確率量子化 -調和振動子-

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対称型リーマンゼータ関数ζsymとブラウン橋の関係
$たんなる備忘録です-確率論的表示_zeta s∈
たんなる備忘録です-確率論的表示_Y
時刻t:0 <= t <=1
bt(t):ブラウン橋
bt(0) = bt(1) = 0
max:最大値、 min:最小値

対称型リーマンゼータ関数ζsymが、確率の形で書けるのなら「調和振動子の繰り込み」との関係を見いだせないだろうか。(でも、そんなに上手く行くはずはないので、遊びと捉えて下さい.)

イメージとしては、例えばこんな感じ?
<ψ | Y^s | ψ> = ζsym(s)
もしくは
<ψ(s) | H | ψ(s)> = ζsym(s)


ランジュバン方程式(確率微分方程式)が与えられたとき、対応する波動関数を求める確率量子化の方法は確立されているので、それをやってみることに。ここでは、E. Nelsonの方法で量子化してみる。

【調和振動子】
まずは、練習として調和振動子の場合。

ランジュバン方程式
dx(t) = -ω * x * dt + R(dt)
計算の確認のために次元も残しておきます。
[ω] = [1/s]

時間反転版のランジュバン
dx(t) = +ω * x * dt + R(dt)

伊藤型の確率微分方程式
dQ(t) = b( Q, t ) * dt + R(dt)
の係数bを求める。b†は時間反転の方。
b = -ω * x
b† = +ω * x

式を簡単にするために、変数変換しておく。
u = (b - b*)/2 = (-ωx - ωx)/2 = -ωx
v = (b + b*)/2 = (-ωx + ωx)/2 = 0

加速度αを以下のように考える。
たんなる備忘録です-Nelson_Acceleration

Newtonの運動方程式
たんなる備忘録です-Nelson_Newton_eq

運動方程式を解いて、ポテンシャルVを求める。
たんなる備忘録です-Nelson_調和振動子Potential
[V] = [kg m^2 /s^2]

複素関数χ(x,t)を導入
χ(x,t) = u(x,t) + i v(x,t)

χと複素関数ψの関係式
たんなる備忘録です-Nelson_調和振動子_Psi

ψは以下の関係式を満たす。
たんなる備忘録です-Nelson_調和振動子_Psi方程式

ψより余分なη(t)の寄与を削除すれば、波動関数となる。
たんなる備忘録です-Nelson_調和振動子_eta

波動関数φ(x, t)
たんなる備忘録です-Nelson_調和振動子_波動関数
[φ] = [] <=次元なし
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