三角関数の合成

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数学IIBの中でも、三角関数の合成はつまづく人が多いように思います。

今回は、三角関数の合成の大まかな解説をします。

 

まず、加法定理を思い出しましょう。加法定理とは次のようなものでした。

 

 

三角関数の合成というのは、簡単にいうと「加法定理の逆をやる」というものです。加法定理では、上の式を左から右に使います。たとえば

 

 

といったふうに。しかし今回はその逆をやってみよう、というわけです。つまり、複数個の三角関数を、加法定理を用いて一つにまとめる、というのが三角関数の合成です。

では、例を用いて具体的に計算を進めてみましょう。

 

====================

 

【問】

 ・・・★

を合成せよ。

 

 

まず、

と変形します。実はこの変形が、三角関数の合成の山場なのです。合成でつまづく多くの人は、「なんでこんな変形したの?」と思うことでしょう。

 

この変形の理由は以下のとおりです。三角関数の合成は加法定理を利用する、とお話ししました。加法定理のうち、ここでは

を利用することにしましょう。うまく問の式をこの形にしたいわけです。ここでα=xと置いてみると、

となり、わりと★の式に似てきました。

 

しかしここで問題があります。それは、係数のcosβとsinβの間には

の関係があるのです。★の式では、係数の2乗和が

のように、1になっていません。

 

そこで、全体をでくくって

としたわけです。ここでsinとcosの係数を見てみると、

となり、確かに2乗和が1になっています!!つまり、2でくくったのは「係数の2乗和を1にするため」です。どの数でくくるかは場合によってもちろん異なるので注意。

 

そこで、

となるような角βを考えてみると、これはですね。したがって、

となるのです。最後、加法定理

を用いました。

 

====================

三角関数の合成を、具体例を用いて説明しました。繰り返しになりますが、「加法定理の逆」なのです。こう捉えておくと理解しやすいと思います。

 

三角関数の合成は実は結構簡単な内容なので、ここでつまづくのはもったいないです。不明瞭な点があったら是非質問してください!

 

 

今回はここまでです。

 

 

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not と no

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英語の比較級には様々な表現があり、覚えるのに苦労している人も多いことでしょう。ただ、すべて真っ向勝負で暗記するのは効率が悪いと思います。中にはまとめて覚えた方がずっと楽なものや、考えれば意味がわかるものもあるのです。その一環として、今回は次の4つを見てみます。notとnoが違うだけなのですが、意味はどう変わるのでしょうか。
 
not more
no more
 
not less
no less
 
notとnoの違いはどこにあるのか。例文を挙げてみます。
 
I haven't read more than 1000 books.
私が読んだことのある本は多くとも1000冊だ。
I have read no more than 1000 books.
私が読んだことのある本は1000冊しかない。
 
The number of victims isn't less than 100.
犠牲者の数は少なくとも100人だ。
The number of victims isn't less than 100.
犠牲者の数は100人もいる。
 
no と notの違いは微妙なところですが、notは単に論理的な否定、noは論理的な否定+強調、というふうに捉えることができます。
 
not moreやnot lessは「より多くない/より少なくない」というふうに論理的な否定をしているのみですが、notをnoにすると「〜しかない/〜もある」というやや感情のこもった表現になります。
 
中立的な立場で発言するときや、特に気持ちを込めない場合はnotで十分ですが、「ボルトはオリンピックの100mで3回も金メダルを取っているんだよ!すごい!」のように強調したいときはnoの出番です。
notは論理的な否定、noは少し強調。これさえ頭に入れておけば、上の4つの意味は暗記する必要がありません。簡単ですね!
 
文法問題でも頻出ですし、作文でも便利な表現ですから、
not more
no more
not less
no less
はまとめて覚えておくことをオススメしますよ〜
 
 
今回はここまでです。
 

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センター試験の社会科

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東大を受験するにあたり、理系の人はセンター試験の社会科をどれか一つやらなければなりません。

 

私は高校生のときからコテコテの理系人だったため、社会科を勉強しなければならないのは正直苦痛でした。基本的に「地理」と「倫理、政治・経済」の二つから選ぶわけですが、私はかなり迷いました。皆さんの中にもどちらにするか決めかねている人がいるかもしれないので、参考までに私がどうやって決めたのかをお話ししようと思います。

 

科目の第一印象だけで決めるのはお勧めしません。それは危険だと思ったので、私は書店に行ってそれぞれの科目の参考書を数冊ずつ眺めてみました。で、眺めるだけでは正直あまりわからなかったため、結局1冊ずつ購入して両方とも少し勉強してみることに。すると、次第に両者の特徴が見えてきました。

 

倫理、政治・経済の最大の特徴は、極端に言ってしまえば暗記至上主義であるということです。「◯◯の思想を提唱したのは誰か。」とか「◯◯主義とは次のうちどれのことか。」といった風に、知らないとどうしようもないような問題がほとんどを占めます。少しだけ例外があって、文章を読解する問題は知識がなくても解けるのですが、ほとんどの問題は暗記を前提としているのです。

とりあえず覚えれば覚えるほど点数につながるわけですから、暗記が好きな人は倫理、政治・経済を選択すると良いでしょう。

 

私は暗記を極端に嫌うタイプだったので、どうしても倫理、政治・経済を勉強していく気にならず、断念。地理はどうかな、と思って地理の勉強をしてみることに。

 

地理を少しだけ勉強して、「案外暗記すること少ないんだなぁ」と感じました。地理は一見他の科目同様に暗記ばかりだと思うかもしれませんが、それ以上に自分の頭でいろいろ考えるところが多いのです。

たとえば「この地域で栽培されている主な作物は次のうちどれか。」と聞かれたら、その土地の平均気温や気候帯などを思い出せば、たとえ暗記していなくても正解にたどり着けるわけです。倫理の人名を答える問題などは知らなければどうしようもなかったわけですから、それとは対照的ですね。

 

この自力で考えていく感じが大好きだったので、私はセンター試験で地理をやることにしました。地理の勉強はとても楽しかったし、ためになりました。

 

 

理系の受験生で社会科を迷っている人は、

暗記が好きだったら倫理、政治・経済

自分で考えるのが好きだったら地理

という基準で選ぶとよいと思います。ネット上には「◯◯のほうが点を取りやすい」といった噂がたくさんありますが、そういうものに惑わされずに、自分に合っている科目を選ぶことをオススメします!!

 

※センター地理の参考書ですが、私は「センター試験 地理Bの点数が面白いほどとれる本」を使用していました。わりとよい本だったと思いますので、よかったら参考にしてください。

 

 

今回はここまでです。

 

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