「直角三角形の角から垂線を引いたときの底辺の比の問題」の裏ワザ | 大阪のプロ家庭教師が「できない」を「できる」に変える!
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今日は久々にお勉強しましょう。

中学3年生の数学で相似比の問題です。

 

 

直角三角形ABCの角Aから線分BCに垂線を引いたとき、BH:HCの長さの比を求めなさい。

 

よくある問題ですね。

 

結論を先に書くと、直角三角形の場合  になります。

 

 

これを覚えておけば面倒くさい計算をしなくて済みます。

 

一応、証明してみましょう。

 

証明

 

 

 

図のとおりに各線分には記号を入れています。

 

△ABC∽△HBAより、

 

また、△ABC∽△HACより、

 

よって、

 

したがって、  となります。

 

 

さて、これを使って次の問題をやってみましょう。

 

直角三角形ABCの角Aから線分BCに垂線を引いたとき、BD:DCの長さの比を求めなさい。

 

 

直角三角形ABCにおいては、BD:DC=AB²:AC² でした。

 

したがって、BD:DC=169:81 です。

 

 

2乗すればいいだけですね。簡単です。

 

 

三平方の定理など他にもいくつかの方法で解くことができますが、これを知っていれば数秒で終わります。

 

 

ただし、注意しなければならないことがあります。

これは、直角三角形の相似が使えるときのみに当てはまるということです。

どんな三角形でも当てはまるわけではありませんので要注意。

 

 

まとめ

直角三角形ABCの角Aから辺BCに向かって垂直な線を引き交点をHとしたとき、

 

 

 

 

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