私たちの世界には、“数”が溢れていますが、
これがもし、“行列”だったら、
どんな世界になるのか？
これを調べたく思い、いろいろ考えています。
行列は、数を長方形に並べたものとして、
定義されますが、これでは、「数あっての行列」です。
私たちの求める世界では、数はなくて、まず行列が存在するので、
数に頼らずに、行列が定義されなくてはなりません。
ということで、今回は、
ケーリー・ハミルトンの定理を満たすものとして行列を定義したら、
どんなことになるのか、またそもそもそんな定義が成り立つのか
を考えたいと思います。
成分を使わず、代わりにケーリー・ハミルトンを公理にしたら、
行列的なものを定義できるかということです。
注意！ この記事では、十分な結果を得られていません。
中途半端なところまでしか書けませんでした。
続きを読む方は、ご了承ください。
まず、
ケーリー・ハミルトンの定理とは、
２次正方行列Ａに対して、
が成り立つというものでした。
３次以上のバージョンもありますが、
ここでは、高校（旧課程だけど）に準じて、２次としておきます。
そこで、
［定義］
次の性質１，２をもつ集合Ｍの元を抽象２次正方行列という。
性質１
Ｍは次の演算をもつ。
加法：Ｍ×Ｍ→Ｍ （Ａ,Ｂ）→Ａ＋Ｂ
乗法：Ｍ×Ｍ→Ｍ （Ａ,Ｂ）→ＡＢ
トレース：Ｍ→Ｍ Ａ→trＡ
デターミナント：Ｍ→Ｍ Ｍ→detＡ
スター：Ｍ→Ｍ Ａ→Ａ*
性質２
Ｍの演算は次の関係式を満たす。
加法の零元の存在：∃Ｏ Ａ＋Ｏ＝Ａ,ＡＯ＝ＯＡ＝Ｏ
加法の逆元の存在：Ａに対してＡ＋Ｂ＝ＯとなるＢが存在する。
Ｂ＝－Ａ，Ｃ＋（－Ａ）＝Ｃ－Ａと書く。
単位元の存在：∃Ｉ ＡＩ＝ＩＡ＝Ａ
交換法則：Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ
結合法則：（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）,（ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ）
分配法則：（Ａ＋Ｂ）Ｃ＝ＡＣ＋ＡＢ,Ａ（Ｂ＋Ｃ）＝ＡＣ＋ＡＢ
ＣＨ：ＡＡ＋tr(Ａ)Ａ＋det(Ａ)Ｉ＝Ｏ
tr（Ａ＋Ｂ）＝trＡ＋trＢ
detＡＢ＝detＡdetＢ
detＩ＝Ｉ
（Ａ＋Ｂ）*＝Ａ*＋Ｂ*
（ＡＢ）*＝Ｂ*Ａ*
（Ａ*）*＝Ａ
ユニタリ元の存在：ＵＶ＝ＶＵ＝Ｉ,Ｕ*＝Ｖを満たすＵ,Ｖ∈Ｍが存在する。
この性質を満たすＵをユニタリ行列という。
対称元の存在：Ａ*＝Ａを満たすＡ∈Ｍが存在する。
この性質を満たすＡを対称行列という。
またＡ*＝－Ａを満たす元を歪対称行列という。
tr（Ａ*）＝（trＡ）*
det（Ａ*）＝（detＡ）*
Ｍとしては例えば、普通の意味での２次正方行列があります。
演算にスカラー倍はありません。
トレースとデターミナントの値域がスカラーでなく、Ｍになっていますが、
スカラーの代わりに、単位行列のスカラー倍を考えているということです。
この定義から矛盾は出ないでしょうか。
今の段階ではよくわかりませんが、これから定理を証明していく中で、
もし矛盾が出れば定義を見直すことにします。
［定理］（対称・歪対称分解）
Ａ∈Ｍに対して、Ｐ*＝Ｐ，Ｑ*＝－ＱなるＰ,Ｑがあって、
Ａ＋Ａ＝Ｐ＋Ｑ
が成り立つ。
＜証明＞
Ｐ＝Ａ＋Ａ*，Ｑ＝Ａ－Ａ*とおくと、
Ｐ*＝Ｐ，Ｑ*＝－Ｑであり、Ｐ＋Ｑ＝Ａ＋Ａとなる。□
スカラーを入れてないので、あえて
２Ａでなく、Ａ＋Ａと書いている。
しかし、面倒なので、これからは、
２Ａ＝Ａ＋Ａ、３Ａ＝Ａ＋Ａ＋Ａなどと書くことにしよう。
スカラーに屈したように見えるかもしれないが、
ここでの２や３は、足し算の回数から出てきたものである。
行列に演算がある限り、「何回演算を施す」という概念は勝手に生じる。
演算から自然数が生まれたのである。決して「自然数が先にあった」のではない。
また、この分解はある意味で一意的である。
もし、Ａ＋Ａ＝Ｐ'＋Ｑ'と書けたとすると、
両辺スターをとって、Ａ*＋Ａ*＝Ｐ'－Ｑ'だから、
（Ａ＋Ａ）＋（Ａ*＋Ａ*）＝Ｐ'＋Ｐ'となり、Ｐ＋Ｐ＝Ｐ'＋Ｐ'
よって、２Ｐ＝２Ｐ'，２Ｑ＝２Ｑ'である。
スカラーを使わないので、２で割れないところが悲しいが、
とりあえず、二つ足したものは一意であることがわかる。
スカラーを使わないことに、一抹の不安を覚えるが、
いざとなったら、同値類にしてしまえばいいのであまり気にしない。
さて、本当は、
［主張］（極分解）
Ａ∈Ｍに対して、ユニタリ行列Ｕと対称行列Ｒが存在して
Ａ＝ＲＵと書ける。
とか、
［主張］（逆元の存在条件）
Ａ∈ＭがdetＡ≠Ｏを満たすならば、
ＡＢ＝ＢＡ＝ＩとなるＢ∈Ｍが存在する。
を証明したいのだが、
どうにもうまくいかないので、もう少し考えないといけない。
ケーリーハミルトンを使わないまま終わるのは後ろめたいが、
もう時間もないので、今回はここで終わります。
もしなにか進展があったら、続きを書くかもしれません。
