高橋涼介 数学論 (RyosukeScience)

今世紀に入ってからの数学の発達は、まことに著しいものがある。すでに前世紀の終わりにおいて、数学は分科の下に分科を生じ、隔絶せる部門との意想外の交渉を生じ、到底その全体を達することが不可能なまでに発達した。


テーマ:
複2次方程式の解と係数の関係から得られる条件はx^2に関する条件であり、x^2が実数であればxの絶対値がわかります。

0以上の実数s,tがs^2+t^2=1をみたしながら動くとき、方程式
x^4-2(s+t)x^2+(s-t)^2=0
の解のとる値の範囲を求めよ。
(2005年 文科)

まずはX=x^2の実数性と符号を調べます。Xが非負であれば、xは実数であることがやかり、先が考えやすくなります。Xに関する2次方程式の解と係数の関係を調べると、sとtが非負であることからXが非負であることがわかり、これからxが実数であることがわかります。
x^2\equiv X
\begin{equation}
\left \{\begin{array}{l}
s,t\geq 0,s^2+t^2=1 \\
X^2-2(s+t)X+(s-t)^2=0 \\
X=\alpha,\beta
\end{array}
\right.
\end{equaion}

s,t\geq 0\Longrightarrow\begin{equation}
\left \{\begin{array}{l}
\alpha+\beta=2(s+t)\geq 0 \\
\alpha\beta=(s-t)^2\geq 0 \\
D_X=4(s+t)^2-4(s-t)^2=16st\geq 0
\end{array}
\right.
\end{equaion}
\Longrightarrow X\geq 0\Longrightarrow x\in R

若干天下り的なのですが、sとtをまとめることを考えます。Xの方程式の係数は「-2(s+t)」と「(s-t)^2」なのですが、「s^2+t^2=1」の関係があるので、u\equiv s+tと定義して、Xの方程式の係数を変数uだけで構成できるようにまとめます。
s+t\equiv u\Longrightarrow\begin{equation}
\left \{\begin{array}{l}
\alpha+\beta=2(s+t)=2u \\
\alpha\beta=(s-t)^2=1-2st \\
2st=(s+t)^2-1=u^2-1
\end{array}
\right.
\end{equaion}
\Longrightarrow\begin{equation}
\left \{\begin{array}{l}
\alpha+\beta=2u \\
\alpha\beta=2-u^2
\end{array}
\right.
\end{equaion}

uはst座標におけるt切片の値であり、傾き-1の直線が原点中心の円「s^2+t^2=1」と第Ⅰ象限で交点を持つことから、uの値の範囲が確定します。
\Longrightarrow X^2-2uX+2-u^2=0
\begin{equation}
\left \{\begin{array}{l}
s,t\geq 0 \\
s^2+t^2=1\Longrightarrow1\leq u\leq \sqrt{2} \\
u=s+t
\end{array}
\right.
\end{equaion}
そうすると、sとtに設定された条件によってXは正の解を持ちますが、sとtに設定された条件がuに移って、uの値が「1\le u \le \sqrt{2}」の範囲にあれば、Xの方程式が正の解を持つことになります。
ところでここで、f(u)\equiv X^2-2uX+2-u^2=0とおきます。これはXに関する方程式なのですが、その係数uが「1\le u \le \sqrt{2}」の範囲の値を取るということは、uについての方程式v=f(u)=0が「1\le u \le \sqrt{2}」の範囲で解をもつということです。
v=f(u)はuについての2次関数であり、その頂点(p,q)のx座標pは非正であることがわかります。そうすると、f(u)=0の解が「1\le u \le \sqrt{2}」の範囲にある条件はf(1)\ge 0かつf(sqrt{2})\le 0です。
\begin{equation}
\left \{\begin{array}{l}
f(u)\equiv X^2-2uX+2-u^2 \\
v=f(u)
\end{array}
\right.
\end{equaion}
f(u)=-(u+X)^2+2(X^2+1)
f(u)\Longrightarrow(u,v)=(p,q)
=(-X,2(X^2+1))
\Longrightarrow\begin{equation}
\left \{\begin{array}{l}
p=-X\leq 0 \\
q=2(X^2+1)>0
\end{array}
\right.
\end{equaion}
\Longrightarrow\begin{equation}
\left \{\begin{array}{l}
f(1)=X^2-X+1=(X-1)^2\geq 0 \\
f(\sqrt{2})=X^2-2\sqrt{2}X\leq 0
\end{array}
\right.
\end{equaion}
f(1)\ge 0の条件は平方式となって自動的に満たされることがわかったので、残るはf(\sqrt{2})\le 0の条件です。この条件を満たすXおよびxの範囲を求めます。
X(X-2\sqrt{2})\leq 0\Longrightarrow 0\leq X=x^2\leq 2\sqrt{2}\Longrightarrow|x|\leq 2^\frac{3}{4}



クマモト×トウダイ 銀杏プロジェクトだモン

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