一橋大学 | 2010年大学入試数学 | 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

一橋大学 | 2010年大学入試数学

一橋大学についての質問が多かったので、少し修正して最新記事に載せます。

 

※注



ヒントを見ないでこの大学の入試を解きたい人は、

 

解き終わってから見てください。ネタバレがあります。


 

 

 



大学入試シリーズ第43弾。



国公立シリーズ第18弾。

 

 

 

 

 





一橋大学です。





問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、



典型パターンのレベルを3段階



(基本Lv.1←→高度Lv.3)




で書いておきます。





難易度の目安です。



A…教科書の練習問題、青、黄チャートの基本例題レベル





B…教科書の章末問題、黄、青チャートの重要例題、章末A問題、

および中堅大学入試問題レベル





C…チャートの章末B問題、難関大入試レベル





D…難関大入試でも難しい問題のレベル





E…超高校級の難問、試験場では即捨てるレベル








また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。





また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。





※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの「標準的な時間」です。





したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。





同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、

ヒントや答えをみるといい 
という目安にしてください。









一橋大学 数学   2.34ポイント 

(試験時間120分)




※ポイントについては、こちらを目安にしてください

 

 

 

 

 

 

 旧7帝大 難易度順位(文系リーグ)

 

 





・全体総評、合格ライン 



難しかった昨年に比べて易しくなり、

 

 

例年通りに戻りました。

 

 

 

 

それでも文系数学の中では最上級の難しさ

 

 

 

 

キープしています。

 

 



第3問や第4問などは理系の試験でも

 

 

おかしくないですし、十分レベルの高い問題です。

 

 

 

 

例年通り良問が多く、数学の演習量がきちんと

 

 

 

 

反映される試験になったことでしょう。

 

 



試験時間120分に対し、

 

 

目標解答合計時間は125分。



量も適量で、とてもいい試験問題ですね^^

 

 

 

 


 

 

 

 

 



合格ラインですが、
 

 

 


 

 

 

計算すればなんとかなる第1、2、5問は完答し、

 

 

 

 

第3、4問をじっくり計算して、合わせて1完したいところですね。

 

 

 

 



昨年の試験を見て対策してきている人であれば、

 

 

8割ぐらいとりそうですし、それを考えると

 

 



70%が最低ラインでしょう。



できれば75%欲しい。
 

 

 

 

 

 

 

 

 





第1問・・・方程式、整数(B、15分、Lv.2)



基本~標準的レベルの整数問題。

 

 

 

 

 

 

 

 

この問題では、

 

 



(1) 3次方程式の解と係数の関係を使うこと

 

 


 

 

 

(2) 実数係数の整式の方程式が複素数の解を

 

 

   もつなら、その共役複素数も解をもつこと

 

 

 

 

 

 

がポイントでした。整数問題というよりは、方程式の問題でしたね。

 

 

 

 

 

 

 

 

これがわかれば、そんなに苦労することなく解けたと思います。

 

 

 

 

 

 

なお、(2)は実数係数でないと成り立ちません。

 

 

 

 

証明(教科書にあるはずです)とともに確認しておきましょう。

 

 

 

 

また、a^2 + b^2 の形は頻出で、本学受験者なら整数対策は

 

 

 

 

してきているでしょうから、最後まで解きたいところですね。

 

 

 

 

いくつか、まとめておきましょう。

 

 

 

 

 

 

-------------------------------------------------------

 

 

 

 

 

 

a^2 + b^2 について

 

 

 

 

 

 

(1)a、bを3で割ったあまりで分類すると、、、

 

 

 

 



SHIN KATSUYA Online

 

 

 

のようになります。よく入試で出題される、重要な点を

 

 

2点挙げます。ぜひ、頭に入れておきましょう!!

 

 

 

 

(公式ではないので、証明なしで用いるのはやめましょう)

 

 

 

 

 

 

 

 

① a^2 +b^2 が3の倍数であるなら、

 

 

 

 

 

 

  a、bはともに3の倍数である。

 

 

 

 

 

 表の1番上の行をみれば明らかですね。なお、逆は

 

 

 成り立つことがほぼ明らかですから、この二つは

 

 

 同値であることがわかります。

 

 

 

 

② 整数の2乗を3で割ったあまりが

 

 

 

 

  2になることはない。

 

 

  

 

 

  左から3列目、4列目を見ればわかりますね。

 

 

 

 

②の性質を利用した問題がいくつか出ています。

 

 

 

 

2006-京大前期理系ー4番などなど)

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)a、bを4で割ったあまりで分類すると、、、

 

 

 

 

 

 

 

 



SHIN KATSUYA Online

 

 

 

 

 

ここからも、重要な点を述べておきましょう。

 

 

 

 

 

 

① a^2 +b^2 が4の倍数であるなら、

 

 

 

 

  a、bはともに偶数である。

 

 

 

 

 

  黒太線の部分を見てください。 これが本問の最後の問題でしたね。

 

 

  このタイプの問題は、背理法で解決します。

 

 

  さきほどの①も同様です。  

 

 

  

 

 

  理由は、そのほうが考えやすいからです。

 

 

 

 

  単体の情報がわかっていれば和の情報はすぐ出ますが、

 

 

 

 

  和の情報からは単体の情報はすぐ出ませんよね。

 

 

  

 

 

 

 

 

 

② 整数の2乗を4で割ったあまりは

 

 

 

 

 

 

  0か1である。

 

 

 

 

  赤太線を見てください。こちらも結構使える事項です。

 

 

 

 

 

 

 

 

③ 4で割って3余る数は、

 

 

 

 

 

 

a^2+b^2の形で表せない。

 

 

  

 

 

  これは一番右の列から分かります。こちらも重要ですね。

 

 

 

 

 

 

割ったあまりで分類するという手法は使えます。

 

 

 

 

 

 

 

 

何で割ったあまりで分類するかを適切に選べるように、

 

 

 

 

練習しておきましょう。

 

 

-------------------------------------------------------

 

 

 

 

 

 

 

 



☆第2問・・・微分(BC、25分、Lv.2)


 

 

 

 

 

 

 

 

 

3次関数の接線の傾きに関する問題で、

 

 

一ひねりはいった、いい問題です。

 

 

 

 

こちらも、解と係数の関係をうまく使うと計算量が減らせる問題でした。

 

 

 

 

 

 

交点の中点の座標をきかれたときは、

 

 

 

 

交点をα、βとおいておくと楽に計算できる場合が多いです。

 

 

 

 

中点なので、α、βの対称式で表せるからです。

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)は、Cが直線y=-x-1 上にあることに気づけば、終わりです。

 

 

 

 

 

 

 

 

直線y=-x-1と、曲線y=x^3-3ax^2 の交点が

 

 

 

 

A、B,そしてC ということですね。
 

 

 

なお、点Cはこの曲線の変曲点で、傾きmに依存しない

 

 

ということも、本問から分かります。

 

 

 

 

 

 

 

 



☆第3問・・・四面体(BC、40分、Lv.2)





四面体の垂線と、垂線の足の座標を求める問題。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ポイントは、対称性です。

 

 

 

 

 

 

これに気づくかどうかで、計算量が倍ぐらい違います。

 

 

 

 

 

 

CからABに下した垂線の足をKとすれば、

 

 

 

 

AK=BK、OK⊥AB、そしてHはCK上にある。

 

 

 

 

すると、三角形OCKの面積を2通りであらわして(1)が、

 

 

 

 

相似関係などを考えて(2)が出るわけです。

 

 

 

 

 

 

これに気づかないと、(1)はおそらくOABCの体積を

 

 

 

 

 

 

2通りにあらわして・・・などという計算をすることになり、

 

 

計算量が倍増します。

 

 

 

 

さらに(2)もベクトルでやり直しというハメになります。

 

 

 

 

 

 

 

 

(※ちなみに私、はまってしまいました。。。

 

 

 

 

 

 

 途中で気づいたときにはかなり進んでおり、

 

 

 最後までやったほうが早いとふんで押し切りました)

 

 

 

 

 

 

ちなみに最初からベクトルでとけば、

 

 

 

 

 

 

(1)も(2)も一気に解決しますが、

 

 

やはり計算はかなり煩雑で、途中で投げたひともいるのでは

 

 

ないでしょうか。
 

 

 



※解答時間は、上の事実に気づかなかった人用の時間です。

 

 

  もしはまっても、40分ぐらいで抜け出すぐらいの計算力を

 

 

  持っていると、解法によらない解答力が身につきますね。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第4問・・・数列(BC、25分、Lv.2)
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3項間漸化式の問題で、初項が具体的でないという点が、

 

 

これまた一ひねり入っております。

 

 

 

 

(2)は漸化式を直接解いてしまえば楽勝で、

 

 

 

 

(1)のほうが難しかったのではないでしょうか。

 

 

 

 

 

 

数列をある数で割ったあまりを考えるときは、

 

 

 

 

 

 

周期性を見る

 

 

 

 

といのは定石ですが、調べている途中で

 

 

 

 

 

 

「え・・・周期性がない・・・」

 

 

 

 

「どっかで計算間違えたか・・・・・・」

 

 

 

 

となった受験生もいるのでは??

 

 

 

 

 

 

なんと周期20という、なんとも長いものでした。

 

 

 

 

 

 

 

 

試験場ではなかなかテンパリそうな周期ですよね、これ。

 

 

 

 

 

 

あきらめずに調べた人が勝ちでした。

 

 

 

 

周期は、50ぐらいまでは気合で調べてみましょう。

 

 

 

 

時間にして、2~3分程度だと思いますし。

 

 

 

 

 

 

なお、東大でも昔、かなり長い周期の数列の問題が出ています。

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 




 

 

 

 

 

☆第5問・・・確率(B、20分、Lv.2)
 

 

 

 

 

標準的なサイコロ系の確率の問題です。

 

 

 

 

 

 

 

 

「少なくとも・・・・」と聞かれたら、余事象を考える

 

 

 

 

 

 

 

 

というのは原則ですね。

 

 

 

 

 

 

この原則を守り、手堅くとりたいところ。

 

 

 

 

 

 

 

 

なお、確率を単純に足すときには、その事象が排反かどうか、

 

 

 

 

 

 

毎回、確かめる癖をつけておきましょう。

 

 

 

 

一般的には、

 

 

 

 

 

 

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

 

 

 

 

 

 

です。事象Aと事象Bが排反でないと、

 

 

 

 

P(A∩B)≠0ですから、単純な足し算はできません。

 

 

 

 

 

 

 

 



対策



一橋大学の問題は、良問が多く、文系数学のなかでは

 

 

 

 

 

 

 

 

かなりレベルが高いです。

 

 



付け焼刃な学習では対応できないので、きちんと解法を

 

 

体系的に頭に入れておきましょう。そのためには、
 

 

 

チャートをマスターした上で、

 

 

B~Cレベルの演習を行う

 

 

 

 

ことが最も効率的と考えられます。

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

数研出版の入試問題集(文系用でも理系用でもよい)

 

 

をこなすのがいいでしょう。

 

 

 

 

また、実際の過去問や、

 

 

 

 

予備校が行う一橋大学専用の模試の過去問なども

 

 

 

 

合わせて行うと、万全の対策ができます。

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

サンプルをひとつ。予備校の模試の過去問ですね。

 

 

 

 

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河合もあったと思ったけど、アマゾンにはないようです。。。

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 



演習量比率



B:C=6:4

 

 

 



ぐらいでいけば、万全ですね。

 

 

文系にしては厳しいですが、これが一橋大です。

 

 


 

 

 





以上です。次回は大阪府立大学(生活環境、経済学部)です。

 

 






 

 

 

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