大阪大学 理系 数学 | 2011年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

大阪大学 理系 数学 | 2011年大学入試数学

●2011年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は大阪大学です。



いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^



いよいよやってまいりましたね。この季節。今年もやっていきます。



2011年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2011大学入試シリーズ第15弾。

国立シリーズ、第5弾。



大阪大学(理系)です。




問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、

典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



難易度の指標は、こんな感じです。


SHIN KATSUYA Online

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。


E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。


※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの

標準的な時間です。



したがって、

目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越える

ことも、当然ありえます。



同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、

ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




大阪大学 理系数学 

(試験時間150分)




全体総評・合格ライン


昨年よりかなり難化しました。昨年同様、じっくり考える上では良問セットではあるのですが、第4問、第5問は試験としてはかなり厳しいものがあります。


また、5問中3問が数Ⅲ・Cを含む設問。さらに第2問は本格的な数Ⅲで、最後の方の分野。


現役生にはかなり苦しいセットだったかもしれません。


全体的に計算量も多く、時間的にも厳しかったでしょう。


試験時間150分に対し、

目標解答時間合計は170分。


第4、5問で時間を取られすぎるぐらいなら、戻って他を取ったほうがよかったでしょう。




■合格ラインですが、


第1問は(3)が分かれ目。aの値まで求めておきたい。合格するなら、最後も出来れば正解したいところ。ここで取らないと、後が厳しいので。


第2問は、きちんと勉強している人であれば出来た問題ですが、微妙。部分点で半分ぐらい。



第3問は、(3)も感覚的には分かるはずですから、不完全でもいいから最後まで行く。



第4問は、(1)から結構難しい。全滅でも仕方がないが、出来れば(1)は取りたい。



第5問は、(2)が出来ないとその後は全滅。ですが、(2)も厳しく。(1)を確実に抑えていく。



残った時間で、なんとか「出来そう」と感じた部分にもう一度戻って、部分点を稼ぐしかないですね。



合格ラインは55%~60%ぐらいかと思います。



医学部であれば、第2問は抑えないと厳しい。


第4問も(1)までは取らないと厳しい。第5問は出来れば(2)に気づいて完答したいところ。


それでも、70%前後ぐらいでいいでしょう。


この科目に影響せずに、他の科目でどれだけ取れたか、、、




第1問・・・一次変換、常用対数など(B、25分、Lv.2)


回転行列をあらわす1次変換です。頻出パターンですが、いろいろ融合していて、時間は結構かかる。


まさか(1)でつまることはないでしょうが、うまく誘導にのらないと、(2)で計算がメンドクサイ。

なお、(2)は r やθ 使っちゃダメですよ。


(3)ですが、「四捨五入して2」 ⇔ 「1.5以上2.5未満」です。


この不等式も解くので、計算量は多い。



※KATSUYAの解いた感想


「うへ、解けるけど、解きたくねぇ~」という印象。そうも言ってられないので、きちんと解く(笑)


解答時間11分。




☆第2問-回転体の体積(C、30分、Lv.2)


アステロイドもどきです。


本学受験者であれば、アステロイドは


「長さ1の線分が端点をx軸、y軸と共有させながら動かしたときの線分が動く領域の境界」


と言う事実を知っていたと思います。 式も知っているかと。



ただ、きちんと計算して出したことあります?


出したことがあれば本問は同じ方法で解けます。


出したことがないと本問は厳しいです。


過程が大事ということ、基礎の基礎が大事ということを、何回も繰り返します。

(マド○ナ古文の人みたいに。)


裏技を覚えていくのはかまいませんが、必ず導出過程を聞かれたら答えられるようにすること。


特に2次試験が記述式の受験生は、それがムリなら、裏技を覚えるの禁止です^^


なお、アステロイド系は、sin^nθ の0~π/2 までの積分計算を覚えておくと、検算できます。


検算ですよ!!公式ではないので、解き方に書くなら、証明してください。


ただ、証明はメンドクサイから、普通に計算するほうがいいでしょう。




※KATSUYAの解いた感想


今まで出なかったことが不思議ですね。なんか予想されそうな問題。ぜひ解答とともに、一度見ておいて欲しい良問。 検算も使って、解答時間17分。


☆第3問・・・不等式、領域、面積(BC、30分、パターンなし)


こちらもいろいろ混じった融合問題。(1)は楽勝でしょうが、(2)以降はなかなか難しい。


(2)も、感覚的には分かると思いますが、単純に (x)-f(x) が1次関数になることに気づけば、きれいに、そしてラクに証明できましたね^^

理系ですから、「ある範囲での不等式の証明は、引いて微分」は思いついて欲しいところ。


本問は微分しなくてもいいですけど。


(3)は、、、、うーん、説明がかなりしにくいですが、(1)、(2)の事実をうまく利用すればまとめられます。


領域は感覚的には分かると思うので、部分点ねらいで面積まで求めておくのがよかったですね。



※KATSUYAの解いた感想


(3)、、、下側はどうやって説明しようかな。迷う。なんで(2)がある?と考えて、x=0とx=1で(2)を使うことに気づき、解答して終了。解答時間16分。



☆第4問-不等式の証明(CD、40分、Lv.2)


かなり抽象的で、この手の不等式は受験生は苦手なため、好んで出されます。


対策もしにくく、つらかったのではないでしょうか。



(1)から難しいですが、r として何かp、qを用いた式としてあらわせればOKです。


r=|p|+|q| とでも置けば、それで成り立ちますよね? だから、存在する。

ぶっちゃけ2,3行で証明は済みますが、これが意外に難しいみたいで。



(2)以降は、かなり難しい。α、βをどれに置くかも迷いますし、置けたとしてもその後手がつかない人がほとんどだったのではないでしょうか。


α^2 などはかなりメンドクサイです。大胆にけずって、f(x)>x^3 と見れたかどうか。高度な考え方が要求されました。



(3)も、おまけではなく、大学で習う考え方が少し要求されている気がします。εーδ論法と呼ばれるものです。


これも難しかったですね。


※KATUSYAの解いた感想


(2)はさすがにかなり時間がかかった。(3)も、「うわ、考え方が大学の数学みたい」とか思いながら、解答。解答時間27分。


☆第5問・・・確率、期待値、極限の収束、最小値(CD、45分、パターンなし)


第4問のよなタイプではないですが、これも難問。


(2)は、E(XY)=E(X)×E(Y) とか、期待値の公式を使いたくなりますが、おそらくダメかと。


ダメ=減点対象と言う意味で、0点にはならないとは思います。


漸化式をうまく変形できないと、それ以前の問題になりますから、(2)以降は厳しかったでしょう。


(1)を解く過程で気づいて欲しいのでしょうが、ダッシュ+スーパージャンプが出来ないと、このリフトは飛び移れない。


昨年の5番の確率も、そうでしたね。誘導はあるのですが、飛躍の大きい誘導がこの大学の傾向です。


飛躍度合いだけで言えば、東大より大きいと思います。


(2)が出来ればあとは芋づる式、、、、といいたいですが、計算はメンドウ。



※KATSUYAの解いた感想


ラッキーにも、(1)を解く過程で、(2)の変形にはすぐ気づいた。しかし、期待値の公式に迷い、結局2項定理でちゃんと変形。あとはただの計算なので、とっとと解いて終了。解答時間19分。



※2項定理での式変形のやり方、分からないなら河合塾の解答でも見てください。出来ないと困るとは言いませんが、この考え方は非常に重要です。



対策


今年はかなり難しかったですが、基本的には奇をてらうような難問ではなく、良問セットであるのが本大学の特徴。過去問等も使って、じっくり考える演習を行ってください。

こちらに、もう少し具体的な対策を書いています。


参考 >> 2010年阪大 理系数学の入試

今年は整数問題と呼べるものがなく、数ⅢCが3題でしたが、例年は整数問題や、図形も出ます。



以上です^^


次回は、大阪大学(文系)です。




>> 他の大学も見てみる


>> ちなみに私、自ら塾を立ち上げる予定です^^