　を考えるところでした。（積／和）になっている場合は、（和／積）にしたほうが分けれます。

また、x　や√（１ーx＾２）　ばっかりが出てくるときは、θ変形に気づいて欲しいですね＾＾

こちらも答えはややこしく、計算量の多さは想像がつきます。

KATSUYAの感想

逆数を考えるところは難しいかな。答えとして書くと簡単に見えるだけに、微妙。解答時間１８分。

☆第６問・・・漸化式、極限（BC、３０分、Lv.2）

漸化式と極限の問題。東北大受験者であれば経験済みでしょう。やり方も同じ、誘導もいつもと同じです。

ただ、分数の無理関数は計算がふくれあがりますね。

（４）の形をみれば、平均値の定理を適用しましょう。