【後期】東北大学(文系) | 2010年大学入試数学48弾 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

【後期】東北大学(文系) | 2010年大学入試数学48弾

※注

ヒントを見ないでこの大学の入試を解きたい人は、

解き終わってから見てください。ネタバレがあります。




大学入試シリーズ第48弾。

国公立シリーズ、23弾。


東北大学(後期・文系)です。



大阪府立大学の予定でしたが、

東北大学(後期)の問題が公開されたため、

こちらを優先いたします。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、

典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



難易度の指標は、こんな感じです。


SHIN KATSUYA Online

D・・・難関大学でも難しい部類の問題。


E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。



また、解答までの目標時間を、

問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの

標準的な時間です。


したがって、

目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越える

ことも、当然ありえます。

同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、

ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。




【後期】東北大学(文系)数学 2.90ポイント

(試験時間100分)



※ポイントについては、こちらを目安にしてください
 

 旧7帝大 難易度順位(文系リーグ)  


全体総評・合格ライン



前期同様、全体的に厳しいセットです。


前期・後期、そして理系・文系ともに今年はかなり難しく

試験監修者が変わったのではと思いたくなります。


第1問の文理共通問題は理系でも厳しい難問だし、


そのほかの問題も、理系に出ても全然おかしくな

問題ばかりで、文系らしいのは第4問ぐらいです。


青ざめた受験生も多くいたのではないでしょうか。


試験時間100分に対し、

目標解答時間合計は125分。



合格ラインですが、



第1問は等号成立のときだけ書いて逃げるとして、


第2問は(1)は絶対抑える。

第3問もなんとか(2)までは押さえ、





第4問はただの計算問題なので、完答したい。


これに加えて第2問(2)が出来れば、もう十分だと思います。


60%ぐらいあればいいでしょう。





☆第1問・・・数列、不等式(D、40分、Lv.3)


※理系との共通問題です。

類題を経験していなければ、文理ともに厳しすぎる問題です。



有名な難題で、東京大学でも昔、出題されています。

なんとなく感覚ではわかりそうなのですが、証明の方針は

ゼロから思いつくのはかなり難しかったでしょう。



いいたいことは、次のような事実です。

簡単な例を挙げてみます。

--------------------------------------------------------

集合X=1,2,3,4,5

集合Y=6,7,8,9、10


でXとYで積を作って和をとるとき、


大きいもの同士、小さいもの同士を掛け算して足したほうが

和が大きいということです。


よって、130が最大です。

--------------------------------------------------------


解答の書き方は、河合塾の解答を見てください。

(答案は誰が書いたんだというぐらい、字がきれい(笑))



要は、最大となる並べ方に対し、どれかを入れ替えると、

それよりも必ず小さくなるということを示せばいいわけです。

 

このような考え方は重要なので、頭にいれておきましょう。








☆第2問・・・平面ベクトル(BC、25分、Lv.2)


平面ベクトルの問題で、


(1)はチャート基本例題レベルなので、何とでもなるでしょうが、

(2)は意外に苦労したのではないでしょうか。


直線l、mに接する 


⇔ 接点がA、B 


⇔ OA=OB=1 ・・・①


に気づかないと、お手上げだと思います。


さらに、ここから、ABPの外接円の中心Qについて、


OQが∠AOBの二等分線・・・②


であることから、


OQベクトル=k(OAベクトル+OBベクトル)

・・・③


となります。さくっと書いてありますが、これは以下の事実に

基づくものです。



SHIN KATSUYA Online-100315_092135_ed.jpg


証明は、ひし形の対角線が角の二等分線になることから、

ほぼ明らかです。


今回は、OAベクトルとOBベクトルの長さが等しいので、

③のようにおけるわけですね。


※なお、①、②はともに


△OAB≡△OBQ(斜辺と他の1辺相等)


に基づくものですが、

①、②は教科書に定理として載っているので、

直接かいてもいいでしょう。



さて、ここまでが、第一段階です。

③のようにあらわせれば、当然kを求める方向に動きます。


条件:OAベクトル⊥AQベクトルから計算すると、

求めるべき内積の式が出てきます。これは当然未知数なわけです。


未知数2つで、条件1つでは定まりませんので、何か足りません。

まだ使っていない条件は、Pを通るという条件です。


条件:QPベクトルの長さ=QAベクトルの長さ


これで条件が二つなので、定数kおよび内積の値に関する、

連立方程式がたち、ここから内積が求まります。



平面幾何の知識も使いながらなので、

そこそこ難しかったのではないでしょうか。



☆第3問・・・確率、数列(C、35分、Lv.2)


確率と、期待値を求める際の数列の問題。


(1)は、中堅大学であれば大問の最後の感じですが、


(1)から Σ(等差数列)×(等比数列) とは、

なかなかめんどくさい。


Σ等差数列×等比数列は、その和をSとし、

S-(公比)×S  を考えることで解決します。



ですが、すんなりいくのはここまで。


(2)も意味が捉えづらく、(3)はなんと


Σk^2×(等比数列)


を求めさせる問題で、これはかなり厳しかったのではないでしょうか。


同じようにS-(公比)×Sを考えると、


Σ(2k-1)×(等比数列) となり、これをTとでもおいておけば、


もう一度T-(公比)×Tを考えることで、やっと普段の計算に帰着できます。



なぜ2回操作するのでしょう?逆に言えば、なぜ2回操作すると

できるようになるのでしょう。これは、以下の事実に基づいています。


数列{k^2} (1、4、9、16、・・・)は

階差数列(3,5,7、・・・)が等差数列 


よって、一度差をとることでΣ等差数列×等比数列となるので、

もう一度同じ操作を行うわけですね^^


同様にすれば、たとえばΣk^4×(等比数列)は、


4回同じ操作を行えば解けます。



※理系であれば、微分した式を考えるなど、他の方法もあります。




☆第4問・・・積分(B、25分、Lv.2)



絶対値つきの積分、そして折れ線グラフの積分です。


積分の基本を深く理解しているかどうかを問う問題で、

理解していた人には、ただの計算問題です。



積分の基本中の基本である、2つの事項を挙げておきます。


①グラフが変わる部分で、積分区間を分けなければ、

 積分は計算できません。


②絶対値つきの積分は、絶対値の中身の符号で

  場合わけし、それにしたがって積分区間を分割する。


本問は、①と②で境界が一致したので、少しラクでしたね。


式が下記のようになれば、区間は3つに分かれます。

もうわかりますね。



SHIN KATSUYA Online-100315_092312_ed.jpg



対策


※前期のほうも参照してください。

東北大学 文系 | 2010 年大学入試数学


今年は前期、後期ともに難しく、

東京大学を上回る難易度です。


文系とはいえ、Bレベルに甘んじずに、

Bレベルは確実に解けるようにしておき、

BCレベルぐらいまでなんとか手がつくようにしておくといいです。




以上です。次回は大阪府立大学です。



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