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27Dec
- 栄光学園2023年度入試問題　解決までの道③
  いよいよ種明かし…の始まり　前回の続きです。　［A］は、2進数表記のAー１の各桁に含まれる「０」を「２」に直した上で、すべての桁の数の和を求めればよい。…それは何故かという問題です。　これを解き明かすには「２進数とはそもそも何か？」という問題を解決しなければ始まりません。そこで、今回は２進数そのものについて、お話ししようと思います。２進数とはなにか？　「２進数」の定義はいくつも考えられますが、その中で最も形式的で明瞭な定義は…　　２進数とは、２種類の記号のみを用いて表現された数である。　あまりに簡潔すぎて、なんの事やらさっぱり分かりませんね。それでは、10進数におきかえて考えてみましょう。使い慣れた10進数は…　10進数は、ふだんわたしたちが日常的に用いている方法で表された数です。テーブルの上にある飴玉を数えるとき「いち、にぃ、さん、しぃ…」と数えますが、これを紙に書き出すと「１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０、１１…」となります。「０・１・２・３・４・５・６・７・８・９」という10種類の数字（記号）を用いて数の大きさを表現する。これが10進数です。　したがって、１文字で表現することができる個数の限界は「九つ」です。　それより多い個数は、仕方がないので２つの文字を組み合わせて表現するわけです。つまり「１０，１１，１２，１３，…９８，９９」というふうに。２文字で表現できる個数の限界は「九十九個」です。「記号を10種類しか用いてはいけない」という制限が、２文字以内で表現できる最大の個数を「九十九個（種類）」に限定してしまうのです。　それより多い個数は、仕方なく３文字を組み合わせて表現することになります。「１００，１０１，１０２，……，９９８，９９９」というふうに…。このようにして、表現できる個数の限界に達するたびに、用いる文字の数を増やして対応するんですね。それがつまり「桁が増える」ということです。　さて、そうして飴玉を数えたら３６５個だったとしましょう。このときに「３」「６」「５」という記号は、もはや単なる記号ではなくなります。「それぞれに意味を持った記号になる」わけです。「３」は「100が三つ集まって」おり、「６」は「10が六つ集まって」おり、「５」は「１が五つ集まって」いる…というように。ですから「３６５」という数の正体は…　　　　　　　　365＝100×３＋10×６＋１×５ということになるのです。　では、この「100」や「10」や「１」はどのように決まるのでしょうか。持てる荷物束の個数は９個が限界　各桁に記述できる記号は、上でお話ししたとおり「０」から「９」までの10種類しかありません。つまりそれぞれの桁は「○○が九つ集まっている」ということを表現するのが精一杯で、それより多く集まっている状態を表現することができません。　そこで「わたしには十個分の荷物を持つことができないから、この十個分の荷物を一つの束にしてあなたが持って下さい」と、左隣の桁に荷物の束を「託す」ことになります。十個分の荷物束１つを託したあと自分の荷物がなくなるので、その桁は「０」になります。一方で、託された桁の方は、持っている荷物束が１つ増えることになります。それがいわゆる「繰り上がり」で、各桁の「位（くらい）」という考え方につながります。一の位　→　１個ずつの荷物を九つまで持てる桁。十の位　→　一の位から託された荷物10個分の束を九つまで持てる桁。百の位　→　十の位から託された荷物100個分の束を九つまで持てる桁。…ということになるわけです。　つまり各桁がもてる荷物の個数は、それぞれ右隣の桁から10束分１つをまとめて託されるので、　　一の位　→　１個ずつ　　十の位　→　１個×10束＝10個ずつ（1×10）　　百の位　→　10個×10束＝100個ずつ（１×10×10）　　千の位　→　100個×10束＝1000個ずつ（1×10×10×10）　　万の位　→　1000個×10束＝10000個ずつ（1×10×10×10×10）　というふうに決まることになるのです。　この「荷持束を託す」という繰り上がり現象が連鎖的につぎつぎに起こる場合があります。連鎖反応が起こることも…　例えば６９９９個の飴玉があったとして、ここに別の１個を加えたら、どうなるでしょう？　①まず一の位の飴玉が９個から10個に増える。　②一の位は持ち切れない10個の飴玉を、すべて一つの束にして十の位に託す。自分は荷物がなくなるので０になる。　③10個をひとまとめにした束を１束だけ託された十の位は、束が10個に増える（飴玉が100個になる）。　④十の位は持ち切れない100個の飴玉をすべて一つの束にして百の位に託す。自分は荷物がなくなるので０になる。　⑤100個をひとまとめにした束を１束だけ託された百の位は、束が10個に増える（飴玉が1000個になる）。　⑥百の位は持ち切れない1000個の飴玉を、すべて一つの束にして千の位に託す。自分は荷物がなくなるので０になる。　⑤1000個をひとまとめにした束を１束だけ託された千の位は、束が７個に増える（飴玉は7000個になる）。　こうして　６９９９＋１＝７０００　となるわけです。まるで責任の横流しが連鎖的に起こっているようですね。　この「位取り」という考え方を別の角度から見てみましょう。　日本語では、３６５という数は「三百六十五」と表現しますね。これは日本人が発明した「持っている荷物の個数と、持っている荷物の束の種類とを並べて表記する」という、非常に分かり易い表記法だったのです。記号が10個に決まったのは…　さて、そうすると…「人類が、数の表記に用いる記号の種類を０から９までの10種類に決めたのはどうしてか？」という疑問に突き当たります。「７種類の記号」とか「19種類の記号」でも良かったんじゃないのかと思われるかも知れません。現にコンピューター・プログラマーの世界では「16種類の記号」が採用されています。　この10進数つまり「10種類の記号」という約束は人種や文化を問わず、ほぼ世界中で採用されています。まれに５種類だったり、５種類と10種類を併用する（算盤がそうです）こともありますが。それは、人種や文化を問わずヒトの指の数が10本だからだと言われています。「指が10本集まって束になってヒト１人」というわけですね。「10種類の記号」というのは人類にとって便利で都合が良かった…。ただそれだけのことだったのです。そこで2進数！　では人間が左右の手に1本ずつ、合わせて2本しか指を持っていなかったら…。そうです、「2種類の記号」を用いて個数を表現していたかも知れません。それが「2進数」です！　…ちょっと気持ちの悪い話ですね。　２進数による記数法は、10進数とまったく同じ原理に基づきます。①数を表記するのに「０と１」の２種類の記号を用いる。②各桁が持つことができる荷物束の個数は一つが限界である。③各桁は、荷物束が二つ集まると、それらをまとめて束にして左隣の桁に託す。④したがって各桁の位取りは右端から順に、一の位、二の位、四の位、八の位、十六の位、三十二の位…となる。　テーブルの上に例えば17個の飴玉が並んでいたとして、これを10進数で数えると、こうなります。「1個、2個、３個、4個、5個、6個、7個、8個、9個、10個、11個、12個、13個、14個、15個、16個、17個…ああ、17個か！」　ところがこれを2進数で数えると「1個、10個、11個、100個、101個、110個、111個、1000個、1001個、1010個、1011個、1100個、1101個、1110個、1111個、10000個、10001個…ああ、10001個か！」と、こうなるわけです(笑)　なにしろ2進数では、各桁が一つまでしか荷物の束を持てないため、二つ目の荷物を持った瞬間に、すぐにそれを束にして左隣の桁に託すことになります。たかが「17個」を表現するのに「10001個」と５個もの記号を連ねる必要があるのは、それが原因です。　ちなみに「10001個」は「いちれいれいれいいち個」と読みます。「いちまんいち個」と読んではいけません。その理由は、もうお分かりですね。左端の「１」は「一万個の束が一つ集まっている」ことを意味しないからです。　たとえば1011という2進数の正体は、10進数で表現すると、　　1011個＝８×１＋４×０＋２×１＋１×１＝11個　…ということになるのです。　　混乱を避けるため、通常は数の末尾に（10）や（２）を付記することで、それが10進数なのか2進数なのかを区別します。　　　　　　　　　　　　　　　　　1101（２）＝11（10）　　　というわけです。2進数は本当に不便なのか…　それは、さておき…。　「２進数は、小さな個数を表現するにも多くの桁が必要になる。そんな不便な記数法は価値がない！　10進数こそ万能だ！」と思われるかも知れませんが…。　でも、そんなことを言ったら２進数を使う「２本指星人」に笑われます。地球人は、どうしてそんなに計算が遅いの？と。　２本指星人は、あらゆる四則演算を超高速でこなせます。だって１と０を用いる非常に単純な計算をするだけなんですから。九九を覚える必要もありません。…とはいえ、彼らの計算方法をここですべてご紹介するのは、ちと骨が折れます。ぜひみなさま自身が考えてみて下さい。なに、わたしたち地球人が計算するのと同じ仕組みを使っているので、大丈夫ですよ。　ここでは、2進数を２で割る計算だけお話して終わりにしたいと思います。2本指星人は、どうやって数を半分にするのか？　10進数を10で割るときに、末尾の０を削除するだけで済むのはご存じですね。2進数でも同じ…2進数を２で割るというのは、末尾の０を削除するのと同じなのです。　　たとえば８÷２＝４ですが、これを2進数では…　　　　　　　　８＝１０００（２）÷２＝１００（２）＝４　　　となります。　　あるいは６５５３６を２で16回割る計算は、10進数では以下の通りですが…　６５５３６÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（16回割り算スタート）＝３２７６８÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（あと15回）＝１６３８４÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２（あと14回）＝８１９２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２（あと13回）＝４０９６÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２（あと12回）＝２０４８÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２（あと11回）＝１０２４÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２（あと10回）＝５１２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２（あと9回）＝２５６÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２（あと８回）＝１２８÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２（あと7回）＝６４÷２÷２÷２÷２÷２÷２（あと6回）＝３２÷２÷２÷２÷２÷２（あと5回）＝１６÷２÷２÷２÷２（あと4回）＝８÷２÷２÷２（あと３回）＝４÷２÷２（あと2回）＝２÷２（ラスト1回）＝１（ゴールイン！）　　2進数では、以下の通り一瞬です。　　６５５３６＝１００００００００００００００００（２）なので、　　　　１００００００００００００００００（２）　　　　　　÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２÷２　　　＝１（０を16個取り除くだけ）　世界は解釈でできている！　　さあて…これで2023年度栄光中学入試問題に潜む謎を解決する手はずが整いました！　　次回から本格的にその謎に迫っていきましょう！　今回の記事の中に、実はその重大なヒントがいくつも隠れています。皆さんも、一緒に考えてみてください。　またこの記事だけをお読みになって２進数について深い理解を得られるとすれば、あなたは、驚きと興奮に満ちた新しい世界の入り口に立ったと言えるかもしれません。わたしたちがふだん使わない数の数え方…ただそれに気づくだけで、信じられないほど新鮮な愉悦があなたを待っています。ここに19世紀ドイツの哲学者フリードリヒ・ニーチェの言葉を引いて結びとしたいと思います。「事実というものは存在しない。存在するのは解釈だけである。」算数塾Arith塾長　斉藤算数塾Arith（アリス）算数塾Arith（アリス）は、横浜の算数塾です。arith-sansu.com
25Dec
- 栄光学園2023年度入試問題　解決までの道②
  前回の続きは　前回の投稿では、2023年度栄光学園中学大問３をご紹介しました。今回は、その続きです。では解説を…　まあわりとよく見かける問題で、算数が得意な子なら10分もあれば正解にたどり着けるでしょう。（１）2023→2024→1012→506→253→254→127→128→64→32→16→８→４→２→１　　よって14回（２）例えば［３］と［５］と［６］について考えてみます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　３→４→２→１　より、［３］＝３回　　　　　　５→６→３→４→２→１　より、［５］＝５回　　　　　　　　６→３→４→２→１　より、［６］＝４回　つまり５のような奇数の操作回数を求める場合、①まず１を加えて６にし、②つぎに６を２で割って３にするところから始まります。しかし［６］のような偶数であれば、２で割る操作を１回するだけで３にすることができます。いずれの場合も３になったあとは、３を１にする操作回数である３回を付け足すだけで良いわけです。したがって［５］＝２回＋３回＝５回、［６］＝１回＋３回＝４回…と求めることができます。　このようにして、ある数の操作回数は、それまでに求めた数の操作回数を参照することでつぎつぎに求めていくことができます。　次のように整理すると、同様にして［７］［８］は［４］を参照し、［９］［10］は［５］を参照し、［11］［12］は［６］を参照し…それぞれの操作回数をつぎつぎに求めていけることが解りますね。　　　 A 　　［A］　　　２　　１回　　　３　　２回＋１回＝３回　　　４　　１回＋１回＝２回　　　５　　２回＋（２回＋１回）　　　＝２回＋３回＝５回　　　６　　１回＋（２回＋１回）　　　＝１回＋３回＝４回　　　７　　２回＋（１回＋１回）　　　＝２回＋２回＝４回　　　８　　１回＋（１回＋１回）　　　＝１回＋２回＝３回　　　９　　２回＋（２回＋２回＋１回）＝２回＋５回＝７回　　　10　　１回＋（２回＋２回＋１回）＝１回＋５回＝６回　　　11　　２回＋（１回＋２回＋１回）＝２回＋４回＝６回　　　12　　１回＋（１回＋２回＋１回）＝１回＋４回＝５回　　　13　　２回＋（２回＋１回＋１回）＝２回＋４回＝６回　　　14　　１回＋（２回＋１回＋１回）＝１回＋４回＝５回　　　15　　２回＋（１回＋１回＋１回）＝２回＋３回＝５回　　　16　　１回＋（１回＋１回＋１回）＝１回＋３回＝４回　　　17　　２回＋（２回＋２回＋２回＋１回）＝２回＋７回＝９回　　　18　　１回＋（２回＋２回＋２回＋１回）＝１回＋７回＝８回　　　：　　　：　　　：　　　32　　１回＋（１回＋１回＋１回＋１回）＝１回＋４回＝５回　このように考えると、［16］＝４回を参照することで［32］＝１回＋４回＝５回となる整数32の出現を予測することができ…正解は５、12、14、15、32となります。（３）ここまで解ってしまえば、同様の手順でスピーディに正解を導くことができます。ぜひ、ご自分でお試し下さい。しかし本題はここから…　…さて本題はここからなのです。ここから先は上の内容を十分にご理解なさった上で、お読み下さい。　わたしが１週間ほど考え続けたというのは…。　上のように整理してみると、何かお気づきになりませんか？　そうです。「［A］を求める式は、すべて１回と２回の和で出来ている」んです。これを不審に思ったわたしは①「２回」をすべて「０回」に変換して書き直し、②それらを右から逆順に並べ替えてみました。　例えば…　　　［14］＝１回＋２回＋１回＋１回　　　この式の「２回」を「０回」に変換すると１回＋０回＋１回＋１回。　　右側から逆順に並べ替えて「＋」を省くと…１１０１　この１１０１をわたしは２進数ではないかと考えました。そこで１１０１を10進数に換算すると、なんと13！　14より１だけ小さな数だったのです。　何かの偶然ではないかと疑い、他の数についても試してみました。　　　Ａ　　［A]　　　　　２を０に変換　逆順に　　10進変換　　　：　　　10　　1＋2＋2＋1　　　　１００１　　１００１　　　９　　　11　　2＋1＋2＋1　　　　０１０１　　１０１０　　　10　　　12　　1＋1＋2＋1　　　　１１０１　　１０１１　　　11　　　13　　2＋2＋1＋1　　　　００１１　　１１００　　　12　　　14　　1＋2＋1＋1　　　　１０１１　　１１０１　　　13　　　15　　2＋1＋1＋1　　　　０１１１　　１１１０　　　14　　　16　　1＋1＋1＋1　　　　１１１１　　１１１１　　　15　　　17　　2＋2＋2＋2＋1　　００００１　１００００　　16　　　18　　1＋2＋2＋2＋2　　１０００１　１０００１　　17もはや疑う余地はありません。［A］を求める式は…Aから１だけ引いて２進数に直した数と、記号的に一致していたのです！！　つまり…（１）［2023］を求めなさい。　　　2023－１＝2022　　　2022は２進数に治すと…１１１１１１００１１０　　　「０」を「２」変換して…１１１１１１２２１１２　　　これを逆順に並べ替えて…２１１２２１１１１１１　　　各桁の数の和を求めると…　　　［2023］＝２＋1＋１＋２＋２＋１＋１＋１＋１＋１＋１　　　　　　　＝14よって14回　…となるわけです。　なんと美しい！！！…とわたしは感動しました。　しかしここから先がわたしの苦闘の始まりでした。　この美しい仕組みを、論理的に演繹して解明しなければなりません。斉藤先生が自分に課した問題は…？問題　［A］を求めるには、２進数として表したA－１の各桁にある「０」を「２」に変換した上で、各桁の数の和を求めればよい。その理由を説明しなさい。　さて、これの解説は、長くなるので、また次回に発表いたします。　それまで、どうか皆様もご一緒に考えてみて下さい。では。算数塾Arith塾長　斉藤
- 栄光学園2023年度入試問題　解決までの道①
  　2023年度　栄光学園　大問３　神奈川県の私立中学の入試問題です。　この問題の内容について、ここ１週間ほど考え続けて、ようやく解決したので、ご報告します。こんな問題…　2以上の整数に対して、以下の操作を行います。　　　　　　操作：偶数ならば２で割り、奇数ならば１を足す。　2以上の整数Aに対して、この操作を繰り返し、結果が１になるまでの操作の回数を［A］とします。　例えば、５に対して操作を繰り返すと、５→６→３→４→２→１になり、５回の操作で１になるので、［５］＝５になります。（１）［2023］を求めなさい。（２）［A］＝５になるような２以上の整数をすべて答えなさい。（３）［６］～［30］を求めて、解答欄の表に書き入れなさい。　ちょっと本腰を入れて解いてみて下さい…。　解説は、次の投稿で。算数塾Arith 斉藤
19Dec
- 連載第４回　論理的思考力は何からできているのか？
  　ひと口に思考力と言いますが……　単に「思考力」と言ってしまえば、それは「考える力」のことですから、そんなものは誰にでもあります。連載第３回「算数は何のために勉強するのか」でも触れましたが、すべての人間は「考える」宿命から逃れられません。単純に程度の問題だということではないのです。それを言うなら、センスや勘や経験だけで高度に思考し、結果として的確な判断を下せる人間もいます。　ここでの思考力というのは、感覚や勘に依存せず、物事の有り様を客観的に正しく把握した上で、それをもとに矛盾のない理屈を演繹的に積み上げて新しい結論を生み出していこうとする力、つまり「論理的思考力」のことです。思考の入り口で感覚や勘を働かせることには何の問題もありません。しかしそれだけを前提にして結論を導くのは論理的思考力によるものとは言えません。嘘つきのパラドックス　例えば…むかしわたしは、次のような問題を黒板に書いて子どもたちに考えさせたことがあります。小学３年生の彼らは、同年齢の平均レベルをはるかに凌駕するような優秀な子たちでした　太郎くんがこう言いました。　「じつは、ボクはウソつきなんだ…」　さて、太郎くんはウソつきでしょうか？　それとも正直者でしょうか？　有名な「嘘つきのパラドックス」ですね。子どもたちは口々に答えました。「正直者だよ。だって自分のことを嘘つきだなんて言える人は良い人に決まってる！」「いや、ウソつきだろう。自分で嘘つきだと言ってるんだから」等々…。　と、そこへ遅れて入ってきたＹ君といういう子が黒板を５秒ほど眺めたのち、ぼそりと呟いたひと言が…「あり得ない。この問題はおかしい」　わたしは驚きのあまりしばらく何も言えなかったことを、今でも忘れません。わたしはＹ君に尋ねました。ーーえ、それはどういうこと？　　ーー嘘つきでも正直者でもない人なんていないでしょ？ーー嘘つきでも正直者でもない人？　　ーーだって太郎君はどっちでもないってことになるでしょ？ーーどうしてそう考えたのか教えてくれる？　　ーーいいよ。まず太郎君がウソつきだとするとさ、「僕はウソつきだ」ってのもウソだよね。つまり太郎君はウソつきじゃないってことになる。じゃあ太郎君が正直者だとしたら、「僕はウソつきだ」とウソをついていることになるから、太郎君は正直者でもない。だから太郎君はウソつきでも正直者でもないってことになるんじゃない？　そう、この問題は論理的に解決することが不可能なのです。ほかの子どもたちの思考力が欠けていたわけではありません。ただ彼らは、主観や思い込みを前提として結論を導いてしまい、この問題を客観的な理屈を使って考えることができなかっただけなのです。その一方でY君の説明は、見事に矛盾なく筋道が通っていました。　ちょっと分析してみましょう。①.太郎君は「ウソつき」か「正直者」かのどちらかである。②.どちらなのか解らないから、まずウソつきだと仮定してみよう。③.すると太郎君のセリフの内容の反対が真実となるべきだ。④.したがって太郎君はウソつきではないということになり、⑤.②の仮定と矛盾する。だから太郎君はウソつきではない。⑥.そうであれば太郎君は正直者のハズである。そう仮定してみよう。⑦.すると太郎君の「僕はウソつきだ」という発言は「ウソをつく」行為であるから⑧.ウソをつく太郎君は正直者ではないことになり⑧.⑥の仮定と矛盾する。⑨.⑤と⑧の結論は、①の前提と矛盾する。⑩.したがってこの問題自体が成立しない。…というわけです。そう思考した上でY君が呟いたのが「この問題はおかしい」という言葉だったのです。これこそが論理的思考です。　いかがでしょうか？　この複雑なパラドックスをＹ君はわずか数秒で看破しました。まあ、こんな芸当をあっさりやってのける子です。案の定、Y君は算数オリンピックのある部門における全国大会で金賞を受賞したわけですが。論理的思考力は何からできているのか？　さて、今日のお題。「論理的思考力は何からできているのか？」その答えはもう見えています。　それは「理性的な言葉」です。　論理は英語でロジック（logic)と言いますが、その語源はロゴス（logos）という言葉です。そしてロゴスという言葉には「言葉・理性」という意味があります。それが示唆するように、論理的思考力というのは、言葉を理性的に正しく操ることで物事を客観的に認識し理屈を組み立て、それによって自分や他人を納得させる力のことなのです。　Y君は言葉を理性的に用いて誰にも否定することのできない結論を導き、言葉を理性的に用いてわたしを納得させた…ということだったのです。ほかの子どもたちの失敗の原因は、明確な根拠のない、非理性的な主観や感覚に依存した言葉を用いて思考してしまったところにあったわけです。　論理的思考力には、洞察力や記憶力や知能の高さも無関係ではありません。そうした資質があれば、当然ながら論理的思考をスムーズに行う大きな助力となるでしょう。Y君のように、ごく短い時間でも複雑なパラドックスを解明できるかも知れません。でも、それらは論理的思考力の「原材料」ではありません。多少の遠回りをしたとしても、あるいは時間がかかったとしても正しくゴールにたどりつけるのは、唯一「理性的な言葉」の力によるものなのです。子どもたちが理性的な言葉で話せるように…　では、子どもたちが理性的な言葉を使えるようになるために、周囲の大人はどうすべきか？　論理的思考というのは幼い頃から養われる「心の習慣」です。わたしは、授業の中で子どもたちと接する時に、以下の４点を特に気をつけています。①大人が子どもに対して、いい加減な言葉を使わない。　主語や述語あるいは「てにをは」をきちんと意識して、ゆっくりと話しかけることを心がけるべきです。それが物事を秩序立てて把握する習慣につながります。②思考を停止させるような押し付けを行わない。　「みんな宿題をやってるでしょ。だからあなたもやりなさい！」…これはもう、様々な意味で最悪です。論理もへったくれもありません。子どもは不服そうな顔をして終わるだけです。「あなたが宿題をやらないとママが怒られて恥ずかしいのよ。だからやって欲しいのだけど…」この方がずっとマシです。③子どもが発言する機会を絶対に奪わない。「大人の話に子どもが口を出すな」とおっしゃる方にお目にかかったことがあります。わたしは憤慨してその方に言いました。「大人が子どもの未来を奪わないで下さい」と(笑)。というのも、発言する行為が能動的に行われた場合、それは多くの場合において相手を納得させようとする意図が前提にあるからです。その機会を奪うというのは論理的思考力を養う機会を奪っていることに他なりません。むしろ状況に応じて、どんどん発言させるべきなのです。連載第２回の中で、「思考のアウトプット」の重要性を強調した理由はそこにあります。④先回りをして話をしない。問いかけによって会話を進めること。「あくびをしたり、頬杖をついて授業を受けちゃダメだよ。先生に失礼でしょ」このように言われたら子どもは「うん」と答えるしかありません。思考のアウトプットの余地が何もないのです。わたしなら、こう問いかけます。「授業中にあなたがあくびをしたり頬杖をついていたら、先生にはどう見えるかな？」と。もしかすると、その先で「礼儀は必要なのか」などということを考えるきっかけになるかも知れません。論理空間で遊ばせよう…　オーストリアの哲学者ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインは、理性的な言葉によって構築された領域を「論理空間」と呼びました。なんてステキな言葉でしょう。この「論理空間」というものに思いを馳せると、わたしはワクワクします。この領域の中で羽を広げて遊び回っていれば、何か１つの真理にたどり着けるのではないかという気がするのです。　算数というのは、こうしたワクワクを味わうための１つの手がかりにすぎませんが、もっとも重要な手がかりかも知れません。子どもたちが、このワクワクを味わうために算数を手がかりとして論理空間の中へ集まってきてくれると良いなあ…とわたしはそんな風に思います。　算数塾Arith塾長　斉藤算数塾Arith（アリス）算数塾Arith（アリス）は、横浜の算数塾です。arith-sansu.com
15Dec
- 連載第３回　算数は何のために勉強するのか？
  名探偵　明智小五郎は…　少年時代に大好きだった江戸川乱歩の小説に登場する名探偵「明智小五郎」は、仕事の息抜きに数学の問題を解いていたそうです。またWikipediaによると、明智小五郎は、証拠の科学的な検証は「好きでない」として専門家に任せ、論理的演繹によって犯行や犯人をあぶり出すという探偵手法を取っていたとのことです。論理的演繹（えんえき）というのは、ある一つの事実や前提をもとにして理屈を順番に積み上げて結論を導くという思考の仕方です。つまり彼は、結果を見て物事を判断する（演繹に対して、これを帰納と呼びます）のを嫌い、理屈によって導かれた「正しさ」こそを何よりも愛していたということなのでしょう。もう一つの思い出　こんなことを書いていて、また一つの記憶がよみがえってきました。十数年前の教え子にO君という子がいました。彼は中学受験勉強というものについて、こう語っていました。　「中学受験勉強なんて本当の学問じゃないと思っています。そのものは無意味です。それでも僕は我慢して受験勉強をします。それは開成中学に行って、本物の学問を志すためです」と…。そうして開成中学に見事に合格したO君は、イヤでたまらない受験勉強の合間の息抜きとして…あの明智小五郎と同様に算数の問題を解いていたというのです。わたしはO君に尋ねました。ーー算数はイヤじゃなかったのかい？　　ーーはい。算数は愉しい。それだけで意味があります。ーー算数のどんなところが愉しい？　　ーー限界がないところです。ーー思考には限界はない…ということかい？　　ーーはい、そうです。１つの問題でも、考えることは無限にあります。ーー算数は、将来何の役に立つと思う？　　ーーさあ…。算数が役に立つことなんて何もないと思います。　O君は、小６にしてすでに非常に達観した物の見方ができる子どもだったのだと思います…。世の中では算数は…　算数は何のために勉強するのか？　世の中では…「算数を勉強することで、物事を論理的に捉えられるようになる。」「算数で論理的に考える力を養っておけば、大人になっても目の前の問題を解決するのに役に立つ」といったことがよく言われています。　でも、ごめんなさい。わたしにはよく分かりません。　わたしが物事を論理的にとらえようとする人間なのは確かですが、それが算数や数学のお陰なのかは分かりません。　また、算数や数学を学んできたことは、わたしの人生の問題を解決するのに役に立ったのか？　そうかも知れないし…そうでもないような気もするのです。O君が言ったように、わたしの人生において算数なんて何の役にも立たなかったのかも知れません。何かの役に立てることを目論んで算数をやろうとしたこともありません。　「算数や数学を続けてきたのは、ただひたすらに愉しかったから」という答えしか思い浮かばないのです。算数好きは変人か？　算数が愉しいと思える人は特別なんだよ…という声が聞こえてきそうです。しかし…　いいえ、違います。　フランスの思想家ブレーズ・パスカルがいみじくも言ったように、人間は「考える葦（あし）」です。考えることを宿命として生まれてきた動物です。あらゆる人間は、考えることが愉しいと思えるように出来ています。考えるものが算数ではなくても、人間は人生の中で色々なことを悩んで考えます。就職・恋愛・仕事・結婚・育児…。そうした事柄についてあれこれ悩んで考えた末に１つの解決策にたどり着いた時に味わう、ある種の爽快感…。あれこそが、人間が「考える葦」たる所以です。人間は生きている限り、何かを考えて答えを出すことに愉悦を感じてしまうものなのです。　算数や数学では、考えるための道具として「論理」だけが正当性を持ちます。感覚や勘だけで導かれた答えは許されません。子どもたちが算数を愉しいと思えるようになるかどうか。それは…成長過程にある子どもたちに対して、周囲の大人が論理的思考を適切に育んであげられるかどうかにかかっている。ただそれだけのことなのです…。わたしの結論は…　さて、わたしの結論です。もう一度、問います。　算数は何のために勉強するのか？　そこには目的などない。ただ愉しいから。　そう思い始めた瞬間から子どもは、無限に思考することを自ら引き受けるようになるでしょう。…わたしは…１人でも多くの子どもがそんな風になってくれることを心から願っています。算数塾Arith塾長　斉藤算数塾Arith（アリス）算数塾アリス（ARITH）は、横浜の算数塾です。arith-sansu.com
12Dec
- 連載第2回　方程式は算数を学ぶ上で有益か？
  まず、わたし自身の話から…　中学生や高校生のころ、わたしは数学が得意でした。でも、わたしはいま、算数の問題を解く時に方程式を使って解こうという気には、とてもなれません。　算数を解く上で方程式が使えることはほぼないし、方程式を使える問題がまれにあっても、それらは方程式を用いず算数的に思考力を動員して解く方が圧倒的にラクだからです。方程式と算数の比較　例えば数学で典型的な連立方程式に相当するものとして、算数には「消去算」という考え方があります。比較的易しい問題を挙げてみましょう。　アメとチョコを買います。アメが６個とチョコが８個で500円です。アメが７個とチョコが５個で410円です。アメとチョコを3個ずつ買うと何円になるでしょう。これを数学では…アメ1個をｘ円、チョコ1個をｙ円とすると　　　６x＋８y＝500……①　　７x＋５y＝410……②　　　①×7　42x＋56y＝3500……③　　　②×6　42x＋30y＝2460……④　　③－④　 26y＝1040　　　　　　　　　 y＝40……⑤　　⑤を①に代入して　６x＋８×40＝500　　　　　　　　　　　６x＝180　　　　　　　　　　　　x＝30　　∴３x＋３y＝30×３＋40×３＝210　　　　　　　　　　　　　　　　よって　210円しかし算数的な思考を用いると…「あ、アメが６個と７個で合わせて13個。チョコも８個と５個で合わせて13個になるのか。だから…えーとアメもチョコも13個ずつ買うと、合計で500＋410＝910円になるんだな。…ということは、それぞれ１個ずつ買うと910÷13＝70円になるんだから…わかった！　３個ずつ買うと70円×３＝210円だ。おわり。」というわけです。方程式と算数で、解法の違いは…　上の例題から分かるように、方程式では「形式」に頼るカチっとした解法になります。形式に乗せられる問題であれば確実に答えが出せるという安心感がありますが、かなり面倒で遠回りです。　それに対し算数では、発想や感覚に頼る柔らかい解法で、それを見つけ出せれば近道を通って「ラク」に答えを出せます。しかし「場当たり的だ」という感は否めません。　つまり両者の間には…解く過程で、感覚や発想力を総動員し脳を使って考えるという行為（思考）が存在しているかどうかという違いがあるのです。　算数が得意なお子さんが中学受験を経験し、中学入学後に典型的な問題を方程式を使って解くことを嫌がる…という話をたまに耳にします。彼らが異口同音に唱えるのは「だって方程式なんか立てなくても、ちょっと考えればすぐに解けるじゃないか」ということです。…もっとも彼らもいずれはすぐに馴染んで方程式を用いる解法を身につけます。彼らは「思考力と方程式」という非常に強力な武器を両手にたずさえて、その後もぐんぐんと力を伸ばしていくことになります。「公式の暗記？　そんなの必要ないでしょ？　公式なんて、考えれば自分で導くことができるでしょ？」と、あっけらかんとして高等数学をも軽くやり過ごします。　一方で、算数は苦手だったのに、中学で数学を習ってできるようになったという話もよく聞きます。それはもっともな話です。出題パターンと形式だけを覚えて機械的に処理しさえすれば確実に答えが求まります。中学入学当初に習う数学に、思考力と発想力の出番などないのです。ところがそれも長くはもちません。いよいよ高等数学を習うにいたり、それこそ「星の数」ほどの公式の暗記が彼らを絶望に追いやることになります。たいへん可哀想なことですが、小学生の間に思考力をきちんと鍛えておくべきだったのに…ということになるのです。　方程式は算数を学ぶ上で有益か？　ここで今日のお題に戻ります。方程式は算数を学ぶ上で有益か？　答えはこうです。一般的に有益ではない。それどころか、むしろ有害かもしれない。　冒頭でお話ししたように、いわゆる難関校と呼ばれる中学の入試問題の中では、方程式が算数に役立つことはほぼありません。「方程式という形式」に依存するのが不可能な問題ばかりが出題されるからです。それに立ち向かうには、鍛えられた思考力、つまり柔らかな発想と感覚に頼るしかありません。　しかし鍛え上げられた思考力を持つ者が方程式という手法を手に入れたとき、将来にわたって、それはこれ以上ない強力な武器となります。それはひとえに、方程式が思考力を高度に抽象的な次元まで引っ張り上げてくれるからです。　逆に思考力の未熟な子どもが方程式の手法を身につけると…結果は目に見えています。形式的で機械的で手軽な手法を身につけた子どもは、それ以上思考することをやめ、つねに既存の形式を求めてさ迷うようになります。人間は易きに流れる生き物ですから…。こうして「初見の問題は解けない。だって習ったことないんだもの…」という事態に陥るのです。方程式を習うのは、どのタイミングが理想か？　わたしは、方程式を子どもに教えるのは、どんなに早くとも５年生の後半以降だろうと考えています。それまでは、算数のあらゆる分野において物事をイメージ化し論理的に言葉で解釈する「思考のアウトプット」の訓練をじっくり行って思考の幅を広げるべきです。　大人にとって有益な道具は、時として子どもにとって有害である…。そんな一例かもしれません。算数塾Arith塾長　斉藤算数塾Arith（アリス）算数塾アリス（ARITH）は、横浜の算数塾です。arith-sansu.com
08Dec
- 連載第1回　個人指導塾が良いのか、集団指導塾が良いのか
  　子どもの算数の苦手分野を強化してもらえるのか。置いてきぼりにならずに授業についていけるのか。理解できないところを理解できるようにしてもらえるのか…。子どもの性格や能力や資質は、当然のことですがひとりひとり異なります。したがってわが子の能力や学力を伸ばしたいと考える保護者にとって、個人指導塾に通わせるべきかどうかというのは大きなポイントになっているようです。そうした風潮のためでしょう、「完全個別」を唄う塾を多く見かけます。大事なのは「思考のアウトプット」　ここで多くの方が見落としているのが「授業内で思考を表現する機会が多く与えられているか」という点です。思考表現というのは、端的には、自分の考え方をイメージや言葉で表現し、人を納得させようとする過程を指します。その思考表現の過程が、とくに算数においてお子様の思考力を飛躍的に向上させます。思考表現によって自分の思考を整理することができ、どこに無駄や矛盾があるのかを明確に認識できるようになるわけです。わたしはこの過程を「思考のアウトプット」と呼んでおり、これこそが算数を指導する上で「教わるインプット」よりもはるかに重要だと考えています。ヒトの思考は「イメージ→言葉」　まだ幼い子どもの表現は、始めはぼんやりしたイメージにすぎません。それを絵や図で描いてみることがきっかけになります。その経験の中でさまざまな思考整理の仕方を学んで身につけていくことになります。6才ころから言葉による表現を身につけていくことで、論理性が養われていきます。9才になるころから、言葉による表現を式による表現へと変換する訓練をしていきます。ヒトの論理性は、いつでも「イメージ→言葉」の過程をたどることで成り立ちます。イメージがなければ言葉で表現できない、言葉で表現できなければ式を立てられない…ということになるわけです。では、どちらが良いのか…ここで最初の問題に戻ります。個別指導塾が良いのか、集団指導塾が良いのか。それは、どちらの指導形態の方が、お子様に「思考のアウトプット」の機会をより多く与えられるのか…ということになります。　個別指導塾では、教師が付きっきりで丁寧に教えてくれます。しかしそれは一方的な問題解説にとどまり、お子様はただ「うんうん」と頷いて聞いているだけかも知れません。「分かり易い授業」を信条とする教師によく見られる落とし穴です。しかし経験を積んだ質の良い教師なら、お子様にアウトプットを促し、何の解説をすることもなく、お子様にみずから正しい論理を導かせ正解を求めさせることも可能です。　集団指導塾では、教師だけでなく他のお子様とのやりとりの中で「思考のアウトプット」の機会が存分に与えられます。とくに前に出たがるお子様には有利です。しかし内向的な性格のお子様にとっては、授業中は黙って聞いているだけの「インプット」に終始し、あまり効果は期待できなくなります。また教師そのものが「授業は黙って静かに聞くものだ」と子どもたちを抑えつけたり、逆に子どもたちが騒ぎすぎるのを抑えられず授業が崩壊するというケースも多々あります。　わたしは30年以上にわたる経験の中で見てきています。本当に質の良い教師だけが、子どもたちの雰囲気を盛り上げ活発なアウトプットを促し、彼らの算数力を飛躍的に向上させていくということを。「思考のアウトプット」という視点からは、個別指導塾にも集団指導塾にも重大な一長一短があります。どちらが優れているのかということは、それだけで一概に判断することはできません。そこで塾選びの1つの基準として…十分な経験を積んで適切にアウトプットを促せる質の良い教師が指導するのかどうか。そうした質の良い教師ならば、カリキュラムの組み立てや宿題の内容や量についても適切に判断できるというのは言うまでもありません。　わが子を担当する教師がどのような立ち位置で算数を教えるのか…。算数塾を選ぶ際は、個別指導塾か集団指導塾かに関わらず、その塾の指導方針や担当教師の指導の立ち位置を知っておく必要がある…ということです。算数塾Arith塾長　斉藤算数塾Arith（アリス）算数塾アリス（ARITH）は、横浜の算数塾です。arith-sansu.com