KNのブログ

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ほぼ半球の形をした計量スプーンだと、体積が1/2の量はどのくらいの高さなのか?


これまで、漠然と6割ちょっとかなー? と思ってたが、
きょう小さじ1杯を大さじに入れてみたら、なんと半分の高さくらいまで来ていて
びっくり!!

積分してみると、確かにちょうど半分の高さで(1-68.75%)=31.25%しかない!
   ※半球の上半分の体積を出すのに、π(1-xの2乗)dxを、0からXまで積分
     して、π・1/3となるXがちょうど体積が半分の(球の中心からの)位置。
   ※この計算値およびあとにも出てくる計算値は、厳密な半球だった場合の話。
     実際の計量スプーンは、半球でなくてそれよりも少し高さが低いので、
     半分の高さくらいで小さじ1杯分になってたのだと思う。


手動で計算してみたら、0.35と0.34の間で0.35寄り、つまり0.65弱の高さだった。

なお、8割の体積にするには、(1-13.4%強)=86.6%弱の高さがいる。
これは予想外にかなり高い高さだ!
より正確にするなら、1/2大さじ1杯 + 小さじ1弱 = 0.5 + 0.333弱
で近似する方がいいかな?  ・・・弱とは、小さじ1のちょうど1割減の量だ


意外な結果に、再計算をしてたら、日付変更線を越えてしまった!(笑)



-------- 翌日、 めっちゃ時間がかかって追記 ----
その後、2次元での円ではどうなるのか? と思ってごそごそしてたら、
ドツボにはまった! (苦笑;)

まず、∫[0→0.5]√(1-x^2)dx の不定積分が出来ない! (笑)
sinθに直してやろうとしても、行き詰まった!(笑)
   ※2sin(θ)^2=1-cos(2θ)が出来ないのだ!  あるいは、
     2cos(θ)^2=1+cos(2θ)

ネットで調べたら、すごいのが出てきた!
単位円でなく、半径が2の円を使って面積を求め、
   ∫[1→2]√(4-x^2)dx を1/4にする!  x=2sin(θ)とおいて
  =∫[π/6→π/2]√(4-4sin(θ)^2)dx
  =∫[π/6→π/2]√(4-4sin(θ)^2)・dx/dθ[=2cos(θ)]・dθ
  =∫[π/6→π/2]4cos(θ)^2)dθ
  =2∫[π/6→π/2](1+cos(2θ))dθ
  =2[θ+(sin(2θ))/2] [π/6→π/2]
  =2・π/3 + (0 - √(3)/2)  (=式1)
  =2.094・・・ - 0.866・・・ =1.228369・・・

これを1/4にすると 0.30709・・・  =単位円にした時の面積
これの1/4円の面積π/4=0.785398・・・に対する割合は
  0.39100・・・

次元が下がって2次元になると、半分に近づいていってほぼ4割ですね。


実は、もっと凄いのがあって、xに対する不定積分が
   ∫√(a^2 - x^2)dx の不定積分は・・・
   1/2[x・√(a^2 - x^2) + a^2・arcsin(x/a)]+C
らしい。 a=1、x=[0→0.5]とすると「上半分」の面積が出てきて、
1/2・0.5・√(3)/2 + 1/2・arcsin(0.5)
=√(3)/8 + 1/2・π/6 となり、 上記の(式1)の1/4 と足すと、
ちょうどπ/4になる!
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