「平均」の意味

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昨日、期待値についてお話ししました。

 

期待値というのはある意味での平均です。平均してどれほどの成果が得られるか、という値ですからね。

あるいは、学校の定期テストや模試でも必ず平均点というのが計算されます。

 

多くの人は、集団の指標として平均という概念を用います。テストでもそうですし、平均年齢だってそうです。

でも、平均っていう値はあまりあてにならないこともあるのです。今日は昨日に引き続き、「平均」が役に立たないケースのお話。

 


 

たとえば、36人のクラスで英単語の抜き打ちテストをしたとしましょう。

難しい単語が多かったとします。

その単語を勉強していた生徒は、問題なく正解できるでしょうが、そうでない生徒はほとんど解けないことが予想されますよね。

 

…さて、テストが終わり、集計をしました。

次のような結果になることがあります。

 

 0点:3人

 1点:3人

 2点:5人

 3点:5人

 4点:3人

 5点:0人

 6点:1人

 7点:4人

 8点:5人

 9点:4人

10点:3人

 

このテスト、平均点を計算するとどうなるでしょか。予想してみてください。

 

計算してみると、平均点は5点だとわかります。

 

でも、この5点という平均点に意味はあるのでしょうか。

データの分布を見てみると、ちゃんと勉強した人は高得点で、勉強しなかった人はひどい成績になっています。二つの山があるわけですね。

でも、平均を計算すると、その二つの山が相殺されて、出てくる値はど真ん中の5点。

 

勉強してこなかった人が多かったために5点という平均が出ただけなので、5点以上の人は安心して良いかというとそうではないですよね。

たとえば6点の人は、平均点だけを見て「ああ、よかった」と思うかもしれませんが、勉強してきた人たちの中では最低ラインです。安心どころの話じゃないですよね。

 

実際に5点の人が多いわけでもないのに5点が平均点として出てきてしまいました。

平均という概念にはこうした弱点があります。

そもそも、データの内容を1つの値で把握しようとしているわけですから、ほとんどの情報は落ちてしまっているわけです。上のデータであれば、36人が受験したわけですから、36個のデータが本当は必要。でも、それを全て扱うのは大変だから、仕方なく代表値として平均を用いているわけです。

 

平均という値がちゃんとした意味を持つのは、分布が1つの山になっているときです。それなら、平均点付近に人が集中しているわけですから、良い指標になります。こう考えると、成績表で「平均点」という値をどう解釈するか、注意が必要とわかります。

 

何も考えずに平均点という値を重視する風潮が受験界にはあります。でも、自分なりに注意深く観察することで、数字に振り回されずにすむのです。

 

今日は以上です!

 

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数学の確率分野で必ず習う「期待値」。

 

ギャンブルの世界でも期待値の計算は出てきます。

宝くじなんかがわかりやすい例ですね。

 

 

期待値という概念を知っていると、大まかな損得を計算することができます。

でも、期待値という値にどういう意味があるかっていうのは実は難しい話なんです。

 

有名な例を一つ紹介します。

次のような賭け事があったとしましょう。

 

 


<ルール>

初めに10000円を払う。

コインを1回投げ、裏だったら1円をもらい終了。

表だったら、裏が出るまで投げ続ける。表が最初から連続してn回出た時、円をもらい終了。


 

たとえば、最初から連続して表が3回出たら、2^3=8円もらえるということです。

 

 

では、このゲームの期待値を計算してみましょう。これは簡単な話で、n回連続で表を出す確率はですから、

となります。でも、この無限和って1を無限個足しているので、計算結果は…

 

そう、無限大になるのです。

つまり、このゲームの期待値は無限大となるのです。

 

でも、この賭け事、やりたいと思いますか?

多くの人はやりたがらないはずです。なぜなら、元を取るには少なくとも14回連続で表を出す必要があるからです。

 

直感に反しますよね。損か得かで言えば、どう考えても損する気がするのに、期待値的には無限大。期待値っていう値は、結構直感に反することがあるのです。

期待値が高いからといってそのギャンブルに臨むというのは、時と場合によって誤りになります。

実際、このゲームでもほとんどの人は10,000円を損して終わるだけです。

 

 

期待値という値を学ぶと、これが頼れる判断基準になる気がしてきます。

でも実際は案外アテにならない数値なんですよね。数学を変に信仰することには、弊害もある、ということかもしれません。

 

今日は以上です!

 

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<二次対策>数学-2

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今日は、複素数平面のお話。

有名ですが、とても重要です。

 

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さて、早速問題。

 

 

理系の大学受験生のみなさんは、ぜひ考えてみてください。

といっても、大して難しくありません。

 

Thinking Time ...

 

答えはコチラ。

 

 

複素数の冪乗がどのような計算なのか、イメージを掴むのが大切です。

極座標表示をすることにより、それを理解しやすくなりますね。

 

絶対値については積をとり、偏角については和をとる。

こう把握しておくと明快です。

 

上の問題の場合は単純なn乗なので、絶対値はn乗、偏角はn倍になる。

それが1になればよいので、rとθについての条件が見えてくる、という仕組みです。

 

複素数平面は、複素数の性質を知る上で大変便利です。

また、大学以降の数学を学ぶと、複素数平面上での積分(!)が登場するなど、特に理系の人は是非覚えておきたいところ。勉強が不十分な人は、今一度よく復習しましょう!

 

今日は以上です。

 

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