0．目的：周期の log 収支を、完全に一次不等式化する
Collatz 写像
T(n)=\begin{cases}
n/2 & n\equiv 0,\\[4pt]
(3n+1)/2 & n\equiv 1
\end{cases}
の「周期」に対して、
log 収支・遷移頻度・危険ブロック・heavy 行を
有限個の一次不等式で管理するフレームを構築する。
最終的に目指すのは
\mu_3 \ge 3 + \delta_0,\qquad \delta_0>0
を universal な不等式として得ること。
ここでは一切の「計算」（LP やオートマトン）は行わず、
論理構造だけをすべて明示する。
1．型分類と頻度ベクトル
1.1 τ 型分類（固定）
odd−even パターンの長さにより
\tau \in \{1,2,3\}
に分類する：
• 1 行：odd → odd
• 2 行：odd → even → odd
• 3 行：odd → even → even → odd（even が 2 回以上をここに全部まとめる）
3 行のうち、
3n+1=2^k F(n)
で k=3 を cheap、k≥4 を heavy と呼ぶ。
1.2 周期頻度
周期長 T に対し
p_i=\frac{\#\{\tau=i\}}{T},\qquad
q_{ij}=\frac{\#\{\tau=i,\tau^+=j\}}{T}
正規化：
\sum_i p_i=1,\qquad
\sum_j q_{ij}=p_i,\qquad
\sum_i q_{ij}=p_j.
すべて一次制約である。
2．O₁ ブロックと log 利得
2.1 O₁ ブロック (ℓ,r)
O₁ ブロックとは、
odd → odd の連鎖を 1 unit としたまとまり。
• 長さ ℓ
• 1→3 が r 回含まれている
ブロックの log 利得：
\Phi_{\ell,r}
= \ell L_{11} + r(L_{13}-L_{11})
\tag{2.1}
これは n₁₁+n₁₂+r＝ℓ からの単なる代数変形
3．危険集合と危険度 R
3.1 危険集合と高危険集合
危険集合：
\mathcal K=\{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3)\}.
高危険集合：
\mathcal K^*=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}.
3.2 危険度 R（平均の r/ℓ）
x=\sum_{\ell,r}\theta_{\ell,r}\,r,\qquad
p_1=\sum_{\ell,r}\theta_{\ell,r}\,\ell.
R=\frac{x}{p_1}.
\tag{3.1}
4．高危険比 λ_high の一次不等式
危険率カット α₀ を与えて
• 高危険型：r/ℓ ≥ α₀
• 低危険型：r/ℓ < α₀
高危険 O₁ 長さ比：
\lambda_{\mathrm{high}}
= \frac{\text{高危険 O₁ 長さ}}{p_1}.
平均の分解から
R \le \lambda_{\mathrm{high}}\cdot 1 + (1-\lambda_{\mathrm{high}})\alpha_0.
\boxed{
\lambda_{\mathrm{high}}
\ge \frac{R-\alpha_0}{1-\alpha_0}
}
\tag{4.1}
完全に一次不等式
5．heavy capacity（形式のみ）
危険ブロックは log 赤字を持つ。
heavy（k≥4 の O₃）は log 黒字を持つ。
heavy 必要量（形式）
H_{\ell,r}
\frac{
\Phi_{\ell,r}
\overline N_2 L_{2,\max}
\overline N_3^{(3)} L_{3}^{(3),\max}
}{
|L_3^{(4+),\max}|
}.
\tag{5.1}
heavy 総量 u_{4+} に対して
\[
u_{4+}\ge
c_H^{\mathrm{len}}\;\gamma_{\mathcal K}^{\mathrm{len}},
\qquad
u_{4+}\ge
c_H^{\mathrm{len,}}\;\gamma_{\mathcal K^}^{\mathrm{len}}.
\tag{5.2}
\]
ここでは 形式のみ採用。
c_H^{len}, c_H^{len,*} は後の計算編で決める。
6．μ₃ の下限と一次不等式連鎖
3 行（cheap+heavy）の頻度 u=p₃。
\mu_3
= 3 + \frac{1}{u}\sum_{k\ge4}(k-3)u_k
\quad\Rightarrow\quad
\mu_3-3\ge\frac{u_{4+}}{u}.
\tag{6.1}
(4.1), (5.2) を代入すると
\mu_3-3
\;\gtrsim\;
\frac{c_H^{\mathrm{len,*}} p_1}{u}
\cdot
\frac{R-\alpha_0}{1-\alpha_0}.
\tag{6.2}
これがフレームの主不等式
7．δ₀ の「形」
後に決めるべき universal 定数：
• p_min
• u_max
• R_min
• c_H^{len,*}
を (6.2) に代入すると
\boxed{
\delta_0
\frac{c_H^{\mathrm{len,*}}\,p_{\min}}
{u_{\max}}
\cdot
\frac{R_{\min}-\alpha_0}{1-\alpha_0}
}.
\tag{7.1}
Vol.1 の目的は、この δ₀ の形を作るところまで。
8．結語
本稿（Vol.1）は、
Collatz 周期を heavy capacity・線形 log・遷移頻度の三軸で拘束する
普遍フレーム（理論構造）を完全に記述した。
数値計算やオートマトンは一切使っていない。
Vol.2（計算編）では、
ここで現れた c_H^{len}, c_H^{len,*}, R_min, p_min など
「必要な係数の全て」を具体的に計算し、
δ₀>0 を実数として取り出す。