コマネチ大学 #34 | シャブリの気になったもの

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コマネチ大学#34

たけしのコマネチ大学数学科#34  2007/01/25 深夜OA


今回のテーマは、「ペンタゴン」


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アメリカ合衆国国防総省の建物の形が五角形であることから、
そのような呼び名が付いています。ちなみに、6角形はヘキサゴン。
クイズ・ヘキサゴンも見てくださいね。(戸部アナ)


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中村先生から、マス北野の直感に期待したいというと、マス北野は
五角形と黄金分割の話を始める。


黄金分割とは、ピタゴラスが発見した分割法である。
正五角形の頂点を結ぶ線の交点Pは、線分BEを黄金分割する。


BP:PE = BE:BP の比が黄金比 (1+√5)/2 : 1


コマネチ#35-1

上図(クリックすると大きくなります)参照してください。


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Q:
図のように紙テープを5回結んで正五角形を作り、内側が正十角形になるように
します。テープの幅が2センチの時、必要なテープの長さは何cmでしょうか。
整数で答えなさい。


コマネチ#35-2(問題)

上図(クリックすると大きくなります)参照してください。


タカさんの補足:
元々一本のテープを結んでいく(結び目を作っていく)。ミリ単位は四捨五入。


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A:
コマネチ大学生の解答
実際にテープを使ってやってみることに。その場所に選んだのは、おりがみ会館。
そして以前にお世話になった、折り姫こと湯浅信江先生。
今回は、館長である・折り神様こと小林一夫先生にも協力をいただいた。

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試していくうちに、五つに分けて考えることに気づく。
そこで、2センチ幅の割り箸の袋を5つ使い、結んだ物を5つ合わせてみた。
その後正確に長さを測り、答え69センチを得た。(所要時間:2時間3分)


マス北野の解答

コマネチ#35-3(マス北野)

上図(クリックすると大きくなります)参照してください。

一辺に注目すると、同じ大きさの台形が5つあることに気づく。
だから、その台形の真ん中の長さを5倍すれば五角形の一つ分にどれだけの
長さが必要かがわかる。5辺あるので、さらに5倍する。
台形の縦の長さは2センチ。横の中心線( (上底+下底)/2 )は、
三角関数表を使って計算して、2.75 x 5 x 5 = 68.75 =>答え69cm


東大生の解答

コマネチ#35-4(東大)

上図(クリックすると大きくなります)参照してください。

ほぼ、マス北野と同じ考え方で、同じ台形が25個。下図のように a 、b とすると。
a x cos18°= 2cm となり、 a ≒2.1cm
b = a x cos72°≒ 0.64
真ん中の長さは a + b ≒2.74cm
2.74cm x 25 = 68.5 ≒69cm


正解は、69cm  全員正解である。


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先生の解説

コマネチ#35-5(先生)

上図(クリックすると大きくなります)参照してください。
ポイントは、同じ形が25個あるということでした。


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ここで sinの由来について説明があった。


元々は、天文学研究の為にインドで考えられたと言われている。


インドで半弦の意味の jyaardha が省略され、 jya, jiva に。
アラビア語で音訳され、jb : (jiba) に
それが、jaib (胸の意味)になって、
sinus (胸、ひだ、入江の意味・ラテン語)に変化しながら伝わり、
現在の SIN になった。
(三角関数の説明があったが、あまりにも基本なので割愛する)


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今週のフィールド賞:東大生チーム
5個の台形が同じだという説明がきちんとしていたという理由


講師:中村亨 
(1963年生まれ。東京大学大学院理学系研究科数学専攻修了、理学修士。)


解答者:
マス北野
木村美紀(東京大学薬学部3年)
松江由紀子(東京大学農学部3年)
コマネチ大学生


2007/01/25深夜OA



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