Institute of Reproducing Kernels

色々な事を書きます。マイペースで書きます。

はじめに で、なぜ本を出版したかの背景を述べ、世の中で最も大事なこととは何か が本文最初に書かれている。さらに人間として、生きることの意味、人生如何に生きるべきか、人生とは何か、人と人との関係の基本、道徳の基本が書かれている。安らかに終末を迎える心得も書かれている。平和を実現させる具体的な方法、日本国の在りよう、国防の在りよう、日本国の教育の問題点、太平洋戦争に至った背景、日本の政局に対する見解、良い社会を築くために、日常のニュースに対する見解が述べられている。最後に、数学とは何か、数学が神秘的に美しいことを 相当詳しく論じている。





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÷0=? 掛け算の式の順序?小学校の算数、フォローできていますか?

 

0で割ることはできません

突然ですが、お子さんが小学校でどんな学習をしているか、把握していますか? 特に算数。

先日、ネットを徘徊していたところ、「9÷0=」という算数のプリント問題で、「0」という回答が正答とされている・・・というのを見かけました。

理系の方は「え?」と感じると思います。文系の方は「何か間違ってるの?」と思うかもしれません。

自分の子供が小学校でどんなことをどのように教わっているか把握して、疑問点は親が適切にフォローできているでしょうか?

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□÷0=0??

ある数を0(ゼロ)で割ると、答えは? という問いを、私の妻にしてみました。

妻は「ゼロ」となんの疑いもなく即答。 「小学校で習ったもん!」と自信満々です。

おかしいなぁ・・・私と同い年の妻ですが、私は小学校でそんなこと習わなかった(記憶にないだけかも?)のですが・・・。

例えば、「9÷0=0」なら、式を変形すると、「0×0=9」ってことになってしまいます。・・・ということを妻にヤンワリと説明すると、機嫌を損ねてどこかへ行ってしまいました(笑)

気になった私は、娘の算数のプリントを全て見直して、「ゼロで割る」問題がないか、チェックしましたが、幸いそんな問題はありませんでした。

でもこれ、小学校レベルでも、「式としては」書けてしまうんですよね。数字と演算記号を並べるだけなんですから。

子供から「9÷0=?」という質問をされたとして、子供に理解できるようにしっかり説明できるでしょうか?

「ゼロで割ることはできないんだよ」と教えたとしても、「なんで?」と返されたら、「うぐぐ・・」となってしまうかもしれません。

小学校の教育って難しいですね。

小学校の掛け算の式には順序がある

問題:3台の車に5人ずつ乗ると、全部で何人?

答え:5×3=15人

この問題、「3×5=15人」では、答えは正解でも、式で減点される可能性があります。

小学校では、「一つ分の数」×「いくつ分」=「全部の数」 と順序を統一して教えているようです。

ご存知のとおり、掛け算には交換法則があり、「5×3」でも「3×5」でも、答えは同じになります。ではなぜ、掛け算の順序にこだわるのでしょうか?

ネットでよく見かける理由として、以下が挙げられます。

  • 文章問題をしっかり理解しているか?を試すため。
  • 割り算の理解を深めるための準備。

たしかに上の文章問題では、何を求めているのかわからなくても、出てきた数字を順に並べて掛け合わせれば、答えが導かれます。

「一つ分の数」が何で、「いくつ分」が何で、とわからなくても、結果としては九九ができれば「全部の数」=正解 が答えられてしまうんですね。

でも立てた式の順序が逆というだけで、文章問題をしっかり理解していない・・・と結論付けるのはちょっと乱暴な気がします。

算数の掛け算のテスト(やプリント)であれば、出てきた数字を掛け合わせればいい・・・だからそのままの順で掛けて答えを出す。 これだって子供の考え方としては間違っていません。

「いまやっているのは算数の掛け算のテストだから、出てきた数字、これとこれを掛ければいいんだな?」と考える子だっているはずです。

たとえ何を問われているかわからなくても、こういった思考で問題を解決しようとする姿勢は、私は好きです。

また、交換法則を習っていなくても、九九を習う段階で、勘の良い子ならわかるはずです。「さんご じゅうご」と「ごさん じゅうご」どちらも同じだよね!と。

文章問題の理解度を試すのなら、掛け算の式の順序にこだわるよりも、計算に使わない数字も文章中に入れて問題を作ったほうがいいのに・・・と思います。

広汎性発達障害の娘は・・・

ウチの娘は「決まった手順」や「決まった方法」に固執する傾向があります。臨機応変に物事に対処する力があまりありません。

参考:学習面での意外な落とし穴 支援級で良かったと思うこと

一度教わった解法を、そう安々と変えられるとは思えないんです。

掛け算の交換法則なんて序の口で、これから先、高度な数学を学習するうえで、解法はひとつではありません。場合によっては答えもひとつとは限りません。

親としては、「こういう解き方もあるんだよ」「こう考えたほうがいいかもね」といった柔軟性を養ってほしいと思っています。

大人になったら掛け算の順序なんて大した意味を持ちません。「決まりきったひとつの方法」に固執する娘にとって、今の小学校の指導方針が適切なのか、少し疑問に思えます。

いまのところ学習面に関してつまづきはありませんが、学校で教わったことを親がしっかり把握して、適切なフォローができるようにしたいものです。

http://ie-goto.com/weblog/362/

 

非常に興味深く読みました:

 

再生核研究所声明 148(2014.2.12) 100/0=0,  0/0=0 - 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志

 

100割る0 の意味を質問されたが(なぜ 100÷0は100ではないのか? なぜ 100÷1は100なのか… 0とは何...aitaitokidakenimoさん)、これは、定義によれば、その解、答えが有るとして、a と仮に置けば、 100=a x0 = 0 で矛盾、すなわち、解は、答えは存在しないとなる。

方程式 a x0= b は b=0 でなければ 解は無く、答えが求まらない。(特に、bが0ならば、解 a は 何でも良いと言うことに成る。)

解が、存在しなかったり、沢山の解が有ったりすると言う、状況である。

そこで、何時でも解が存在するように、しかも唯一つに定まるように、さらに 従来成り立っていた結果が そのまま成り立つように(形式不変の原理)、割り算の考えを拡張できないかと考えるのは、数学では よくやることである。数学の世界を 美しくしたいからである。

実際、文献の論文で 任意関数で割る概念を導入している。

現在の状況では、b 割るa の意味を ax – b の2乗を最小にする x で、しかも x の2乗を最小にする数 x で定義する。後半の部分が無いと、a が0の場合 x  が定まらない。後半が有ると0として、唯一つに定まる。この意味で割り算の意味を考えれば、100割る0は 0 であるとなる。 

上記で もちろん、2乗を最小にする の最小値が0である場合が、 普通の割り算の解、

b 割るa を与える。

もちろん、我々の意味で、0割る0は 曖昧なく、解は唯一つに定まって、0となる。

f  割る g を ロシアの著名な数学者 チコノフの考えた正則化法 と 再生核の理論 を併用すると 一般的な割り算を 任意関数g で定義できて、上記の場合は、100割る0は 0 という解に成る。

すなわち、解が存在しなかった場合に、割り算の意味を 自然に拡張すると 唯一つに解は存在して それは0であると言う、結果である。

上記で、ax – b の2乗を最小にする x で、と考えるのは、近似の考え方から、極めて自然と考えられるが、さらに、x の2乗を最小にする数 x とは、神は、最も簡単なものを選択する、これはエネルギー最小のもの、できれば横着したい という 世に普遍的に存在する 神の意志 が現れていると考えられる(光は、最短時間で到達するような経路で進むという ― フェルマーの原理)、神が2を愛している好きだ とは 繰り返し述べてきた(神は 2を愛し給う)(http://www.jams.or.jp/kaiho/kaiho-81.pdf)。

これで、0で割るときの心配が無くなった。この考えの 実のある展開と応用は多い。

― 哲学とは 真智への愛 であり、真智とは 神の意志 のことである。哲学することは、人間の本能であり、それは 神の意志 であると考えられる。愛の定義は 声明146で与えられ、神の定義は 声明122と132で与えられている。―

 

以 上

文献:

Castro, L.P.Saitoh, S. Fractional functions and their representations.  Complex Anal. Oper. Theory 7, No. 4, 1049-1063 (2013).

 

ゼロの発見には大きく分けると二つの事が在ると言われています。

一つは数学的に、位取りが出来るということ。今一つは、哲学的に無い状態が在るという事実を知ること。http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1462816269

 

 

世界中で、ゼロ除算は 不可能 か 

可能とすれば ∞  だと考えられていたが・・・

しかし、ゼロ除算 はいつでも可能で、解は いつでも0であるという意外な結果が得られた。

 

原点を中心とする単位円に関する原点の鏡像は、どこにあるのでしょうか・・・・

∞ では

無限遠点はどこにあるのでしょうか・・・・・

 

無限遠点は存在するが、無限大という数は存在しない・・・・

 

ゼロ除算(1/0=0)は、ピタゴラスの定理(a2 + b2 = c2 )を超えた基本的な結果であると考えられる。

 

地球平面説→地球球体説

天動説→地動説

何年かかったでしょうか????

 

1/0=∞若しくは未定義 →1/0=0

何年かかるでしょうか????

 

Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.

https://notevenpast.org/dividing-nothing/

 

もし1+1=2を否定するならば、どのような方法があると思いますか? http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12153951522 #知恵袋_

一つの無限と一つの∞を足したら、一つの無限で、二つの無限にはなりません。

 

 

割り算のできる人には、どんなことも難しくない

 

世の中には多くのむずかしいものがあるが、加減乗除の四則演算ほどむずかしいものはほかにない。

 

ベーダ・ヴェネラビリス

 

数学名言集:ヴィルチェンコ編:松野武 山崎昇 訳大竹出版1989年

 

数学で「A÷0」(ゼロで割る)がダメな理由を教えてください。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1411588849 #知恵袋_

 

割り算を掛け算の逆だと定義した人は、誰でしょう???

 

0×0=0・・・・・・・・・だから0で割れないと考えた。

唯根拠もなしに、出鱈目に言っている人は世に多い。

 

multiplication・・・・・増える 掛け算(×) 1より小さい数を掛けたら小さくなる。 大きくなるとは限らない。

 

ビッグバン宇宙論と定常宇宙論について、http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1243254887 #知恵袋_

 

ゼロ除算(100/0=0, 0/0=0)が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・・ 1+1=2が当たり前のように

 

『ゼロをめぐる衝突は、哲学、科学、数学、宗教の土台を揺るがす争いだった』 ⇒ http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12089827553.html … … →ゼロ除算(100/0=0, 0/0=0)が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・ 1+1=2が当たり前のように、

1÷0=0 1÷0=∞・・・・数ではない 1÷0=不定・未定義・・・・狭い考え方をすれば、できない人にはできないが、できる人にはできる。

 

アラビア数字の伝来と洋算 - tcp-ip

明治5年(1872)

http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/arabic_number.pdf

 

ゼロ除算の証明・図|ysaitoh|note(ノート)  https://note.mu/ysaitoh/n/n2e5fef564997

 

Q)ピラミッドの高さを無限に高くしたら体積はどうなるでしょうか??? A)答えは何と0です。 ゼロ除算の結果です。

 

ゼロ除算は1+1より優しいです。 何でも0で割れば、0ですから、簡単で美しいです。 1+1=2は 変なのが出てくるので難しいですね。

∞÷0はいくつですか・・・・・・・

 

∞とはなんですか・・・・・・・・

 

分からないものは考えられません・・・・・

 

1人当たり何個になるかと説いていますが、1人もいないのですから、その問題は意味をなさない。

よってこれは、はじめから問題になりません。

ついでですが、これには数学的に確定した解があって それは0であるという事が、最近発見されました。

 

Reality of the Division by Zero z/0 = 0

http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html

http://okmr.yamatoblog.net/

Einstein's Only Mistake: Division by Zero

http://refully.blogspot.jp/2012/05/einsteins-only-mistake-division-by-zero.html

0を引いても引いたことにならないから:

君に0円の月給を永遠に払いますから心配しないでください:

 

再生核研究所声明171(2014.7.30)掛け算の意味と割り算の意味 ― ゼロ除算100/0=0は自明である?

 

(2014.7.11小柴誠一、山根正巳氏との会合で、道脇裕氏の 割り算と掛け算は別であり、ゼロ除算100/0=0は自明であるとの考えを分析して得た考えを纏めたものである。)

ゼロ除算100/0=0は2014.2.2 偶然に論文出筆中に 原稿の中で発見したものである。チコノフ正則化法の応用として、自然に分数、割り算を拡張して得られたものであるが、歴史上不可能であるとされていること、結果がゼロであると言う意味で、驚嘆すべきことであること、さらに、高校生から小学生にも分る内容であると言う意味で、極めて面白い歴史的な事件と言える。そればかりか、物理学など世界の理解に大きな影響を与えることも注目される。詳しい経過などは 一連の声明を参照:

再生核研究所声明148(2014.2.12)100/0=0, 0/0=0 - 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志

再生核研究所声明154(2014.4.22)新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方

再生核研究所声明157(2014.5.8)知りたい 神の意志、ゼロで割る、どうして 無限遠点と原点が一致しているのか?

再生核研究所声明161(2014.5.30)ゼロ除算から学ぶ、数学の精神 と 真理の追究

再生核研究所声明163(2014.6.17)ゼロで割る(零除算)- 堪らなく楽しい数学、探そう零除算 ― 愛好サークルの提案

再生核研究所声明166(2014.6.20)ゼロで割る(ゼロ除算)から学ぶ 世界観

しかるに いろいろな人たちと広く議論しているところであるが、世界の指導的な数学者でさえ、高校生でも理解できる発表済みの論文 その後の結果について、現代数学の常識を変えるものであり、受け入れられない、と言ってきている。まことに不思議なことであり、如何に驚くべき結果であるかを示していると言える。

多くの数学者は、内容を理解せず、100/0=0 は100=0 x 0 =0 で矛盾であると即断している。しかるに論文は 100/0 は 割り算の意味を自然に拡張するとゼロの結果を得るのであって、ゼロ除算の結果は 100=0 x 0 =0を意味しないと説明している。 逆に、無限大、無限遠点は数と言えるかと問うている。

ところが面白いことに 既に3月18日付文書で、道脇裕氏は 掛け算と割り算は別であり、ゼロ除算100/0は 自明であると述べていた。しかし、その文書は、一見すると

矛盾や間違いに満ちていたので、詳しく分析してこなかった。しかるに上記7月11日の会合で、詳しい状況を聞いて、道脇氏の文書を解読して、始めて道脇氏の偉大な考えに気づいた。結論は、ゼロ除算100/0は分数、割り算の固有の意味から、自明であると言うことである。これはチコノフ正則化法や一般逆とは関係なく、分数、割り算の意味から、自明であるというのであるから、驚嘆すべき結果である。千年を越えて、未明であった真実を明らかにした意味で、極めて面白い知見である。またそれは、割り算が掛け算の逆であり、ゼロ除算は不可能であるという長い囚われた考えから、解放した考えであると評価できる。

原理は日本語の表現にあるという、掛け算は 足し算で定義され、割り算は 引き算で定義されるという。割り算を考えるのに 掛け算の考えは不要であるという。

実際、2 x3 は 2+2+2=6と繰り返して加法を用いて計算され、定義もできる。

割り算は、問題になっているので、少し詳しく触れよう。

声明は一般向きであるから、本質を分かり易く説明しよう。 そのため、ゼロ以上の数の世界で考え、まず、100/2を次のように考えよう:

100-2-2-2-,...,-2.

ここで、2 を何回引けるかと考え、いまは 50 回引いてゼロになるから分数は50であると考える。100を2つに分ければ50である。

次に 3/2 を考えよう。まず、

3 - 2 = 1

で、余り1である。そこで、余り1を10倍して、 同様に

10-2-2-2-2-2=0

であるから、10/2=5 となり

3/2 =1+0.5= 1.5

とする。3を2つに分ければ、1.5である。

これは筆算で割り算を行うことを 減法の繰り返しで考える方法を示している。a がゼロでなければ、分数b/aは 現代数学の定義と同じに定義される。

そこで、100/0 を上記の精神で考えてみよう。 まず、

100 - 0 = 100,

であるが、0を引いても 100は減少しないから、何も引いたことにはならず、引いた回数は、ゼロと解釈するのが自然ではないだろうか (ここはもちろん数学的に厳格に そう定義できる)。ゼロで割るとは、100を分けないこと、よって、分けられた数もない、ゼロであると考えられる。 この意味で、分数を定義すれば、分数の意味で、

100割るゼロはゼロ、すなわち、100/0=0である。(ここに、絶妙に面白い状況がある、0をどんどん引いても変わらないから、無限回引けると解釈すると、無限とも解釈でき、ゼロ除算は 0と無限の不思議な関係を長く尾を引いている。)

同様に0割る0は ゼロであること0/0=0が簡単に分かる。

上記が千年以上も掛かったゼロ除算の解明であり、 ニュートンやアインシュタインを悩ましてきたゼロ除算の簡単な解決であると 世の人は、受けいれられるであろうか?

いずれにしても、ゼロ除算z/0=0は  既に数学的に確定している と考えられる。そこで、結果の 世への影響 に関心が移っている。

以 上

文献:

M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,

New meanings of the division by zero and interpretations on 100/0=0 and on 0/0=0,

Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.

S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95.http://www.scirp.org/journal/ALAMT/

 

 

 

 

再生核研究所声明3532017.2.2) ゼロ除算 記念日

 

2014.2.2 に 一般の方から100/0 の意味を問われていた頃、偶然に執筆中の論文原稿にそれがゼロとなっているのを発見した。直ぐに結果に驚いて友人にメールしたり、同僚に話した。それ以来、ちょうど3年、相当詳しい記録と経過が記録されている。重要なものは再生核研究所声明として英文と和文で公表されている。最初のものは

 

再生核研究所声明 148(2014.2.12): 100/0=0,  0/0=0 - 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志

 

で、最新のは

 

Announcement 352 (2017.2.2):  On the third birthday of the division by zero z/0=0 

 

である。

アリストテレス、ブラーマグプタ、ニュートン、オイラー、アインシュタインなどが深く関与する ゼロ除算の神秘的な永い歴史上の発見であるから、その日をゼロ除算記念日として定めて、世界史を進化させる決意の日としたい。ゼロ除算は、ユークリッド幾何学の変更といわゆるリーマン球面の無限遠点の考え方の変更を求めている。― 実際、ゼロ除算の歴史は人類の闘争の歴史と共に 人類の愚かさの象徴であるとしている。

心すべき要点を纏めて置きたい。

 

1)     ゼロの明確な発見と算術の確立者Brahmagupta (598 - 668 ?) は 既にそこで、0/0=0 と定義していたにも関わらず、言わば創業者の深い考察を理解できず、それは間違いであるとして、1300年以上も間違いを繰り返してきた。

2)     予断と偏見、慣習、習慣、思い込み、権威に盲従する人間の精神の弱さ、愚かさを自戒したい。我々は何時もそのように囚われていて、虚像を見ていると 真智を愛する心を大事にして行きたい。絶えず、それは真かと 問うていかなければならない。

3)     ピタゴラス派では 無理数の発見をしていたが、なんと、無理数の存在は自分たちの世界観に合わないからという理由で、― その発見は都合が悪いので ― 、弟子を処刑にしてしまったという。真智への愛より、面子、権力争い、勢力争い、利害が大事という人間の浅ましさの典型的な例である。

4)     この辺は、2000年以上も前に、既に世の聖人、賢人が諭されてきたのに いまだ人間は生物の本能レベルを越えておらず、愚かな世界史を続けている。人間が人間として生きる意義は 真智への愛にある と言える。

5)     いわば創業者の偉大な精神が正確に、上手く伝えられず、ピタゴラス派のような対応をとっているのは、本末転倒で、そのようなことが世に溢れていると警戒していきたい。本来あるべきものが逆になっていて、社会をおかしくしている。

6)     ゼロ除算の発見記念日に 繰り返し、人類の愚かさを反省して、明るい世界史を切り拓いて行きたい。

以 上

 

追記:

 

The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:

 

Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces

Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh

International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue  1, 2017), 1-16. 

http://www.scirp.org/journal/alamt   http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html

http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf

 

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12263708422.html

 

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12272721615.html

 

 

 

 

再生核研究所声明3682017.5.19)ゼロ除算の意義、本質

 

ゼロ除算の本質、意義について、既に述べているが、参照すると良くまとめられているので、初めに復習して、新しい視点を入れたい。

 

再生核研究所声明3592017.3.20) ゼロ除算とは何か ― 本質、意義

 

ゼロ除算の理解を進めるために ゼロ除算とは何か の題名で、簡潔に表現して置きたい。 構想と情念、想いが湧いてきたためである。

基本的な関数y=1/x を考える。 これは直角双曲線関数で、原点以外は勿論、値、関数が定義されている。問題はこの関数が、x=0  で どうなっているかである。結論は、この関数の原点での値を ゼロと定義する ということである。 定義するのである。定義であるから勝手であり、従来の定義や理論に反しない限り、定義は勝手であると言える。原点での値を明確に定義した理論はないから、この定義は良いと考えられる。それを、y=1/0=0 と記述する。ゼロ除算は不可能であるという、数学の永い定説に従って、1/0 の表記は学術書、教科書にもないから、1/0=0 の記法は 形式不変の原理、原則 にも反しないと言える。― 多くの数学者は注意深いから、1/0=\infty の表記を避けてきたが、想像上では x が 0 に近づいたとき、限りなく 絶対値が大きくなるので、複素解析学では、表現1/0=\infty は避けても、1/0=\infty と考えている事は多い。(無限大の記号がない時代、アーベルなどもそのような記号を用いていて、オイラーは1/0=\inftyと述べ、それは間違いであると指摘されてきた。 しかしながら、無限大とは何か、数かとの疑問は 続いている。)。ここが大事な論点である。近づいていった極限値がそこでの値であろうと考えるのは、極めて自然な発想であるが、現代では、不連続性の概念 が十分確立されていて、極限値がそこでの値と違う例は、既にありふれている。― アリストテレスは 連続性の世界観をもち、特にアリストテレスの影響を深く受けている欧米の方は、この強力な不連続性を中々受け入れられないようである。無限にいくと考えられてきたのが突然、ゼロになるという定義になるからである。 しかしながら、関数y=1/xのグラフを書いて見れば、原点は双曲線のグラフの中心の点であり、美しい点で、この定義は魅力的に見えてくるだろう。

定義したことには、それに至るいろいろな考察、経過、動機、理由がある。― 分数、割り算の意味、意義、一意性問題、代数的な意味づけなどであるが、それらは既に数学的に確立しているので、ここでは触れない。

すると、定義したからには、それがどのような意味が存在して、世の中に、数学にどのような影響があるかが、問題になる。これについて、現在、初等数学の学部レベルの数学をゼロ除算の定義に従って、眺めると、ゼロ除算、すなわち、 分母がゼロになる場合が表現上現れる広範な場合に 新しい現象が発見され、ゼロ除算が関係する広範な場合に大きな影響が出て、数学は美しく統一的に補充,完全化されることが分かった。それらは現在、380件以上のメモにまとめられている。しかしながら、世界観の変更は特に重要であると考えられる:

 

複素解析学で無限遠点は その意味で1/0=0で、複素数0で表されること、アリストテレスの連続性の概念に反し、ユークリッド空間とも異なる新しい空間が 現れている。直線のコンパクト化の理想点は原点で、全ての直線が原点を含むと、超古典的な結果に反する。更に、ゼロと無限の関係が明らかにされてきた。

ゼロ除算は、現代数学の初等部分の相当な変革を要求していると考えられる。

以 上

 

ゼロ除算の代数的な意義は、山田体の概念で体にゼロ除算を含む構造の入れ方、一般に体にゼロ除算の概念が入れられるが、代数的な発展については 専門外で、触れられない。ただ、計算機科学でゼロ除算と代数的な構造について相当議論している研究者がいる。

ゼロ除算の解析学的な意義は、従来孤立特異点での研究とは、孤立点での近傍での研究であり、正確に述べれば 孤立特異点そのものでの研究はなされていないと考えられる。

なぜならば、特異点では、ゼロ分のとなり、分子がゼロの場合には ロピタルの定理や微分法の概念で 極限値で考えてきたが、ゼロ除算は、一般に分子がゼロでない場合にも意味を与え、極限値でなくて、特異点で 何時でも有限確定値を指定できる ― ゼロ除算算法初めて、特異点そのものの世界に立ち入ったと言える。従来は孤立特異点を除いた世界で 数学を考えてきたと言える。その意味でゼロ除算は 全く新しい数学、世界であると言える。典型的な結果は tan(\pi/2) =0で、y軸の勾配がゼロであることである。

ゼロ除算の幾何学的な意義は、ユークリッド空間のアレクサンドロフの1点コンパクト化に、アリストテレスの連続性の概念でない、強力な不連続性が現れたことで、全く新しい空間の構造が現れ、幾何学の無限遠点に関係する部分に全く新規な世界が現れたことである。所謂無限遠点が数値ゼロで、表現される。

さらに、およそ無限量と考えられたものが、実は、数値ゼロで表現されるという新しい現象が発見された。tan(\pi/2) =0の意味を幾何学的に考えると、そのことを表している。これはいろいろな恒等式に新しい要素を、性質を顕にしている。ゼロが、不可能性を表現したり、基準を表すなど、ゼロの意義についても新しい概念が現れている。

 

以 上

 

ゼロ除算の詳しい解説を次で行っている:

(数学基礎学力研究会のホームページ

URL

http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku

http://okmr.yamatoblog.net/

The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world

 

Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces

Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh

International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue  1, 2017), 1

-16. 

http://www.scirp.org/journal/alamt   http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html

http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf

http://okmr.yamatoblog.net/division%20by%20zero/announcement%20326-%20the%20divi

http://okmr.yamatoblog.net/

 

Relations of 0 and infinity

Hiroshi Okumura, Saburou Saitoh and Tsutomu Matsuura:
http://www.e-jikei.org/…/Camera%20ready%20manuscript_JTSS_A…

 

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12276045402.html

 

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12263708422.html

 

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12272721615.html

 

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№526-925

 

図は複素平面における直線表示、円点座標表示です。数学者はいろいろ考えるものですね。そこで、2直線の交点を表す場合、公式で分母がゼロになる場合を考える。 この時は平行な2直線になりますが、交点は無限遠点すなわち、ゼロと考えるべきで、ゼロ除算算法の解より、1/0=0の方が適切であることが分かる。

 

 The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world

 

Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces

Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh

International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue  1, 2017), 1

-16. 

http://www.scirp.org/journal/alamt   http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html

http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf

http://okmr.yamatoblog.net/division%20by%20zero/announcement%20326-%20the%20divi

http://okmr.yamatoblog.net/

 

Relations of 0 and infinity

Hiroshi Okumura, Saburou Saitoh and Tsutomu Matsuura:
http://www.e-jikei.org/…/Camera%20ready%20manuscript_JTSS_A…

https://sites.google.com/site/sandrapinelas/icddea-2017

 

\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}

\numberwithin{equation}{section}

\begin{document}

\title{\bf  Announcement 352:   On the third birthday of the division by zero z/0=0 \\

(2017.2.2)}

\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\

Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\

Kiryu 376-0041, Japan\\

 }

\date{\today}

\maketitle

{\bf Abstract: } In this announcement, for its importance we would like to state the

situation on the division by zero and propose basic new challenges to education and research on our wrong world history of the division by zero.

 

\bigskip

\section{Introduction}

%\label{sect1}

By a {\bf natural extension} of the fractions

\begin{equation}

\frac{b}{a}

\end{equation}

for any complex numbers $a$ and $b$, we found the simple and beautiful result, for any complex number $b$

\begin{equation}

\frac{b}{0}=0,

\end{equation}

incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the  case of real numbers.

 

 The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example,  H. G. Romig \cite{romig} and Google site with the division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628.  In particular, note that Brahmagupta (598 -

 668 ?) established the four arithmetic operations by introducing $0$ and at the same time he defined as $0/0=0$ in Brāhmasphuṭasiddhānta.  Our world history, however, stated that his definition $0/0=0$ is wrong over 1300 years, but, we will see that his definition is suitable. However, we do not know the meaning and motivation of  the definition of $0/0=0$, furthermore, for the important case $1/0$ we do not know any result there. However,

  Sin-Ei Takahasi (\cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing the extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2):

 

 \bigskip

 

 {\bf  Proposition 1. }{\it Let F be a function from  ${\bf C }\times {\bf C }$  to ${\bf C }$ satisfying

$$

F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)

$$

for all

$$

a, b, c, d  \in {\bf C }

$$

and

$$

F (b, a) = \frac {b}{a },  \quad   a, b  \in  {\bf C }, a \ne 0.

$$

Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $

$$

F (b, 0) = 0.

$$

}

 

 Note that the complete proof of this proposition is simply given by  2 or 3 lines.

We {\bf should  define $F(b,0)= b/0 =0$}, in general.

 

\medskip

We thus should consider, for any complex number $b$, as  (1.2);

that is, for the mapping

\begin{equation}

W = \frac{1}{z},

\end{equation}

the image of $z=0$ is $W=0$ ({\bf should be defined}). This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the  point at infinity on the Riemann sphere. Therefore, the division by zero will give great impacts to complex analysis and to our ideas for the space and universe.

 

  For Proposition 1, we see some confusion even among mathematicians;  for the elementary function (1.3), we did not consider the value at $z=0$, and we were not able to consider a value. Many and many people consider its value by the limiting like $+\infty$, $-\infty$ or the point at infinity as $\infty$. However, their basic idea comes from {\bf continuity} with the common sense or based on the basic idea of Aristotle. However, by the division by zero (1.2) we will consider its value of the function $W = \frac{1}{z}$ as zero at $z=0$. We would like to consider the value so. We will see that this new definition is valid widely in mathematics and mathematical sciences. However, for functions, we will need some modification {\bf  by the idea of the division by zero calculus } as in stated in the sequel.

 

Meanwhile, the division by zero (1.2) is clear, indeed, for the introduction of (1.2), we have several independent approaches as in:

 

\medskip

1) by the generalization of the fractions by the Tikhonov regularization and by the Moore-Penrose generalized inverse,

 

\medskip

2) by the intuitive meaning of the fractions (division) by H. Michiwaki - repeated subtraction method,

 

\medskip

3) by the unique extension of the fractions by S. Takahasi,   as in the above,

 

\medskip

4) by the extension of the fundamental function $W = 1/z$ from ${\bf C} \setminus \{0\}$ into ${\bf C}$ such that $W =1/z$ is a one to one and onto mapping from $ {\bf C} \setminus \{0\} $ onto ${\bf C} \setminus \{0\}$ and the division by zero $1/0=0$ is a one to one and onto mapping extension of the function $W =1/z $ from  ${\bf C}$ onto ${\bf C}$,

 

\medskip

and

 

\medskip

 

5) by considering the values of functions with the mean values of functions.

\medskip

 

Furthermore, in (\cite{msy}) we gave the results in order to show the reality of the division by zero in our world:

 

\medskip

 

\medskip

A) a field structure  containing the division by zero --- the Yamada field ${\bf Y}$,

 

\medskip

B)  by the gradient of the $y$ axis on the $(x,y)$ plane --- $\tan \frac{\pi}{2} =0$,

\medskip

 

C) by the reflection $W =1/\overline{z}$ of $W= z$ with respect to the unit circle with center at the origin on the complex $z$ plane --- the reflection point of zero is zero, not the point at infinity.

\medskip

 

and

\medskip

 

D) by considering rotation of a right circular cone having some very interesting

phenomenon  from some practical and physical problem.

 

\medskip

 

In (\cite{mos}),  many division by zero results in Euclidean spaces are given and  the basic idea at the point at infinity should be changed. In (\cite{ms}), we gave beautiful geometrical interpretations of determinants from the viewpoint of the division by zero. The results show that the division by zero is our basic and elementary mathematics in our world.

 

\medskip

 

See  J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker \cite{bht}  and J. A. Bergstra \cite{berg} for the relationship between fields and the division by zero, and the importance of the division by zero for computer science. It seems that the relationship of the division by zero and field structures are abstract in their papers.

 

Meanwhile,  J. P.  Barukcic and I.  Barukcic (\cite{bb}) discussed  the relation between the divisions $0/0$, $1/0$ and special relative theory of Einstein. However, their logic seems to be curious and their results contradict with ours.

 

 Furthermore,  T. S. Reis and J.A.D.W. Anderson (\cite{ra,ra2}) extend the system of the real numbers by introducing an ideal number for the division by zero.

 

 Meanwhile, we should refer to up-to-date information:

 

{\it Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough

 

Kurt Arbenz

https://www.researchgate.net/publication/272022137 Riemann Hypothesis Addendum -   Breakthrough.}

 

\medskip

 

Here, we recall Albert Einstein's words on mathematics:

Blackholes are where God divided by zero.

I don't believe in mathematics.

George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life}:

 Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.

 

 Apparently, the division by zero is a great missing in our mathematics and the result (1.2) is definitely determined as our basic mathematics, as we see from Proposition 1.  Note  its very general assumptions and  many fundamental evidences in our world in (\cite{kmsy,msy,mos,s16}). The results will give great impacts  on Euclidean spaces, analytic geometry, calculus, differential equations, complex analysis and  physical problems.

 

The mysterious history of the division by zero over one thousand years is a great shame of  mathematicians and human race on the world history, like the Ptolemaic system (geocentric theory). The division by zero will become a typical  symbol of foolish human race with long and unceasing struggles. Future people will realize this fact as a definite common sense.

 

We should check and fill our mathematics, globally and beautifully, from the viewpoint of the division by zero. Our mathematics will be more perfect and beautiful,  and will give great impacts to our basic ideas on the universe.

 

 For our ideas on the division by zero, see the survey style announcements.

 

\section{Basic Materials of Mathematics}

 

\medskip

 

  (1): First, we should declare that the divison by zero is {\bf possible in the natural and uniquley determined sense and its importance}.

 

  (2): In the elementary school, we should introduce the concept of division (fractions) by the idea of repeated subtraction method by H. Michiwaki whoes method is applied in computer algorithm and in old days for calculation of division. This method will give a simple and clear method for calculation of division and students will be happy to apply this simple method at the first stage. At this time, they will be able to understand that the division by zero is clear and trivial as $a/0=0$ for any $a$. Note that Michiwaki knows how to apply his method to the complex number field.

 

  (3): For the introduction of the elemetary function $y= 1/x$, we should give the definition of the function at the origin $x=0$ as $y = 0$ by the division by zero idea and we should apply this definition for the occasions of its appearences, step by step, following the curriculum and the results of the division by zero.

 

  (4): For the idea of the Euclidean space (plane), we should introduce, at the first stage, the concept of stereographic projection and the concept of the point at infinity  -

   one point compactification. Then, we will be able to see the whole Euclidean plane, however, by the division by zero, {\bf the point at infinity is represented by zero, not by $\infty$}. We can teach  the very important fact with many geometric and analytic geometry methods. These topics will give great pleasant feelings to many students.

  Interesting topics are: parallel lines, what is a line? - a line contains the origin as an isolated

point for the case that the native line does not through the origin. All the lines pass the origin, our space is not the Eulcildean space and is not Aristoteles for the strong discontinuity at the point at infinity (at the origin). - Here note that an orthogonal coordinate system should be fixed first for our all arguments.

 

(5): The inversion of the origin with respect to a circle with center the origin is the origin itself, not the point at infinity - the very classical result is wrong. We can also prove this elementary result by many elementary ways.

 

(6): We should change the concept of gradients; on the usual orthogonal coordinates $(x,y)$,

 the gradient of the $y$ axis is zero; this is given and proved by the fundamental result

 $\tan (\pi/2) =0$. The result is also trivial from the definition of the Yamada field.

\medskip

For the Fourier coefficients $a_k$ of a function :

$$

\frac{a_k \pi k^3}{4}

$$

\begin{equation}

 = \sin (\pi k) \cos (\pi k) + 2 k^2 \pi^2 \sin(\pi k) \cos (\pi k) + 2\pi (\cos (\pi k) )^2 - \pi k,

\end{equation}

for $k=0$, we obtain immediately

\begin{equation}

a_0  = \frac{8}{3}\pi^2

\end{equation}

(see \cite{maple}, (3.4))({ -

 Difficulty in Maple for specialization problems}

).

\medskip

 

These results are derived also from  the {\bf division by zero calculus}:

 For any formal Laurent expansion around $z=a$,

\begin{equation}

f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n (z - a)^n,

\end{equation}

we obtain the identity, by the division by zero

 

\begin{equation}

f(a) =  C_0.

\end{equation}

\medskip

 

The typical example is that, as we can derive by the elementary way,

$$

\tan \frac{\pi}{2} =0.

$$

\medskip

 

We gave  many examples with geometric meanings in \cite{mos}.

 

This fundamental result leads to the important new definition:

From the viewpoint of the division by zero, when there exists the limit, at $ x$

 \begin{equation}

 f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}  =\infty

 \end{equation}

 or

 \begin{equation}

 f^\prime(x) =  -\infty,

 \end{equation}

 both cases, we can write them as follows:

 \begin{equation}

  f^\prime(x) =  0.

 \end{equation}

 \medskip

 

 For the elementary ordinary differential equation

 \begin{equation}

 y^\prime = \frac{dy}{dx} =\frac{1}{x}, \quad x > 0,

 \end{equation}

 how will be the case at the point $x = 0$? From its general solution, with a general constant $C$

 \begin{equation}

 y = \log x + C,

 \end{equation}

 we see that, by the division by zero,

 \begin{equation}

 y^\prime (0)= \left[ \frac{1}{x}\right]_{x=0} = 0,

 \end{equation}

 that will mean that the division by zero (1.2) is very natural.

 

 In addition, note that the function $y = \log x$ has infinite order derivatives and all the values are zero at the origin, in the sense of the division by zero.

 

 However, for the derivative of the function $y = \log x$, we have to fix the sense at the origin, clearly, because the function is not differentiable, but it has a singularity at the origin. For $x >0$, there is no problem for (2.8) and (2.9). At  $x = 0$, we  see that we can not consider the limit in the sense (2.5).  However,  for $x >0$ we have (2.8) and

 \begin{equation}

 \lim_{x \to +0} \left(\log x \right)^\prime = +\infty.

 \end{equation}

 In the usual sense, the limit is $+\infty$,  but in the present case, in the sense of the division by zero, we have:

 \begin{equation}

 \left[ \left(\log x \right)^\prime \right]_{x=0}= 0

 \end{equation}

  and we will be able to understand its sense graphycally.

 

 By the new interpretation for the derivative, we can arrange many formulas for derivatives, by the division by zero. We can modify many formulas and statements in calculus and we can apply our concept to the differential equation theory and the universe in connetion with derivatives.

 

(7): We shall introduce the typical division by zero calculus.

 

  For the integral

\begin{equation}

\int x(x^{2}+1)^{a}dx=\frac{(x^{2}+1)^{a+1}}{2(a+1)}\quad(a\ne-1),

\end{equation}

we obtain, by the division by zero calculus,

\begin{equation}

\int x(x^{2}+1)^{-1}dx=\frac{\log(x^{2}+1)}{2}.

\end{equation}

 

For example, in the ordinary differential equation

\begin{equation}

y^{\prime\prime} + 4 y^{\prime} + 3 y = 5 e^{- 3x},

\end{equation}

in order to look for a special solution, by setting $y = A e^{kx}$ we have, from

\begin{equation}

y^{\prime\prime} + 4 y^{\prime} + 3 y = 5 e^{kx},

\end{equation}

\begin{equation}

y = \frac{5 e^{kx}}{k^2 + 4 k + 3}.

\end{equation}

For $k = -3$, by the division by zero calculus, we obtain

\begin{equation}

y = e^{-3x} \left( - \frac{5}{2}x -  \frac{5}{4}\right),

\end{equation}

and so, we can obtain the special solution

\begin{equation}

y = - \frac{5}{2}x e^{-3x}.

\end{equation}

 

In those examples, we were able to give valuable functions for denominator zero cases. The division by zero calculus may be applied to many cases as a new fundamental calculus over l'Hopital's rule.

 

(8):  When we apply the division by zero to functions, we can consider, in general, many ways.  For example,

for the function $z/(z-1)$, when we insert $z=1$  in numerator and denominator, we have

\begin{equation}

\left[\frac{z}{z-1}\right]_{z = 1} = \frac{1}{0} =0.

\end{equation}

However,

from the identity --

 the Laurent expansion around $z=1$,

\begin{equation}

\frac{z}{z-1} = \frac{1}{z-1} + 1,

\end{equation}

we have

\begin{equation}

 \left[\frac{z}{z-1}\right]_{z = 1} = 1.

 \end{equation}

 For analytic functions we can give uniquely determined values at isolated singular points by the values by means of the Laurent expansions as the division by zero calculus, however, the values by means of the Laurent expansions are not always reasonable. We will need to consider many interpretations for reasonable values. In many formulas in mathematics and physics, however, we can see that the division by zero calculus is reasonably valid. See \cite{kmsy,msy}.

 

\section{Albert Einstein's biggest blunder}

The division by zero is directly related to the Einstein's theory and various

physical problems

containing the division by zero.  Now we should check the theory and the problems by the concept of the RIGHT and DEFINITE division by zero. Now is the best time since 100 years from Albert Einstein. It seems that the background knowledge is timely fruitful.

 

Note that the Big Bang also may be related to the division by zero like the blackholes.

 

\section{Computer systems}

The above Professors listed are wishing the contributions in order to avoid the division by zero trouble in computers. Now,  we should arrange  new computer systems in order not to meet the division by zero trouble in computer systems.

 

 By the division by zero calculus, we will be able to overcome troubles in Maple for specialization problems as in stated.

 

\section{General  ideas on the universe}

The division by zero may be related to religion, philosophy and the ideas on the universe; it will create a new world. Look at the new world introduced.

 

\bigskip

 

We are standing on a new  generation and in front of the new world, as in the discovery of the Americas.  Should we push the research and education on the division by zero?

 

 \bigskip

 

 \section{\bf Fundamental open problem}

 

 {\bf Fundamental open problem}:  {\it Give the definition of the division by zero calculus for several -variables functions with singularities.}

 

 \medskip

 

 In order to make clear the problem, we  give a prototype example.

  We have the identity by the divison by zero calculus: For

 

  \begin{equation}

  f(z) = \frac{1 + z}{1- z}, \quad f(1) = -1.

  \end{equation}

  From the real part and imaginary part of the function, we have, for $ z= x +iy$

   \begin{equation}

  \frac{1 - x^2 - y^2}{(1 - x)^2 + y^2} =-1,   \quad \text{at}\quad (1,0)

  \end{equation}

  and

   \begin{equation}

  \frac{y}{(1- x)^2 + y^2} = 0, \quad  \text{at}\quad (1,0),

  \end{equation}

  respectively.  Why the differences do happen?   In general, we are interested in the above open problem. Recall our definition for the division by zero calculus.

 

\bibliographystyle{plain}

\begin{thebibliography}{10}

 

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zero $r/0 = 0$.

 

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Announcement 282 (2016.2.2): The Division by Zero $z/0=0$ on the Second Birthday.

 

\bibitem{ann293}

Announcement 293 (2016.3.27):  Parallel lines on the Euclidean plane from the viewpoint of division by zero 1/0=0.

 

\bibitem{ann300}

Announcement 300 (2016.05.22): New challenges on the division by zero z/0=0.

 

\bibitem{ann326}

 Announcement 326 (2016.10.17): The division by zero z/0=0 - its impact to human beings through education and research.

 

 

 

\end{thebibliography}

 

\end{document}

 

\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}

\numberwithin{equation}{section}

\begin{document}

\title{\bf  Announcement 362:   Discovery of the division by zero as \\

$0/0=1/0=z/0=0$\\

(2017.5.5)}

\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\

Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\

Kiryu 376-0041, Japan\\

 }

\date{\today}

\maketitle

{\bf Statement: }  The Institute of Reproducing Kernels declares that the division by zero was discovered as $0/0=1/0=z/0=0$ in a natural sense on 2014.2.2. The result shows a new basic idea on the universe and space since Aristotelēs (BC384 - BC322) and Euclid (BC 3 Century - ), and the division by zero is since Brahmagupta  (598 - 668 ?).

In particular,  Brahmagupta defined as $0/0=0$ in Brāhmasphuṭasiddhānta (628), however, our world history stated that his definition $0/0=0$ is wrong over 1300 years, but, we will see that his definition is suitable.

 

For the details, see the references and the site: http://okmr.yamatoblog.net/

 

 

\bibliographystyle{plain}

\begin{thebibliography}{10}

 

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M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,

New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,

Int. J. Appl. Math.  {\bf 27} (2014), no 2, pp. 191-198,  DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.

 

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H. Michiwaki, S. Saitoh,  and  M.Yamada,

Reality of the division by zero $z/0=0$.  IJAPM  International J. of Applied Physics and Math. {\bf 6}(2015), 1--8. http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html

 

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T. Matsuura and S. Saitoh,

Matrices and division by zero $z/0=0$, Advances in Linear Algebra

\& Matrix Theory, 6 (2016), 51-58. http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007 http://www.scirp.org/journal/alamt 

 

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H.  Michiwaki, H. Okumura, and S. Saitoh,

Division by Zero $z/0 = 0$ in Euclidean Spaces.

 International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue  1, 2017), 1-16. 

 

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H. Okumura, S. Saitoh and T. Matsuura, Relations of   $0$ and  $\infty$,

Journal of Technology and Social Science (JTSS), 1(2017),  70-77.

 

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H. G. Romig, Discussions: Early History of Division by Zero,

American Mathematical Monthly, Vol. 31, No. 8. (Oct., 1924), pp. 387-389.

 

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S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices,  Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory.  {\bf 4}  (2014), no. 2,  87--95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/

 

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S. Saitoh, A reproducing kernel theory with some general applications,

Qian,T./Rodino,L.(eds.): Mathematical Analysis, Probability and Applications - Plenary Lectures: Isaac 2015, Macau, China, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics,  {\bf 177}(2016), 151-182 (Springer).

 

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S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi,  Classification of continuous fractional binary operations on the real and complex fields,  Tokyo Journal of Mathematics,   {\bf 38}(2015), no. 2, 369-380.

 

\bibitem{ann179}

Announcement 179 (2014.8.30): Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics.

 

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Announcement 185 (2014.10.22): The importance of the division by zero $z/0=0$.

 

\bibitem{ann237}

Announcement 237 (2015.6.18):  A reality of the division by zero $z/0=0$ by  geometrical optics.

 

\bibitem{ann246}

Announcement 246 (2015.9.17): An interpretation of the division by zero $1/0=0$ by the gradients of lines.

 

\bibitem{ann247}

Announcement 247 (2015.9.22): The gradient of y-axis is zero and $\tan (\pi/2) =0$ by the division by zero $1/0=0$.

 

\bibitem{ann250}

Announcement 250 (2015.10.20): What are numbers? -  the Yamada field containing the division by zero $z/0=0$.

 

\bibitem{ann252}

Announcement 252 (2015.11.1): Circles and

curvature - an interpretation by Mr.

Hiroshi Michiwaki of the division by

zero $r/0 = 0$.

 

\bibitem{ann281}

Announcement 281 (2016.2.1): The importance of the division by zero $z/0=0$.

 

\bibitem{ann282}

Announcement 282 (2016.2.2): The Division by Zero $z/0=0$ on the Second Birthday.

 

\bibitem{ann293}

Announcement 293 (2016.3.27):  Parallel lines on the Euclidean plane from the viewpoint of division by zero 1/0=0.

 

\bibitem{ann300}

Announcement 300 (2016.05.22): New challenges on the division by zero z/0=0.

 

\bibitem{ann326}

 Announcement 326 (2016.10.17): The division by zero z/0=0 - its impact to human beings through education and research.

 

 \bibitem{ann352}

Announcement 352(2017.2.2):   On the third birthday of the division by zero z/0=0.

 

\bibitem{ann354}

Announcement 354(2017.2.8): What are $n = 2,1,0$ regular polygons inscribed in a disc? -- relations of $0$ and infinity.

 

 

 

 

\end{thebibliography}

 

\end{document}

 

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12276045402.html

 

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12263708422.html

 

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12272721615.html

 


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なぜ0で割ってはいけないか

 

なぜ0で割ってはいけないのでしょう

   x = 0とする
両辺に1を加えて・・・①
   x + 1 = 1
両辺にx - 1をかけて・・・②
   (x + 1)(x - 1) = x - 1
   x2 - 1 = x - 1
両辺に1を加えて
   x2 = x
両辺をxで割って・・・(*)
   x = 1 よって、0=1

 

ここで、①、②においてそれぞれ両辺に加える数を a、かける数を x - a とし、同様の計算をすると0は a に等しくなります。
a はどんな数であってもいいことから、結局すべての数は0に等しいことがいえてしまいます。
この証明の誤りは、もちろん(*)のところで両辺を x =0で割ったことにあります。
これらのことから除算では、0で割ることは認められていないことがわかります。

 

① 数からの説明

割り算は、逆数のかけ算 a ÷ b = a × 1/b を表していることから
1÷0は、1に0の逆数をかけることと考えればいいことになります。
そこで0をひとつの数、存在する数とみてその逆数を求めてみます。
逆数の定義から0×?=1となる?が求められればよいことになります。
しかし、0にどんな数をかけても0となることから、かけて1になる数を見つけることはできません。
0の逆数1/0なる数は存在しないことから、1÷0は計算できません。

② 割合からの説明

1÷2 は比 1:2 の意味を表す量的な割合といえます。
1/2 は有理数としては 3/6、4/8 と同じ値だが1:2、3:6、4:8 とみると、みな違う割合を表しているともいえます。
例えば、柿を2個から1個取ることと6個から3個とることとは違うことになります。
したがって0/3は3等分したものを基準とした場合の0個分の割合になります。
この場合の0は存在しないゼロと考え、なにも取らない無しという意味の0がその結果となります。
一方、3/0は、全体を0等分、すなわち分けないということで基準が無となり割合そのものを考えることができません。
よって、その値も考えることができないといえます。

③ 演算からの説明

1/0は、1÷0の計算の結果としてみることもできます。
1÷0は、1を何もないもの、あるいは0という数で実際に割ったものであります。
もちろん、何もないもので割ることはできないことから、この場合は無あるいは0に限りなく近づけた数で割ると考えて、
どんな値に近づいていくかを予想してみます。
1÷0.1=10
1÷0.01=100
1÷0.001=1000   ・・・
割る数は負の値から0に近づけることもでき、その除算した値は今度は負の無限大に近づいていきます。
このことから、1/0の値は数直線上で0を起点として左右の方向に無限に伸びた先にあると考えられます。
結局、その値は確定できないので存在しないと約束した方がよいのです。

http://www.nihongo.com/aaa/chigaku/suugaku/zatsugaku3.htm

 

次の文を参考にしてください:

 

再生核研究所声明 148(2014.2.12) 100/0=0,  0/0=0 - 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志

 

100割る0 の意味を質問されたが(なぜ 100÷0は100ではないのか? なぜ 100÷1は100なのか… 0とは何...aitaitokidakenimoさん)、これは、定義によれば、その解、答えが有るとして、a と仮に置けば、 100=a x0 = 0 で矛盾、すなわち、解は、答えは存在しないとなる。

方程式 a x0= b は b=0 でなければ 解は無く、答えが求まらない。(特に、bが0ならば、解 a は 何でも良いと言うことに成る。)

解が、存在しなかったり、沢山の解が有ったりすると言う、状況である。

そこで、何時でも解が存在するように、しかも唯一つに定まるように、さらに 従来成り立っていた結果が そのまま成り立つように(形式不変の原理)、割り算の考えを拡張できないかと考えるのは、数学では よくやることである。数学の世界を 美しくしたいからである。

実際、文献の論文で 任意関数で割る概念を導入している。

現在の状況では、b 割るa の意味を ax – b の2乗を最小にする x で、しかも x の2乗を最小にする数 x で定義する。後半の部分が無いと、a が0の場合 x  が定まらない。後半が有ると0として、唯一つに定まる。この意味で割り算の意味を考えれば、100割る0は 0 であるとなる。 

上記で もちろん、2乗を最小にする の最小値が0である場合が、 普通の割り算の解、

b 割るa を与える。

もちろん、我々の意味で、0割る0は 曖昧なく、解は唯一つに定まって、0となる。

f  割る g を ロシアの著名な数学者 チコノフの考えた正則化法 と 再生核の理論 を併用すると 一般的な割り算を 任意関数g で定義できて、上記の場合は、100割る0は 0 という解に成る。

すなわち、解が存在しなかった場合に、割り算の意味を 自然に拡張すると 唯一つに解は存在して それは0であると言う、結果である。

上記で、ax – b の2乗を最小にする x で、と考えるのは、近似の考え方から、極めて自然と考えられるが、さらに、x の2乗を最小にする数 x とは、神は、最も簡単なものを選択する、これはエネルギー最小のもの、できれば横着したい という 世に普遍的に存在する 神の意志 が現れていると考えられる(光は、最短時間で到達するような経路で進むという ― フェルマーの原理)、神が2を愛している好きだ とは 繰り返し述べてきた(神は 2を愛し給う)(http://www.jams.or.jp/kaiho/kaiho-81.pdf)。

これで、0で割るときの心配が無くなった。この考えの 実のある展開と応用は多い。

― 哲学とは 真智への愛 であり、真智とは 神の意志 のことである。哲学することは、人間の本能であり、それは 神の意志 であると考えられる。愛の定義は 声明146で与えられ、神の定義は 声明122と132で与えられている。―

 

以 上

文献:

Castro, L.P.Saitoh, S. Fractional functions and their representations.  Complex Anal. Oper. Theory 7, No. 4, 1049-1063 (2013).

 

ゼロの発見には大きく分けると二つの事が在ると言われています。

一つは数学的に、位取りが出来るということ。今一つは、哲学的に無い状態が在るという事実を知ること。http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1462816269

 

 

世界中で、ゼロ除算は 不可能 か 

可能とすれば ∞  だと考えられていたが・・・

しかし、ゼロ除算 はいつでも可能で、解は いつでも0であるという意外な結果が得られた。

 

原点を中心とする単位円に関する原点の鏡像は、どこにあるのでしょうか・・・・

∞ では

無限遠点はどこにあるのでしょうか・・・・・

 

無限遠点は存在するが、無限大という数は存在しない・・・・

 

ゼロ除算(1/0=0)は、ピタゴラスの定理(a2 + b2 = c2 )を超えた基本的な結果であると考えられる。

 

地球平面説→地球球体説

天動説→地動説

何年かかったでしょうか????

 

1/0=∞若しくは未定義 →1/0=0

何年かかるでしょうか????

 

Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.

https://notevenpast.org/dividing-nothing/

 

もし1+1=2を否定するならば、どのような方法があると思いますか? http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12153951522 #知恵袋_

一つの無限と一つの∞を足したら、一つの無限で、二つの無限にはなりません。

 

 

割り算のできる人には、どんなことも難しくない

 

世の中には多くのむずかしいものがあるが、加減乗除の四則演算ほどむずかしいものはほかにない。

 

ベーダ・ヴェネラビリス

 

数学名言集:ヴィルチェンコ編:松野武 山崎昇 訳大竹出版1989年

 

数学で「A÷0」(ゼロで割る)がダメな理由を教えてください。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1411588849 #知恵袋_

 

割り算を掛け算の逆だと定義した人は、誰でしょう???

 

0×0=0・・・・・・・・・だから0で割れないと考えた。

唯根拠もなしに、出鱈目に言っている人は世に多い。

 

multiplication・・・・・増える 掛け算(×) 1より小さい数を掛けたら小さくなる。 大きくなるとは限らない。

 

ビッグバン宇宙論と定常宇宙論について、http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1243254887 #知恵袋_

 

ゼロ除算(100/0=0, 0/0=0)が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・・ 1+1=2が当たり前のように

 

『ゼロをめぐる衝突は、哲学、科学、数学、宗教の土台を揺るがす争いだった』 ⇒ http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12089827553.html … … →ゼロ除算(100/0=0, 0/0=0)が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・ 1+1=2が当たり前のように、

1÷0=0 1÷0=∞・・・・数ではない 1÷0=不定・未定義・・・・狭い考え方をすれば、できない人にはできないが、できる人にはできる。

 

アラビア数字の伝来と洋算 - tcp-ip

明治5年(1872)

http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/arabic_number.pdf

 

ゼロ除算の証明・図|ysaitoh|note(ノート)  https://note.mu/ysaitoh/n/n2e5fef564997

 

Q)ピラミッドの高さを無限に高くしたら体積はどうなるでしょうか??? A)答えは何と0です。 ゼロ除算の結果です。

 

ゼロ除算は1+1より優しいです。 何でも0で割れば、0ですから、簡単で美しいです。 1+1=2は 変なのが出てくるので難しいですね。

∞÷0はいくつですか・・・・・・・

 

∞とはなんですか・・・・・・・・

 

分からないものは考えられません・・・・・

 

1人当たり何個になるかと説いていますが、1人もいないのですから、その問題は意味をなさない。

よってこれは、はじめから問題になりません。

ついでですが、これには数学的に確定した解があって それは0であるという事が、最近発見されました。

 

Reality of the Division by Zero z/0 = 0

http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html

http://okmr.yamatoblog.net/

Einstein's Only Mistake: Division by Zero

http://refully.blogspot.jp/2012/05/einsteins-only-mistake-division-by-zero.html

0を引いても引いたことにならないから:

君に0円の月給を永遠に払いますから心配しないでください:

 

再生核研究所声明171(2014.7.30)掛け算の意味と割り算の意味 ― ゼロ除算100/0=0は自明である?

 

(2014.7.11小柴誠一、山根正巳氏との会合で、道脇裕氏の 割り算と掛け算は別であり、ゼロ除算100/0=0は自明であるとの考えを分析して得た考えを纏めたものである。)

ゼロ除算100/0=0は2014.2.2 偶然に論文出筆中に 原稿の中で発見したものである。チコノフ正則化法の応用として、自然に分数、割り算を拡張して得られたものであるが、歴史上不可能であるとされていること、結果がゼロであると言う意味で、驚嘆すべきことであること、さらに、高校生から小学生にも分る内容であると言う意味で、極めて面白い歴史的な事件と言える。そればかりか、物理学など世界の理解に大きな影響を与えることも注目される。詳しい経過などは 一連の声明を参照:

再生核研究所声明148(2014.2.12)100/0=0, 0/0=0 - 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志

再生核研究所声明154(2014.4.22)新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方

再生核研究所声明157(2014.5.8)知りたい 神の意志、ゼロで割る、どうして 無限遠点と原点が一致しているのか?

再生核研究所声明161(2014.5.30)ゼロ除算から学ぶ、数学の精神 と 真理の追究

再生核研究所声明163(2014.6.17)ゼロで割る(零除算)- 堪らなく楽しい数学、探そう零除算 ― 愛好サークルの提案

再生核研究所声明166(2014.6.20)ゼロで割る(ゼロ除算)から学ぶ 世界観

しかるに いろいろな人たちと広く議論しているところであるが、世界の指導的な数学者でさえ、高校生でも理解できる発表済みの論文 その後の結果について、現代数学の常識を変えるものであり、受け入れられない、と言ってきている。まことに不思議なことであり、如何に驚くべき結果であるかを示していると言える。

多くの数学者は、内容を理解せず、100/0=0 は100=0 x 0 =0 で矛盾であると即断している。しかるに論文は 100/0 は 割り算の意味を自然に拡張するとゼロの結果を得るのであって、ゼロ除算の結果は 100=0 x 0 =0を意味しないと説明している。 逆に、無限大、無限遠点は数と言えるかと問うている。

ところが面白いことに 既に3月18日付文書で、道脇裕氏は 掛け算と割り算は別であり、ゼロ除算100/0は 自明であると述べていた。しかし、その文書は、一見すると

矛盾や間違いに満ちていたので、詳しく分析してこなかった。しかるに上記7月11日の会合で、詳しい状況を聞いて、道脇氏の文書を解読して、始めて道脇氏の偉大な考えに気づいた。結論は、ゼロ除算100/0は分数、割り算の固有の意味から、自明であると言うことである。これはチコノフ正則化法や一般逆とは関係なく、分数、割り算の意味から、自明であるというのであるから、驚嘆すべき結果である。千年を越えて、未明であった真実を明らかにした意味で、極めて面白い知見である。またそれは、割り算が掛け算の逆であり、ゼロ除算は不可能であるという長い囚われた考えから、解放した考えであると評価できる。

原理は日本語の表現にあるという、掛け算は 足し算で定義され、割り算は 引き算で定義されるという。割り算を考えるのに 掛け算の考えは不要であるという。

実際、2 x3 は 2+2+2=6と繰り返して加法を用いて計算され、定義もできる。

割り算は、問題になっているので、少し詳しく触れよう。

声明は一般向きであるから、本質を分かり易く説明しよう。 そのため、ゼロ以上の数の世界で考え、まず、100/2を次のように考えよう:

100-2-2-2-,...,-2.

ここで、2 を何回引けるかと考え、いまは 50 回引いてゼロになるから分数は50であると考える。100を2つに分ければ50である。

次に 3/2 を考えよう。まず、

3 - 2 = 1

で、余り1である。そこで、余り1を10倍して、 同様に

10-2-2-2-2-2=0

であるから、10/2=5 となり

3/2 =1+0.5= 1.5

とする。3を2つに分ければ、1.5である。

これは筆算で割り算を行うことを 減法の繰り返しで考える方法を示している。a がゼロでなければ、分数b/aは 現代数学の定義と同じに定義される。

そこで、100/0 を上記の精神で考えてみよう。 まず、

100 - 0 = 100,

であるが、0を引いても 100は減少しないから、何も引いたことにはならず、引いた回数は、ゼロと解釈するのが自然ではないだろうか (ここはもちろん数学的に厳格に そう定義できる)。ゼロで割るとは、100を分けないこと、よって、分けられた数もない、ゼロであると考えられる。 この意味で、分数を定義すれば、分数の意味で、

100割るゼロはゼロ、すなわち、100/0=0である。(ここに、絶妙に面白い状況がある、0をどんどん引いても変わらないから、無限回引けると解釈すると、無限とも解釈でき、ゼロ除算は 0と無限の不思議な関係を長く尾を引いている。)

同様に0割る0は ゼロであること0/0=0が簡単に分かる。

上記が千年以上も掛かったゼロ除算の解明であり、 ニュートンやアインシュタインを悩ましてきたゼロ除算の簡単な解決であると 世の人は、受けいれられるであろうか?

いずれにしても、ゼロ除算z/0=0は  既に数学的に確定している と考えられる。そこで、結果の 世への影響 に関心が移っている。

以 上

文献:

M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,

New meanings of the division by zero and interpretations on 100/0=0 and on 0/0=0,

Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.

S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95.http://www.scirp.org/journal/ALAMT/

 

 

 

 

再生核研究所声明3532017.2.2) ゼロ除算 記念日

 

2014.2.2 に 一般の方から100/0 の意味を問われていた頃、偶然に執筆中の論文原稿にそれがゼロとなっているのを発見した。直ぐに結果に驚いて友人にメールしたり、同僚に話した。それ以来、ちょうど3年、相当詳しい記録と経過が記録されている。重要なものは再生核研究所声明として英文と和文で公表されている。最初のものは

 

再生核研究所声明 148(2014.2.12): 100/0=0,  0/0=0 - 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志

 

で、最新のは

 

Announcement 352 (2017.2.2):  On the third birthday of the division by zero z/0=0 

 

である。

アリストテレス、ブラーマグプタ、ニュートン、オイラー、アインシュタインなどが深く関与する ゼロ除算の神秘的な永い歴史上の発見であるから、その日をゼロ除算記念日として定めて、世界史を進化させる決意の日としたい。ゼロ除算は、ユークリッド幾何学の変更といわゆるリーマン球面の無限遠点の考え方の変更を求めている。― 実際、ゼロ除算の歴史は人類の闘争の歴史と共に 人類の愚かさの象徴であるとしている。

心すべき要点を纏めて置きたい。

 

1)     ゼロの明確な発見と算術の確立者Brahmagupta (598 - 668 ?) は 既にそこで、0/0=0 と定義していたにも関わらず、言わば創業者の深い考察を理解できず、それは間違いであるとして、1300年以上も間違いを繰り返してきた。

2)     予断と偏見、慣習、習慣、思い込み、権威に盲従する人間の精神の弱さ、愚かさを自戒したい。我々は何時もそのように囚われていて、虚像を見ていると 真智を愛する心を大事にして行きたい。絶えず、それは真かと 問うていかなければならない。

3)     ピタゴラス派では 無理数の発見をしていたが、なんと、無理数の存在は自分たちの世界観に合わないからという理由で、― その発見は都合が悪いので ― 、弟子を処刑にしてしまったという。真智への愛より、面子、権力争い、勢力争い、利害が大事という人間の浅ましさの典型的な例である。

4)     この辺は、2000年以上も前に、既に世の聖人、賢人が諭されてきたのに いまだ人間は生物の本能レベルを越えておらず、愚かな世界史を続けている。人間が人間として生きる意義は 真智への愛にある と言える。

5)     いわば創業者の偉大な精神が正確に、上手く伝えられず、ピタゴラス派のような対応をとっているのは、本末転倒で、そのようなことが世に溢れていると警戒していきたい。本来あるべきものが逆になっていて、社会をおかしくしている。

6)     ゼロ除算の発見記念日に 繰り返し、人類の愚かさを反省して、明るい世界史を切り拓いて行きたい。

以 上

 

追記:

 

The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:

 

Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces

Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh

International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue  1, 2017), 1-16. 

http://www.scirp.org/journal/alamt   http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html

http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf

 

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12263708422.html

 

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12272721615.html

 

 

 

 

再生核研究所声明3682017.5.19)ゼロ除算の意義、本質

 

ゼロ除算の本質、意義について、既に述べているが、参照すると良くまとめられているので、初めに復習して、新しい視点を入れたい。

 

再生核研究所声明3592017.3.20) ゼロ除算とは何か ― 本質、意義

 

ゼロ除算の理解を進めるために ゼロ除算とは何か の題名で、簡潔に表現して置きたい。 構想と情念、想いが湧いてきたためである。

基本的な関数y=1/x を考える。 これは直角双曲線関数で、原点以外は勿論、値、関数が定義されている。問題はこの関数が、x=0  で どうなっているかである。結論は、この関数の原点での値を ゼロと定義する ということである。 定義するのである。定義であるから勝手であり、従来の定義や理論に反しない限り、定義は勝手であると言える。原点での値を明確に定義した理論はないから、この定義は良いと考えられる。それを、y=1/0=0 と記述する。ゼロ除算は不可能であるという、数学の永い定説に従って、1/0 の表記は学術書、教科書にもないから、1/0=0 の記法は 形式不変の原理、原則 にも反しないと言える。― 多くの数学者は注意深いから、1/0=\infty の表記を避けてきたが、想像上では x が 0 に近づいたとき、限りなく 絶対値が大きくなるので、複素解析学では、表現1/0=\infty は避けても、1/0=\infty と考えている事は多い。(無限大の記号がない時代、アーベルなどもそのような記号を用いていて、オイラーは1/0=\inftyと述べ、それは間違いであると指摘されてきた。 しかしながら、無限大とは何か、数かとの疑問は 続いている。)。ここが大事な論点である。近づいていった極限値がそこでの値であろうと考えるのは、極めて自然な発想であるが、現代では、不連続性の概念 が十分確立されていて、極限値がそこでの値と違う例は、既にありふれている。― アリストテレスは 連続性の世界観をもち、特にアリストテレスの影響を深く受けている欧米の方は、この強力な不連続性を中々受け入れられないようである。無限にいくと考えられてきたのが突然、ゼロになるという定義になるからである。 しかしながら、関数y=1/xのグラフを書いて見れば、原点は双曲線のグラフの中心の点であり、美しい点で、この定義は魅力的に見えてくるだろう。

定義したことには、それに至るいろいろな考察、経過、動機、理由がある。― 分数、割り算の意味、意義、一意性問題、代数的な意味づけなどであるが、それらは既に数学的に確立しているので、ここでは触れない。

すると、定義したからには、それがどのような意味が存在して、世の中に、数学にどのような影響があるかが、問題になる。これについて、現在、初等数学の学部レベルの数学をゼロ除算の定義に従って、眺めると、ゼロ除算、すなわち、 分母がゼロになる場合が表現上現れる広範な場合に 新しい現象が発見され、ゼロ除算が関係する広範な場合に大きな影響が出て、数学は美しく統一的に補充,完全化されることが分かった。それらは現在、380件以上のメモにまとめられている。しかしながら、世界観の変更は特に重要であると考えられる:

 

複素解析学で無限遠点は その意味で1/0=0で、複素数0で表されること、アリストテレスの連続性の概念に反し、ユークリッド空間とも異なる新しい空間が 現れている。直線のコンパクト化の理想点は原点で、全ての直線が原点を含むと、超古典的な結果に反する。更に、ゼロと無限の関係が明らかにされてきた。

ゼロ除算は、現代数学の初等部分の相当な変革を要求していると考えられる。

以 上

 

ゼロ除算の代数的な意義は、山田体の概念で体にゼロ除算を含む構造の入れ方、一般に体にゼロ除算の概念が入れられるが、代数的な発展については 専門外で、触れられない。ただ、計算機科学でゼロ除算と代数的な構造について相当議論している研究者がいる。

ゼロ除算の解析学的な意義は、従来孤立特異点での研究とは、孤立点での近傍での研究であり、正確に述べれば 孤立特異点そのものでの研究はなされていないと考えられる。

なぜならば、特異点では、ゼロ分のとなり、分子がゼロの場合には ロピタルの定理や微分法の概念で 極限値で考えてきたが、ゼロ除算は、一般に分子がゼロでない場合にも意味を与え、極限値でなくて、特異点で 何時でも有限確定値を指定できる ― ゼロ除算算法初めて、特異点そのものの世界に立ち入ったと言える。従来は孤立特異点を除いた世界で 数学を考えてきたと言える。その意味でゼロ除算は 全く新しい数学、世界であると言える。典型的な結果は tan(\pi/2) =0で、y軸の勾配がゼロであることである。

ゼロ除算の幾何学的な意義は、ユークリッド空間のアレクサンドロフの1点コンパクト化に、アリストテレスの連続性の概念でない、強力な不連続性が現れたことで、全く新しい空間の構造が現れ、幾何学の無限遠点に関係する部分に全く新規な世界が現れたことである。所謂無限遠点が数値ゼロで、表現される。

さらに、およそ無限量と考えられたものが、実は、数値ゼロで表現されるという新しい現象が発見された。tan(\pi/2) =0の意味を幾何学的に考えると、そのことを表している。これはいろいろな恒等式に新しい要素を、性質を顕にしている。ゼロが、不可能性を表現したり、基準を表すなど、ゼロの意義についても新しい概念が現れている。

 

以 上

 

ゼロ除算の詳しい解説を次で行っている:

(数学基礎学力研究会のホームページ

URL

http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku

http://okmr.yamatoblog.net/

The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world

 

Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces

Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh

International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue  1, 2017), 1

-16. 

http://www.scirp.org/journal/alamt   http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html

http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf

http://okmr.yamatoblog.net/division%20by%20zero/announcement%20326-%20the%20divi

http://okmr.yamatoblog.net/

 

Relations of 0 and infinity

Hiroshi Okumura, Saburou Saitoh and Tsutomu Matsuura:
http://www.e-jikei.org/…/Camera%20ready%20manuscript_JTSS_A…

 

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12276045402.html

 

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12263708422.html

 

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12272721615.html

 

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