最適消費量を求めよう。Ⅲ

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今回で終わりにします。
技の原理を説明して、さっきの例題を瞬殺したいと思います。

U=X^a*Y^b のとき、
MUx=aX^aー1*Y^b、となりますが、
ここでは後のことを考えてa*U*X^-1とします。
aが前に出てきて、Xで割っているのだからこうなることは
ご承知していただけると思います。

MUyは同様にb*U*Y^-1 となります。

MUx/MUyを計算するとUは消えて、aY/bXとなります。
MUx/MUy=Px/Pyなので(効用最大化条件)、

b*Px*X=a*Py*Yとなります。
PyY=b/a*Px*Xなので、予算制約式PxX+PyY=Mは
PxX(1+b/a)=M、括弧の中はa+b/aであることから、

X=a/(a+b)*1/Px*M
という先日書いた公式が導出されます。


原理は理解いただけたと思います。
ちなみにY=b/(a+b)*1/Py*Mです。

さきの例題では、a=b=1、Px=2、M=144なので、
X=1/(1+1)*1/2*144=36   終了。


もっとわかるようにさらに問題演習いきます。

「U=X^1/3*Y^2/3、所得が300、X財の価格がPx、
Y財の価格が8であるとき、X財の需要関数を求めなさい(国Ⅰ H5年)」

X=1/3 /(1/3+2/3)*1/Px*300
=100/Px       はい、終わり。

次。

「U=C1^1/2*C2^1/2で示されるとする。
今期の所得を180、来期の所得を210、利子率を0.05とし、
この利子率で自由に貸借できるとしたとき、
この消費者の今期の消費は(A)となる。(国Ⅰ H11年少し調整)」


予算制約式が少し面倒ですが、
C1+C2/1+r=Y1+Y2/1+rというパターンはご存知だと思います。

C1+C2/1.05=180+210/1.05
右辺は計算して380となります。

あとは、技を使うだけです。
C1=1/2 /(1/2+1/2)*1/1*380
=1/2*380=190   はい、終わり。

異時点間消費の問題もこのように簡単に解くことができます。
どうなんでしょう、これで消費者理論の計算問題は大体いけるのでは。

疑問があったらコメントをください。
というか読者希望!勉強友達もっとほしい・・・
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最適消費量を求めよう。 Ⅱ

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説明が足りなかったので、追稿します。

実は負けず嫌いなので、一度解説しだしたらトコトンやります。
おそらく史上空前の長さになりますが、どうかお許しください。

今回は消費者理論の基本的なところから入ります。

消費者の一定の効用は無差別曲線で表されます。
わかりやすいように、横軸X財、縦軸Y財のよくでてくるグラフで
考えましょう。

基本的に、単調性の仮定(どちらかの消費を増やせばかならず効用が上がる)
が満たされていると考えるので無差別曲線は右下がりになります。
そしてより右上の領域にいけばいくほど効用が高くなる、ということになります。

↑例えば、無差別曲線上のある点からちょっと右の状況を考えてみると、
X財の消費が上がっている、ということになりますね。
ということは当初よりもそのゾーンでは効用が高くなってます。
なので、無差別曲線と同じ効用を保とうとしたときには
Y財の消費を下げなくてはならないはずです。
だから無差別曲線は必然的に右下がりになる。


この、片方が上がったときにどれだけ下げれば効用が保たれるか
の程度を示すのが限界代替率で、無差別曲線の接線の傾きで示されます。

この傾きはMUx/MUy で表されます。
ここは暗記したほうがいいかもしれませんが理解したいのなら解説を
読んでいただければ大丈夫だと思います。すこしわかりにくいですが・・・

↑MUx=Xが変化した時にUがどれだけ変化するか
=△U/△X(△は変化分を表す)

で、無差別曲線上では効用は変化しないので、無差別曲線上のある点から
ある点へと移動したような状況を考えると

MUx×△x+MUy×△y=0 が恒常的に成り立ちます。
これは、Xの変化によって変わった効用がYの変化によって打ち消されている
状況を表しています。まあ、結局は無差別曲線の性質を数式で表しただけです。

この式を変形すると、-△Y/△X=MUx/MUy という式が
出てきます。想定したグラフは横軸X縦軸Yで考えているので、
無差別曲線の接線の傾き(変化分の度合い)はMUx/MUyになります。解説おわり。

なんだか膨大な量になる予感がそろそろしてきました・・・
ご勘弁ください。


んで、消費者には予算というものがあります。
それによって消費者は最適な消費量を決めるわけです。簡単に言えば。

その予算を示す式は予算制約式と呼ばれ、通常
PxX+PyY=M のような形になります。
グラフではY=~ という風にしなくてはならないのでごちゃごちゃやると、
Y=M/Py -Px/Py*Xという式になります。
(どこで掛けてるのかわかりにくいので*を使いました。*は「掛ける」です)

つまり、左上のY切片がM/Py、X切片がM/Xでの傾きがーPx/Pyの
直線ということがここでわかります。

この直線よりも左下が予算内、つまり消費可能領域をあらわします。

さて、そこでその消費可能領域内でもっとも高い効用が得られる点とは
どこなのか!?無差別曲線をその中で大量にひきまくってみると
なんとなく答えは浮かんできますが、予算制約式の傾きと、
限界代替率が等しくなるときに効用は最大化されます。


MUx/MUy=Px/Py(両方負の傾きなので-は消しました)

この条件が満たされることが効用最大化の条件となります。

また、この式をいじくるとMUx/Px=MUy/Py という式になり、
これは限界効用均等の法則と呼ばれます。この単語自体はテキストなどで
出てくることも多いと思います。もしくはゴッセンの第二法則
後者はちとマイナーか!?

さて、これらのことを踏まえた上で具体的な問題に入っていきます。
まだまだ続くのでそろそろトイレ休憩にしましょう。
僕もトイレに行ってきます。

・・・で、問題。
「個人の効用関数が U=2XY で示されるとする。
Pxが2、Pyが4、所得が144で表されるとき、個人が
消費するX財の消費量を求めよ(平成7年 地上)」

2X+4Y=144という予算制約式がすぐにできます。

そして、限界効用MUを次に求めます。
MUxはUをXで偏微分したものなので、2Y、MUyは2X。

限界効用均等の法則より、2Y/2=2X/4 、つまり・・・
Y=1/2X。
これを予算制約式に代入すると、2X+2X=144。
→X=36。

さて、これが普通のやりかたです。この程度だと普通にやっても3分以内に答えは出せますが、技を使うと1/2*1/2*144=36と瞬殺できるので積極的に技を使ってみたいと思います。

が、行がいっぱいになってしまったので、次回にします・・・
次でけりをつけます・・・
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最適消費量を求めよう。

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突然ですが、経済学。

効用関数 U=X~aY~b、(えっくすa乗×わいのb乗)
予算制約式 PxX+PyY=M

のとき、なんと

X=a/a+b × 1/Px ×M で出ます。

もちろん

Y=b/a+b × 1/Py ×M になります。

例えば U=X~0.5Y~0.5、
2X+3Y=48 としましょう。

このとき、上のやり方で(X、Y)=(12、8)と頑張れば
暗算でも解けます。

これは、MUx/MUy =Px/Py の公式をちょっとごちゃごちゃ
やることで証明することが出来ます。

面倒なのでやりませんが・・・

所得税、利子所得税がでてきたときもうまく対応することでいけます。

例えば2期に分けて消費する、とかいうよくあるパターンでは

C1 + C2/1+r =M1

という予算制約式が作ることができます。

ここでもそれぞれP1=1、P2=1/1+r と考えることで
簡単に効用関数に対応させてC1を出すことが出来ます。

所得税だったらM1に(1-t)倍すればいいだけ。
利子所得税だちC2の分母が1/1+r(1-t)になるのだと思います。


まだ微妙にわかりにくいかもしれませんが、手もとの過去問で
試しにこの技を使ってみてはいかがでしょうか。

コブ=ダグラス型効用関数はもはや点数稼ぎとなるはずです。
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