高橋涼介 数学論 (RyosukeScience)

今世紀に入ってからの数学の発達は、まことに著しいものがある。すでに前世紀の終わりにおいて、数学は分科の下に分科を生じ、隔絶せる部門との意想外の交渉を生じ、到底その全体を達することが不可能なまでに発達した。


テーマ:
この問題は、そのまま教科書に載っていそうな問題です。直感さえ必要なく、普通に解けば解ける問題です。
2つの放物線
y=2\sqrt{3}(x-\cos\theta)^2+\sin\theta
y=-2\sqrt{3}(x+\cos\theta)^2-\sin\theta
が相異なる2点で交わるような\thetaの範囲を求めよ。ただし、0^\circ<\theta\leq360^\circとする。
(2002年 文理共通)

2つの方程式を並置してyを消去し、解を求めます。注意事項は1つだけ、それは「放物線」とあるので、「x,yは実数である」ということです。したがって、方程式を解くと同時に判別式から得られる不等式を解かねばなりません。
\begin{eqnarray}
\left\{ \begin{array}{ll}
y=2\sqrt{3}(x-\cos\theta)^2+\sin\theta \\
y=-2\sqrt{3}(x+\cos\theta)^2-\sin\theta \\
\end{array} \right.
\end{eqnarray}
2\sqrt{3}(x-\cos\theta)^2+\sin\theta=-2\sqrt{3}(x+\cos\theta)^2-\sin\theta=0
4\sqrt{3}(x^2+\cos^2\theta)+2\sin\theta=0\Longrightarrow x^2+\cos^2\theta+\frac{1}{2\sqrt{3}}\sin\theta=0

方程式の解を求めよと言う指示はないので、これ以上解き進める必要はなく、相異なる2つの実数解が存在する条件を求めれば済みます。それには判別式を適用するだけです。
D=-4(\cos^2\theta+\frac{1}{2\sqrt{3}}\sin\theta)>0
\Longrightarrow 2\sqrt{3}(1-\sin^2\theta)+\sin\theta<0
\Longrightarrow 2\sqrt{3}\sin^2\theta-\sin\theta-2\sqrt{3}
=(2\sin\theta+\sqrt{3})(\sqrt{3}\theta-2)>0
\shortmid\sin\theta\shortmid\leq1\Longrightarrow\mid\sqrt{3}\sin\theta\mid\leq\sqrt{3}\Longrightarrow\sqrt{3}\sin\theta-2<0
\therefore 2\sin\theta+\sqrt{3}<0\Longrightarrow\sin\theta<-\sqrt{\sqrt{3}}{2}
0<\theta\leq2\pi\Longrightarrow\sqrt{4}{3}\pi<\theta<\sqrt{5}{3}\pi


クマモト×トウダイ 銀杏プロジェクトだモン

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