高橋涼介 数学論 (RyosukeScience)

今世紀に入ってからの数学の発達は、まことに著しいものがある。すでに前世紀の終わりにおいて、数学は分科の下に分科を生じ、隔絶せる部門との意想外の交渉を生じ、到底その全体を達することが不可能なまでに発達した。


テーマ:
ものすごくむずかしそうな問題に見えますが、これも実は非常に簡単な問題です。
0に対し、f(x)=\frac{\log x}{x}とする。
(1) n=1,2,\cdotsに対しf(x)の第n次導関数は、数列\{a_n\},\{b_n\}を用いて、
f^(n)(x)=\frac{a_n+b_n\log x}{x^n+1}
と表されることを示し、\{a_n\},\{b_n\}に関する漸化式を求めよ。
(2) h_n=\sum_k=1^n\frac{1}{\kappa}とおく。h_nを用いて\{a_n\},\{b_n\}の一般項を求めよ。(2005年理科)

(1)は、f(x)の第n次導関数の形式がこの型になることを示す問題です、まずn=1でa_1,b_1を計算します。
f^(1)(x)=\frac{d}{dx}[\frac{\log x}{x^2}\Longrightarrow\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
a_1=1 \\
b_1=-1
\end{array}
\right.
このようにa_1,b_1が得られればn=1で成立です。
次にn次での成立を仮定してn+1次での成立を示します。
f^(n+1)(x)=\frac{d}{dx}[\frac{a_n+b_n\log x}{x^n+1}]
=\frac{\frac{b_n}{x}\cdot x^x+1-(a_n+b_n\log x)(n+1)x^n}{(x^n+1)^2}
=\frac{b_n-(a_n+b_n\log x)(n+1)}{x^n+2}
=\frac{b_n-(n+1)a_n-(n+1)b_n\log x}{x^n+2}=\frac{a_n+1+b_n+1\log x}{x^n+2}
\raisebox{.2ex}{.}\raisebox{1.2ex}{.}\raisebox{.2ex}{.}\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
a_n+1=b_n-(n+1)a_n \\
b_n+1=-(n+1)b_n
\end{array}
\right.

(2)では、2つの数列が交差していない\{b_n\}を先に求めます。
b_1=-1,b_2=(-2)(-1)=2!,b_3(-3)(2)=-3!
ということで、「b_n=(-1)^n n!」が明らかです。次にこれを使って\{a_n\}を求めす。
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
a_n+1=b_n-(n+1)a_n \\
b_n=(-1)^n n!
\end{array}
\right.
\Longrightarrow\frac{a_n+1}{b_n+1}=-\frac{1}{n+1}+\frac{a_n}{b_n}
c_n\equiv\frac{a_n}{b_n},c_1=\frac{a_1}{b_1}=-1
c_n=c_n-1-\frac{1}{n}=[c_n-2-\frac{1}{n-1}]-\frac{1}{n}=c_n-2-[\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}]
=\cdots=c_1-[\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\cdots+\frac{1}{2}]=c_1-(h_n-1)=-h_n
a_n=b_n c_n=(-1)^n n!(-h_n)=(-1)^n+1 n!h_n

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