たけしのコマ大数学科#120 「内角の和」 | シャブリの気になったもの

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テーマ:
たけしのコマ大数学科#120
(旧名称・たけしのコマネチ大学数学科)
フジテレビ 2009年2月5日 深夜OA

 
今回のテーマは、
「内角の和」
 
 
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さあ、みんなで広げよう!内角の和!(「笑っていいとも」のパロ)
ということで、今回は角度の問題ですが、
カメラに撮られて、よりキレイに見える角度って、あるんです。
ちなみに私は、この角度です!
(カメラを下から上目使いで見上げる。メガネをちょっと下ろす。失笑・・)
(戸部アナ)

 
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DVD第3弾が発売されました!!
今回の初回発売特典は、「コマ大ロゴ入り電卓」だそうです。
特典映像は、2008夏に行われた「お台場冒険王」での竹内先生の講義模様や
木村美紀さんと、あの懐かしい松江由紀子さんによる
「ガールズ”マス”トーク」が入っているそうです。
 
今回の東大生は、脳殺シスターズの小橋りささん、生駒尚子さん。
今日は2月5日。ニコ、ニコ、という語呂合わせで、「笑顔の日」らしい。
ちなみに、2月10日は、芸能人個人の登録としては史上初の
「ツービートの日」だそうだ。
小橋りささん、生駒尚子さんは、おいしいもの、甘いものを食べたときが、
笑顔になる時と、女の子らしい答えでした。

 
コマ大:
ダンカン部長 〆サバアタル お宮の松 アル北郷 (3本撮りの3回目)
今回は、「笑顔の日」ということで、ポヌさんに笑顔にちなんだ、
「ポヌさんのための コマ大日本語講座」。
問題:「笑う門には □来たる」 □に入るのは?
「これは四角ですよ。」と、ポヌさんが見たまんまを答え、一同が大ウケ。
「俺らより面白いこというなよ!」とダンカン部長が悔しそう。
再度挑戦。
「笑う門には… チカン(痴漢!?)」(ポヌ)
「痴漢ですか!?」さらにウケてしまうポヌさん。
笑いを取られて焦るコマ大。
これからこのポヌさんのコーナーが出来そうだとタカさんの予言。
正解は、「笑う門には 福来たる」。
ポヌさんに、洋服の”服着たる”じゃありませんからね、と教えるタカさん。
ポヌさんも理解したようだ。
 
 
さて本題。
 
 
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Q:
円周上の点に1~35まで番号をつけ、1から7個ずつとばして点を直線で結び
星型の多角形を作るとき、その内角の和を求めなさい。

シャブリの気になったもの-コマネチ大学#122-1 (問題)
 
先生曰く・・ 
1からはじめて、7個飛ばして9へ直線で結ぶ。また9から7個飛ばして17へ、
17から25へ・・・と、ドンドン直線を引いていくと、いっぱい凸がある、
大きな星型で結ばれる。そのときの内角(図のピンクの角度)を
全て足してください。
ただし、図の緑の角度のような、直線が交差してできる角度は、
内角とは言わないので足さない。
円周上に頂点が出来たところの角度だけ足してゆくことに注意。
 
コマ大の検証:
今回は、まずは国会議事堂前で「内閣(内角)の和」がどうだこうだと、
政治的話題にかけて、ダンカン部長のボケから始まった。
検証がこんな路上で出来るはずもない。
ということで、自由が丘の「イリダーレ
という、南イタリア風カフェとカルチャースクールの複合施設にて、
ビーズ刺繍の講師に、峯島洋子さんを迎えて、早速検証開始!
まずTシャツに円を描き、円周上に35個の点を付ける。
そして、7個飛ばしで点と点をビーズで刺繍してゆくというもの。
コマ大の4人が思い思いに点を円周上に配置して、
峯島先生指導の下、ビーズを刺繍してゆく。
当然ながら刺繍に手間取る。
ダンカン部長はTシャツの背中まで通して縫いつけてやり直し。
苦労しながら、なんとか刺繍をやり終えたら、分度器で角度を測って、
電卓で足してゆく。点を円周の上1/4に偏ってとったお宮の松は、
全ての角度を測ることが困難で、正解検討対象からはずされた。
残った3人はそれぞれが出した答えを見て、
「どういうこと?」「なんか不思議ですよね」と言いながら、
面白い答えが出たようだ。
検証時間6時間。お疲れ様でした。

スタジオでは、それぞれ自分の多角形ビーズ刺繍Tシャツを着て披露。
「ビーズ、楽しいですよ」とダンカン部長筆頭に、刺繍にはまったようです。

タカさんの決め文句
 好 者 能 精 (好きこそものの上手なれ)
 
対戦開始!
 
東大生は、もう何か分かったらしく、解答用紙に書きなぐり始めた。
マス北野チームは、丁寧に問題図に続きの線を書き加えて・・。
そんななか、東大生から「(出てきた答えが)美しすぎる」との声。
バンバン数式で埋まってゆく解答用紙には、公差、等差数列の文字が・・・。
マス北野は、直線を円周からはみ出して延ばして書き、検討している。
これを見た先生は、マス北野の方法に好感触。
そして、東大生・生駒さんから「出来た」の声。
東大生プチ情報にチャチャいれした後、マス北野にも答えが出たようだ。
 
<東大生プチ情報>

「私たちの成人式」ということで、成人式のときの写真を披露。
生駒さんは、高校の同窓会で、同級生3人と撮った晴れ着姿。(@ホテルロビー?)
この3人は、東大、早大、慶大なのだそうだ。
小橋さんは、洋服に着替えたあとの高校の同窓会で、
同級生6人に囲まれている2次会にての写真でした。
20歳になって、心構えで変わったことは?と問われた二人。
「大人としてのマナーをつけなければ」という生駒さんは、
電車に乗ったときに、化粧、携帯はやめようとと思ったと・・。
ここでマス北野が、日本人はレストランで、
食後に使ったナフキンを綺麗にたたんでテーブルに置いて帰るが、
実はこれはレストラン側に大変失礼なことで、
「ここの料理は気に入らない」という意味だと教えた。
「・・・って、ウソなんだけどね」と、マス北野の冗談でした。
さらに、「本当においしかったら、テーブルに靴を置いて帰る」
という、二つ目のウソのマナーまで用意していたマス北野。
 
 
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A: 
 
コマ大生の解答 
答え、3377度 //

(解説:)
4人の答えは、
お宮の松:3200くらい。(対象外)
アル北郷:3350
ダンカン:3380
アタル:3400
ということで、円周上の点の取り方が異なるのに、3人の答えが近い。
3人の平均をとって、答えとした。
 
 
東大生の解答
答え、12240度 //

(解説:)
実際に測ったコマ大とケタが違うことに不安がよぎる中、生駒さんが解説。
直線で結んでゆく点は、1,9,17,25,33・・・と、公差8の等差数列。
35を超えると、1の上に36、2の上に37・・と、何周もすると、
各点では35の等差数列になっている。(1の上には、36、71、106・・)
(※このとき後ろで小橋さんとマス北野が何か議論している)
 
シャブリの気になったもの-コマネチ大学#122-2 (東大1)
 
で、1のところに直線が戻ってくるためには、
1,9,17,25,33・・・の公差8の等差数列と、
1、36、71、106・・の公差35の等差数列で、どこか同じ数字があれば、
そこの数で元の点に直線が戻ってくると考えて、
8と35の最小公倍数=280に、最初の1を足した、281がその数だろうと。
で、マス北野となにやら話し込んでいた小橋さんが、
足す角度を(下図)出来上がった大きな星型の、
直線交差部分の角度も足してしまったと間違いを認めた。
最初に先生が注意して言っていたことを聞いていなかったようで・・。
大ショックの東大生たち。
「大人になる、自画自賛だったのに・・」と、タカさんも残念そう。
 
シャブリの気になったもの-コマネチ大学#122-3 (東大2)


マス北野チームの解答
答え、3420度 //

(解説:)
 
シャブリの気になったもの-コマネチ大学#122-4 (マス北野1)
 
図のように、オレンジ色の外角を考えると、線を結んで円を一周したとき、
その外角の和は、360度になる。
で、点は35個あるわけだから、全ての内角と外角の和は、
ひとつが180度だから、180x35で、6300。
で、7個点を飛ばして、8個おきに点を結ぶので、
直線は8周して元の点に戻ってくるはずだ。
だから外角の和は、360度x8=2880 となるはず。
内角の和は、内角と外角の和(6300度)から外角の和(2880)を引いて、
6300-2880=3420度。
 
 
正解は、 3420度 //

マス北野チームが正解。 すごい!!今年は何か降りてきている。

 
しかし、この答えに限りなく近いコマ大も大したものです。
 
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美しき数学の時間 (先生の解説) 
 
考え方:
 
マス北野が言ったように、各頂点の外角と内角の和は180度。
それが35個あって、そこから外角の和を引けばいい。
そこで外角の和がいくつになるか調べればいい。
ここは東大生の説明のように、
7こ飛ばしなので、1,9,17,25,33と、番号は8こずつ増えてゆく。
次は41になるが、これは1周して6番目の点のところにくる点。
どんどん進めてゆくと、やがて1番目の点に戻ってくる。
そのときを、n番目とすると、
8個ずつ増えていくので、番号としては8xn。
それが、1番に戻ってくるのだから、8xnは35の倍数になっているはず。
なので、nが35の倍数で最小のものは、35に他ならない。
ということは、8x35を1周分の35で割ると、(8x35)/35 = 8。
つまり、8周して1番の点に戻ってくることになる。
 
シャブリの気になったもの-コマネチ大学#122-5 (中村1)
 
で、8周しているので、外角の和は、1周が360度だから、8x360度。
外角の和が求められてので、求める答えは、
(35x180)-(8x360)=3420度。

<本日のちょっといい話>

辺が交差してない多角形(三角形とか、正方形とか・・)は、
英語で「Pologon」と言う。(ペンタゴンとかヘキサゴンとか呼びますよね。)
辺が交差している多角形を、「星型多角形(Polygram star)」と呼ぶ。
 
シャブリの気になったもの-コマネチ大学#122-6 (中村・五芒星)
 《 五芒星 Pentagram 》
 
これは、円周上に5個点があって、2個増えるように結ぶ描き方。
それを、{5/2}と表記する。
 
今回の問題は、35個点があって、8点ごとなので、{35/8}と表記できる。
 
シャブリの気になったもの-コマネチ大学#122-7 (中村・六芒星)
 《 六芒星 Hexagram 》 {6/2}
 
と、五芒星、六芒星は一通りしかないが、
七芒星(Septagram)以上になると、たくさん描き方が出てくる。
例えば、10のとき、
 
シャブリの気になったもの-コマネチ大学#122-8 (中村・十芒星)
 《 十芒星 Octagram 》
 {10/2} {10/3} {10/4} と、3種類作れる。
 
このように等間隔に切った形は、デザインに使われている。
 
芒星(Polygram star)を上手に切って、並べなおすパズルが紹介された。
{10/2}(十芒星)→{5/1}(正5角形)
{12/2}→{6/1}(正6角形)
{12/2}→{6/2}(六芒星) などなど・・。
番組では図で紹介された。
その出典は分からないが、同じような図形が
ココ(↓)にありました。
Geometric Dissections
 
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コマ大フィールズ賞:
今回は文句なく、マス北野チームに!!

エンディングテーマが新しくなりました。

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★あとがき 

いやぁ、おもしろい問題だったなぁ。
さすが中村先生。ホワイトボードの説明もきちんとしていて、抜けがありませぬ。
東大生は残念でしたが、マス北野と小橋さんのヒソヒソ論議が画的に面白かった。
 
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講師:中村亨 
(1963年生まれ。東京大学大学院理学系研究科数学専攻修了、理学修士。)
著書:数学21世紀の7大難問 中村 亨 など
 
解答者:
マス北野
ポヌさん (ベナン出身・マス北野の助っ人・ゾマホンの友人)
東大・脳殺シスターズ:小橋りさ、生駒尚子
小橋りさ profile(ドクモ)  小橋さんのBlog→RISA☆BLOG
 生駒さんのBlog→生駒尚子のミスキャン日記
 
コマネチ大学生
ダンカン部長 〆サバアタル お宮の松 アル北郷
 
2009/2/5 深夜OA
 
コマネチ大学の前回までの記事
http://ameblo.jp/chablis/theme-10002941350.html
ガスコン研究所 ■コマネチ大学2006年度講義リスト(#1~42・マス1グランプリ含)

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