四角形の面積関連の公式

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いろいろあって、いろんな分野を勉強することになったのでメモと知識の整理代わりも含めて更新。


数学系の記事を書こうと思っていたけど、ネタが浮かばず(うまく説明できず)放置しているからそっちも浮かび次第やりたいなあ・・・


さて、本題。
題名は四角形の面積だが、まずは三角形から。
有名なヘロンの公式は三角形の各辺の長さをa,b,c,s=(a+b+c)/2とすると面積Sは、
S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}
となります。
これを拡張したものが、ブラーマグプタの公式と言われるもので、円に内接する四角形の面積Sは各辺をa,b,c,d,s=(a+b+c+d)/2とすると、
S=√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
となります。なんと美しい!

d=0でヘロンの公式です。
さらにこれを拡張したのが、ブレートシュナイダーの公式。
一般的な凸四角形について各辺をa,b,c,d,s=(a+b+c+d)/2,角Aと角Cを対角とすると面積Sは
S=√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-adcd・cos^2(A+C)/2}

です。円に内接するときは、A+C=πなので、ブラーマグプタの公式となります。

ここで、四角形が円に外接するときa+c=b+dなので、面積Sは
S=√{abcd-abcd・cos^2(A+C)/2}
=√(abcd)sin(A+C)/2
となります。

さらに、円に内接するときはA+C=πなので、双心四角形(内接円と外接円を両方持つ四角形)に対する有名な事実
S=√(abcd)
が得られてとても綺麗になります。



普通に書くと数式も見づらくなってきたし、TeXで投稿したほうがいいかも・・・
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アドビ製品が欲しいが高い!!

これは安価な学生のうちに買っておきたいんだが・・・

イラレがほしいけど手が出せない。
某暇人さん一緒に買わない?
または誰か背中を押してくれると・・・
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