三角関数の加法定理①（α+β）
sin(α+β)
=sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)
=cosαcosβ－sinαsinβ
（証明は→三角関数の加法定理の証明）
（要するに、全ての公式を覚える必要はない。
特に3倍角の公式や4倍角の公式、積和・和積の公式は使う頻度が少ない上に簡単に導出できるため、覚えるメリットが少ない。
また、試験中にうろ覚えだったとしても、加法定理から導出できるということを知っていれば公式を作れる。）
導出の道筋
○加法定理
→2倍角→半角
→2倍角→3倍角→4倍角→…
→合成の公式
→積和→和積
→ド・モアブルの公式
加法定理②（α－β）
sin(α－β)
=sinαcosβ－cosαcosβ
cos(α－β)
=cosαcosβ+sinαsinβ
↓〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜↓
（証明）
sin(α－β)
=sin(α+(-β))
=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)
=sinαcosβ－cosαsinβ
(∵cos(-β)=cosβ,sin(-β)=－sinβ)
コサインについても同様。
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タンジェントの加法定理
tan(α+β)
=(tanα+tanβ)/(1－tanαtanβ)
tan(α－β)
=(tanα－tanβ)/(1+tanαtanβ)
↓〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜↓
（証明）
tan(α+β)
=sin(α+β)/cos(α+β)
=(sinαcosβ+cosαsinβ)
/(cosαcosβ－sinαsinβ)
=(tanα+tanβ)/(1－tanαtanβ)
(分子と分母をcosαcosβで割った)
tan(α－β)の方は、
tan(α－β)=tan(α+(-β))
tan(α－β)=sin(α－β)/cos(α－β)
のどちらでも証明できる。
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2倍角の公式
sin(2α)
=2sinαcosα
cos(2α)
=2cos²α－1
=cos²α－sin²α
=1－2sin²α
tan²α
=2tanα/(1+tan²α)
↓〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜↓
（証明）
(α+β)の加法定理でβ=αとする。
cos(2α)
=cos(α+α)
=cosαcosα－sinαsinα
=cos²α－sin²α
さらに、sin²α+cos²α=1を用いて
cos²α－sin²α
=cos²α－(1－cos²α)
=2cos²α－1
同様に、
cos²α－sin²α
=(1－sin²α)－sin²α
=1－2sin²α
サイン、タンジェントについても同様。
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半角の公式
sin²(α/2)
=(1－cosα)/2
cos²(α/2)
=(1+cosα)/2
tan²(α/2)
=(1－cosα)/(1+cosα)
↓〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜↓
（証明）
コサインの2倍角の公式を使う。
cosα
=cos(2•α/2)
=2cos²(α/2)－1
これをcos²(α/2)について解くと
cos²(α/2)=(1+cosα)/2
また、同様にして
cosα=1－2sin²(α/2)
これをsin²(α/2)について解くと
sin²(α/2)=(1－cosα)/2
tan²(α/2)
=sin²(α/2)/cos²(α/2)
=(1－cosα)/(1+cosα)
↑〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜↑
合成の公式
asinθ+bcosθ=rsin(θ+α)
ただし、
r=√(a²+b²)，
sinα=b/r，cosα=a/rとする。
↓〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜↓
（証明）
加法定理を使う。
rsin(θ+α)
=r(sinθcosα+cosθsinα)
=(rcosα)sinθ+(rsinα)cosθ
rcosα=a，rsinα=bとおくと
=asinθ+bcosθ
また、このとき
sin²α+cos²α=1
よりa²+b²=r²
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積→和の公式
sinαcosβ
=(1/2)(sin(α+β)+sin(α－β))
cosαcosβ
=(1/2)(cos(α+β)+sin(α－β))
sinαsinβ
=－(1/2)(cos(α+β)－cos(α－β))
↓〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜↓
（証明）
加法定理を組合せると正負で打ち消す。
sin(α+β)+sin(α－β)
=2sinαcosβ
cos(α+β)+cos(α－β)
=2cosαcosβ
cos(α+β)－cos(α－β)
=－2sinαsinβ
↑〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜↑
和→積の公式
sinA+cosB
=2sin((A+B)/2)cos((A－B)/2)
cosA+cosB
=2cos((A+B)/2)cos((A－B)/2)
sinA+sinB
=－2sin((A+B)/2)sin((A－B)/2)
↓〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜↓
（証明）
積→和の公式で置き換えをする。
（積→和をわざわざ証明してからでなくても、加法定理を組合せて打ち消す式を作って置き換えればよい）
α+β=A，α－β=Bとおくと
α=(A+B)/2，β=(A－B)/2
であるから、
sin(α+β)+sin(α－β)
=2sinαcosβ
⇔
sinA+sinB
=2sin((A+B)/2)cos((A－B)/2)
他についても同様。
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3倍角の公式
sin(3α)
=3sinα－4cos³α
cos(3α)
=－3cosα+4cos³α
↓〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜↓
（証明）
加法定理と2倍角の公式を使う。
sin(3α)
=sin(α+2α)
=sinαcos(2α)+cosαsin(2α)
=sinα(1－2sin²α)+2sinαcos²α
=sinα－2sin³α+2sinα(1－sin²α)
=3sinα－4sin³α
コサインについても同様。
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4倍角の公式
sin(4α)
=4cosα(sinα－2sin³α)
cos(4α)
=8cos⁴α－8cos²α+1
↓〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜↓
（証明）
2倍角の公式を2回使う。
（3倍角の公式と加法定理を使ってもよい）
sin(4α)
=sin(2α+2α)
=2sin(2α)cos(2α)
=4sinαcosα(1－2sin²α)
=4cosα(sinα－2sin³α)
コサインについても同様。
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ド・モアブルの公式
自然数nに対して、
(cosθ+isinθ)ⁿ
=cos(nθ)+isin(nθ)
ただし、iは虚数単位(i²=－1)
↓〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜↓
（証明）
加法定理と数学的帰納法を使う。
n=1では明らかに成立する。
n=kのときに成り立つと仮定し、
n=k+1のときにも成り立つことを示す。
左辺
=(cosθ+isinθ)ᵏ⁺¹
=(cosθ+isinθ)ᵏ(cosθ+isinθ)
=(cos(kθ)+isin(kθ))(cosθ+isinθ)
（∵n=kの仮定）
=cos(kθ)cosθ－sin(kθ)sinθ
+i(sinθcos(kθ)+cosθsin(kθ))
=cos(kθ+θ)+isin(θ+kθ)
（∵加法定理）
=cos((k+1)θ)+isin((k+1)θ)
=右辺
よって、任意の自然数nに対して
(cosθ+isinθ)ⁿ=cos(nθ)+isin(nθ)
↑〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜↑
※ド・モアブルの公式からn倍角の公式を導出する
ド・モアブルの公式で、左辺を展開して実部と虚部をそれぞれ比較することによって、n倍角の公式を導出することができる。
加法定理と(n－1)倍角の公式から導出する方法と比べて、次のメリット・デメリットがある（と思う）。
（メリット）
(n－1)倍角の公式を覚えていなくてもよい。
例えば、5倍角の公式を作るときに、2,3,4倍角の公式を全て忘れていたとしても、直接に5倍角の公式を導出できる。
（デメリット）
展開が面倒。（二項定理を使う）
例えば、5倍角の公式を示すには、
(x+y)⁵
=x⁵+5x⁴y+10x³y²+10x²y³+5xy⁴+y⁵
を使う。
例として、5倍角の公式を導出してみる。
（長いがほとんどは計算部分）
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（5倍角の公式の導出）
①ド・モアブルの公式を使う
(cosθ+isinθ)⁵
=cos⁵θ+5icos⁴θsinθ－10cos³θsin²θ－10icos²θsin³θ+5cosθsin⁴θ+isin⁵θ
=(cos⁵θ－10cos³θsin²θ+5cosθsin⁴θ)
+i(5cos⁴θsinθ－10cos²θsin³θ+sin⁵θ)
=cos(5θ)+isin(5θ)
（∵ド・モアブルの公式）
cosα，sinαは実数だから、実部と虚部はそれぞれ等しくて、
（あとはただの計算）
（実部）
cos(5θ)
=cos⁵θ－10cos³θsin²θ
+5cosθsin⁴θ
=cos⁵θ－10cos³θ(1－cos²θ)
+5cosθ(1－cos²θ)²
=cos⁵θ－10cos³θ+10cos⁵θ
+5cosθ(1－2cos²θ+cos⁴θ)
=11cos⁵θ－10cos³θ
+5cosθ－10cos³θ+5cos⁵θ
=16cos⁵θ－20cos³θ+5cosθ
（虚部）
sin(5θ)
=5cos⁴θsinθ
－10cos²θsin³θ+sin⁵θ
=5(1－sin²θ)²sinθ
－10(1－sin²θ)sin³θ+sin⁵θ
=5(1－2sin²θ+sin⁴θ)sinθ
－10sin³θ+10sin⁵θ+sin⁵θ
=5sinθ－10sin³θ+5sin⁵θ
－10sin³θ+11sin⁵θ
=16sin⁵θ－20sin³θ+5sinθ
②加法定理と2倍角，3倍角を使う
（4倍角を使ってもよい）
（コサイン）
cos(5θ)
=cos(2θ+3θ)
=cos(2θ)cos(3θ)
－sin(2θ)sin(3θ)
=(2cos²θ－1)(－3cosθ+4cos³θ)
－2sinθcosθ(3sinθ－4sin³θ)
（あとはただの計算）
=－10cos³θ+8cos⁵θ+3cosθ
－2sin²θcosθ(3－4sin²θ)
=－10cos³θ+8cos⁵θ+3cosθ
－2(1－cos²θ)cosθ(－1+4cos²θ)
=－10cos³θ+8cos⁵θ+3cosθ
－2cosθ(－1+5cos²θ－4cos⁴θ)
=－10cos³θ+8cos⁵θ+3cosθ
+2cosθ－10cos³θ+8cos⁵θ
=16cos⁵θ－20cos³θ+5cosθ
（サイン）
sin(5θ)
=sin(2θ+3θ)
=sin(2θ)cos(3θ)
+cos(2θ)sin(3θ)
=2sinθcosθ(－3cosθ+4cos³θ)
+(1－2sin²θ)(3sinθ－4sin³θ)
（あとはただの計算）
=2sinθcos²θ(－3+4cos²θ)
+3sinθ－10sin³θ+8sin⁵θ
=2sinθ(1－sin²θ)(1－4sin²θ)
+3sinθ－10sin³θ+8sin⁵θ
=2sinθ(1－5sin²θ+4sin⁴θ)
+3sinθ－10sin³θ+8sin⁵θ
=2sinθ－10sin³θ+8sin⁵θ
+3sinθ－10sin³θ+8sin⁵θ
=16sin⁵θ－20sin³θ+5sinθ
①,②のどちらでも同じ結果が導かれた。
以上より、5倍角の公式
cos(5θ)
=16cos⁵θ－20cos³θ+5cosθ
sin(5θ)
=16sin⁵θ－20sin³θ+5sinθ
を得る。
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