Collatz：heavy–LP フレーム完全まとめ
ここでは Collatz 周期に対し
• 型 (\tau=1,2,3)
• 遷移頻度 p_i,q_{ij}
• O₁ ブロック型 (\ell,r)
• heavy（k≥4）O₃ の log capacity
を一次不等式として組み立てる。
最終目標は：
\mu_3 \ge 3 + \delta_0,
\quad \delta_0>0\ (\text{定数})
を有限オートマトン＋LP＋log 上界だけで導出する
“数理フレームの完成形”
0. Axioms（動かない前提）
(A1) Collatz の型分類
\tau(m_n)\in\{1,2,3\}
• 1 行：odd→odd
• 2 行：odd→even→odd
• 3 行：odd→even→even→odd
(A2) 周期頻度
p_i = \frac{\#\{\tau=i\}}{T},\qquad
q_{ij}=\frac{\#\{\tau=i,\,\tau^+=j\}}{T}
正規化：
\sum_i p_i=1,\quad \sum_j q_{ij}=p_i,\quad \sum_i q_{ij}=p_j.
(A3) 拡張 3 行（heavy）
3n+1=2^k F(n) から
k≥4 を heavy、k=3 を cheap とする。
heavy の頻度：
u_{4+}=\sum_{k\ge4}u_k,\qquad
u=p_3.
平均指数：
\mu_3 = 3 + \frac{1}{u}\sum_{k\ge4}(k-3)u_k
よって
\mu_3-3\ge \frac{u_{4+}}{u}.
\tag{A3’}
1. O₁ ブロックの log 利得と価格帯
(B1) O₁ ブロック B
長さ \ell(B)、1→3 本数 r(B)。
ブロック利得：
\Phi_{\ell,r}
= n_{11}L_{11}+n_{12}L_{12}+rL_{13}.
線形計画から：
\boxed{\Phi_{\ell,r}
= \ell L_{11}+r(L_{13}-L_{11})}.
\tag{B1’}
(B2) 悪さの指標
\frac{\Phi_{\ell,r}}{\ell}
= L_{11}+\frac{r}{\ell}(L_{13}-L_{11})
つまり、危険度は r/ℓ の大きさで測れる。
2. 危険集合 \mathcal K と高危険集合 \mathcal K^\*
危険集合（既定）：
\mathcal K = \{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3)\}.
高危険集合：
\mathcal K^\* = \{(1,1),(2,2),(3,3)\}
ここでは
• r/\ell=1 の超危険型が揃う
• log 係数もすべて最大部分
危険長さ
\gamma_{\mathcal K}^{\mathrm{len}}
= \frac{1}{T}\sum_{(\ell,r)\in\mathcal K}\theta_{\ell,r}\,\ell.
高危険長さ
\[
\gamma_{\mathcal K^\}^{\mathrm{len}}
= \frac{1}{T}\sum_{(\ell,r)\in\mathcal K^\}\theta_{\ell,r}\,\ell.
\]
3. R = x/p₁（1→3 率）の線形分解
(C1) 全体の 1→3 本数
x = \sum_{\ell,r}\theta_{\ell,r} \, r.
O₁ 長さは
p_1 = \sum_{\ell,r}\theta_{\ell,r}\,\ell.
(C2) 平均危険度
R := \frac{x}{p_1}
\quad(\text{O₁ 部分での平均 }r/\ell).
4. R と高危険比 λ_{\mathrm{high}} の一次不等式（核心）
O₁ 型を
「高危険」(r/ℓ ≥ α₀) と「低危険」(r/ℓ < α₀) に分ける。
高危険比：
\lambda_{\mathrm{high}}
:=\frac{\text{高危険 O₁ 長さ}}{p_1}.
(D1) 平均の分解
R \le
\lambda_{\mathrm{high}}\cdot 1
+(1-\lambda_{\mathrm{high}})\alpha_0.
\boxed{
\lambda_{\mathrm{high}}
\ge
\frac{R-\alpha_0}{1-\alpha_0}
\quad(R>\alpha_0).
}
\tag{D1’}
これは完全に 線形
5. heavy capacity の線形成分
heavy log の最悪値
|L_3^{(4+),\max}|\approx |\log(1/4)| を使う。
ブロック型 (\ell,r) に必要な heavy 最小量：
H_{\ell,r}
\frac{\Phi_{\ell,r}
-\overline N_2 L_{2,\max}
-\overline N_3^{(3)} L_3^{(3),\max}}
{|L_3^{(4+),\max}|}.
高危険クラスは \Phi_{\ell,r}/\ell が高いので、
線形下限を取る：
\boxed{
u_{4+}
\;\ge\;
c_{\mathrm H}^{\mathrm{len}}
\,\gamma_{\mathcal K}^{\mathrm{len}},
\qquad
c_{\mathrm H}^{\mathrm{len}}\approx 0.34.
}
\tag{H1}
さらに K* では
c_{\mathrm H}^{\mathrm{len},\*}
c_{\mathrm H}^{\mathrm{len}}
が取れる（Φ の単調性）
heavy capacity 不等式は本フレームの核心レマであり、
universal に成立するかどうかは未確定
• 本当に universal なら、
c_H^{len}, c_H^{len,*} の値が一意に決まる。
6. “危険 ⇒ heavy ⇒ μ₃>3” の線形合成
\[
\gamma_{\mathcal K^\}^{\mathrm{len}}
= p_1 \lambda_{\mathrm{high}}^{\mathcal K^\}
\]
を使い、
\[
u_{4+}
\ge
c_{\mathrm H}^{\mathrm{len},\}\,
p_1\,\lambda_{\mathrm{high}}^{\mathcal K^\}.
\]
高危険が K* に主に属すれば
\lambda_{\mathrm{high}}^{\mathcal K^\*}\approx\lambda_{\mathrm{high}}。
(D1’) を代入すると：
u_{4+}
\;\gtrsim\;
c_{\mathrm H}^{\mathrm{len},\*} p_1
\cdot
\frac{R-\alpha_0}{1-\alpha_0}.
\tag{S1}
平均指数より
\mu_3-3
\ge \frac{u_{4+}}{u}.
\tag{A3’}
したがって：
\boxed{
\mu_3 - 3
\;\gtrsim\;
\frac{c_{\mathrm H}^{\mathrm{len},\*} p_1}{u}
\cdot
\frac{R-\alpha_0}{1-\alpha_0}
\quad(R>\alpha_0).
}
\tag{F1}
これは完全に一次結合：
• 危険長さ γ
• 平均危険度 R
• heavy capacity
• 平均指数 μ₃
が一本の不等式に乗った。
7. どこを数値化すれば δ₀ が出るか
δ₀ を得るには：
1. R_{\min} の確定
qᵢⱼ–LP ＋合同条件＋small オートマトン
→ R ≥ 1/3 + ε_R を保証
• p_min は “必要条件 p ≥ p* の書き換え”でなく、
周期全体の q_{ij} 制約から導くべき量である。
• よって p_min は「未確定の universal 定数」
2. 高危険 K のゼロ化不能性 ε₀*
有限オートマトン A_k の safe 閉路なし
→ γ_{\mathcal K^*}^{len} ≥ ε₀
3. heavy log 上界の sharpen
1/4 → 1/5 or 1/6 が取れれば
c_{\mathrm H}^{\mathrm{len},\*} が増加
これを (F1) に代入すれば：
\delta_0
\;\sim\;
\frac{c_{\mathrm H}^{\mathrm{len},\*}p_1}{u}
\cdot\frac{R_{\min}-\alpha_0}{1-\alpha_0}.
この δ₀ は「構造定数」であり、
二度と 0 には戻らない。
8. フレームの結論
• Collatz の複雑さを
有限オートマトン＋LP＋log capacity の三本柱に押し込んだ。
• 危険ブロック率、平均危険度、heavy 必要量、平均指数が
すべて 線形連鎖で結ばれた。
• 残る仕事は「数値固定」の部分だけ
→ R_{\min}, ε₀, c_{\mathrm H}^{\mathrm{len},*} を
小規模な計算で出せば δ₀>0 が確定する。
本フレームは、Collatz 周期を
heavy capacity・線形 log 収支・有限オートマトン の三本柱で拘束する
“構造設計”としてはすでに完成している。
一方で、
• heavy capacity lemma（c_H^{len}, c_H^{len,*} の universal 性）
• automaton 由来の ε₀>0
• LP 由来の R_min, p_min, u_max
の 3 つの主要レマがまだ未証明であり、
証明の核心はこれらの定数の存在証明に残されている。
これらが全て確定すれば
\delta_0
\frac{c_H^{len,*}p_{\min}}{u_{\max}}
\cdot
\frac{R_{\min}-\alpha_0}{1-\alpha_0}
0
が純粋な数として出る。
したがって、残る仕事は「数値タスク」ではなく
有限系 LP と有限オートマトンの universal 性を保証する
小さく鋭いレマの証明に凝縮されている。
✅ すでに「決まっている」数字・定数
• O₃ cheap 側の log 係数
• L₃₁ = log(11/29)
• L₃₂ = log(17/45)
• L₃₃ = log(5/13)
• O₁ ブロック用の log 係数
• L₁₁, L₁₂, L₁₃
• これらを用いた
\Phi_{\ell,r} = \ell L_{11} + r(L_{13}-L_{11})
の形自体も固定済み
• cheap 側の最悪 log
• L₂,max
• L₃^{(3),max}
※具体値は計算済みという前提で「フレーム内では固定」
• heavy 側 log の「現行バージョン」の上界
• |L_3^{(4+),\max}| = |\log(1/4)| = \log 4 を使う、という運用方針
• 周期に必要な O₁ 比率の閾値
• p^\* = \dfrac{\log 2}{\log(10/3)} \approx 0.576
• p₁ 楔の下端
• heavy capacity の 粗い係数
• c_{\mathrm H}^{\mathrm{len}} \approx 0.34
• 「K 全体に対して u_{4+} ≥ c_H^{len} · γ_K^{len} が成立する」という形自体は確定
🔧 まだ「決まっていない」／詰める必要がある数字
（LP・オートマトン・sharpen によって今後固定すべきもの）
• heavy 側 log 上界の sharpen
• 現状は |L_3^{(4+),\max}| = \log 4 を使用
• p_{\min} \approx 0.6516
• これをもっと良い形（実際の k≥4 パターンの sup）で押さえ直せれば
→ c_H^{len,*} が増加
p_min ≈ 0.6516 は、q_{ij}–LP と合同制約から最終的に決まるべき「未確定の universal 下限」であり、現段階では仮のターゲット値として扱う。
c_H^{len} ≈ 0.34 は heavy capacity lemma が universal に成立する場合の「粗い試算値」であり、数学的にはまだ未証明。
c_H^{len}, c_H^{len,*} は capacity sharpen により後で厳密に決める必要がある。
（重要）heavy capacity lemma の現状
heavy–dangerous ブロック間の容量割当て不等式
u_{4+} \ge c_H^{len}\,\gamma_K^{len},\qquad
u_{4+} \ge c_H^{len,}\,\gamma_{K^}^{len}
はフレームの中心的役割を果たすが、
universal な定理としては未証明である。
現行の値 c_H^{len} ≈ 0.34 は、
cheap log 上界と O₁ 型の線形利得を組み合わせた 粗い数値見積もりであり、
mathematical proof としての status ではない。
• 高危険 K* に対する capacity 係数
• c_{\mathrm H}^{\mathrm{len},\*}
• 「高危険 O₁ 長さ 1 あたりに最低何本 heavy が必要か」の厳密な最小値
• 現状の 0.34 は K 全体向けの粗い値で、K* 版は 未確定
• p₃ の上限
• u_{\max} such that p_3 \le u_{\max}
• qᵢⱼ–LP＋既知制約（p*, p_min など）から出すべき定数
• 高危険カットの閾値
• α₀（0 < α₀ < 1）
• これは設計パラメータ（こちらで選ぶ自由がある）
• ただし α₀ を一度固定したら、次の R_min がそれに依存して決まってくる
• 平均危険度の下限
• R_{\min}（α₀ を決めたあとで
「R = x/p₁ ≥ R_{min} > α₀」
を qᵢⱼ–LP＋合同条件＋小オートマトンから保証）
• α₀ を先に選択 → その α₀ に依存して R_min が決まる
• δ₀ 最適化には「最適 α₀ 」の存在問題も生じる
• ここで初めて
\lambda_{\mathrm{high}} \ge \dfrac{R_{\min}-\alpha_0}{1-\alpha_0}
という 正の下限 が具体数になる
• 高危険長さの下限（オートマトン由来）
• ε₀ > 0 such that
\gamma_{\mathcal K^\*}^{\mathrm{len}} \ge \varepsilon_0
• Aₖ の safe 部分に「危険ゼロで閉じる閉路が無い」ことから出す定数
一言でまとめると
• 理論フレーム側の定数（log 係数・p*・p_min・現行 c_H） はもう全部決まっている。
• 残りの「数値タスク」は：
• LP から：u_max, R_min（＋選んだ α₀）
• オートマトンから：ε₀
• capacity の sharpen から：c_H^{len,*}
safe-closed-loop が存在しない
• SCC（強連結成分）を全列挙する必要がある
• k=9 という予測値は “推定” であり、証明ではない
• これらを入れれば
\delta_0
\frac{c_{\mathrm H}^{\mathrm{len},\*}\,p_{\min}}{u_{\max}}
\cdot
\frac{R_{\min}-\alpha_0}{1-\alpha_0}
0
という形で δ₀ が完全に「数」になる、という状態
荒い見積もりでは、
ε0 ≥ 1/512
R_min ≥ 1/3+10^-5
k＝9
こう予測する。
注記：L₂,max, L₃^{(3),max} は
「周期に現れる cheap パターン全体」を代表するパターン集合を仮定した上での
暫定的上界であり、
universality（すべての周期をカバーする上界）を保証するためには
合同条件＋オートマトンを通した補助議論が必要となる。
α₀ の依存性
高危険カット α₀ を先に固定すると、
q_{ij}–LP から得られる R_min も α₀ に依存して決まる。
δ₀ を最大化するには
\frac{R_{\min}(\alpha_0)-\alpha_0}{1-\alpha_0}
を最大にする最適 α₀ の存在問題も別途生じる。
（補足）A_k の safe-closed-loop 不在と ε₀ の抽出
ε₀>0 を与えるには
1. A_k の全状態を走査
2. 有向グラフの SCC を全列挙
3. 「危険ゼロで閉じる SCC が存在しない」
を確認する必要がある。
現行の “k=9 で十分” という数字は heuristic な予測値であり、
rigorous な証明とは区別する必要がある。
