覚醒には覚醒丹と覚醒アイテム4種が必要になります。
これらは精鋭クエストの報酬として貰えますが、主となる獲得源は覚醒商店と考えた方が良いと思います。

精鋭クエストは11章以降の必要体力が15となり、メインクエストよりも強化された武将を4ターン以内に倒さないと3星にならないため3星にするため何度もトライしていると体力が無駄です。

覚醒商店では神魂を消費して覚醒丹や覚醒アイテムを購入します。
神魂は名将クエストや曜日クエストで獲得できます。

無料更新数の範囲でコツコツ回して覚醒丹と覚醒アイテムを集めていく感じになります。
武将に装備できる覚醒アイテムは購入リストに表示が出るので便利です。
覚醒丹は侵入者を倒すことで獲得できるので、そちらもお勧めです。

パーティ編成や戦力によって事情は異なりますが、進化による戦力アップを主として、覚醒丹や覚醒アイテムが揃い、武将数に余裕があれば覚醒するといったスタンスで良いでしょう。

または武将転生により消費したアイテムと武将が戻ってくるので、育成度合いに応じて覚醒を進めてしまう方法もあります。

2017/01/31追記
覚醒アイテム獲得で一番避けたいのは合成です。
低レア度の合成費用は銀貨5000くらいですがレア度があがるにつれて5万?、10万?と合成費用があがります。
銀貨は装備や霊宝の強化など色々な局面で必要になるので覚醒アイテムの合成はできるだけさけ、必要なものは覚醒商店で出るまで回す辛抱強さをお勧めします。

2017/02/02追記
地方遠征でも覚醒アイテム箱を獲得できます。
 
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