前回は、因数分解についてでした。

具体的には、因数ってどういう意味かということ。

数字の約数に対して、文字式では因数と呼びます。

 

今日は、因数分解がなぜ大切なのかということをお話しましょう。

教科書って、計算方法や問題の解法はたくさん載っていますが、その単元の意義や、学ぶ目的についてはあまり書かれてませんね。

だから、数学は将来役に立たないなんて言われてしまうわけですが・・・。

 

ちなみに、僕は勉強は全部が全部、役に立つわけではないと思っています。

それに、勉強が常に役に立つべきではない。いやむしろ、役に立たないからこそ良い世の中だとも思ってます。
以前、「なぜ勉強しなければならないのか」という記事で書きましたので、よろしければご覧くださいませ。
 
では話を戻しまして、因数分解を学ぶ意義。
たくさんあるでしょうが、ぶっちぎりで「方程式を解くため」でしょう。
 
教科書には載ってませんが、あらゆる方程式を解くための法則があります。
それほど難しくないので、説明しましょう。
 
a×b=0
が成り立っているとします。
二つの数字を掛けたら0になっているので、a=0 か b=0が成り立ちますね。
 
3つの数に発展させたとしても、同じです。
a×b×c=0
が成り立ってるとき、a=0 か b=0 か c=0が成り立ちます。
 
このように、=の左側(左辺)が掛け算で表されていて、=の右側(右辺)が0になると、左辺の掛け算が一つ一つの等式に分解されます。
 
これを応用して解くのが方程式なのです。
 
例えば、
x^2-3x=0
は、左側が掛け算の形になってません。
 
しかし、因数分解をして、
x(x-3)=0
とすると、左側が掛け算になります。x と (x-3)の掛け算です。
 
と言う事は、x=0 か x-3=0 のどちらかが成り立ります。
x=0はそのままで良いとして、x-3=0は、3を移項すると x=3。
よって、x=0 か x=3 が成り立ちます。
 
この0と3のことを「解」といいます。
 
よく勘違いされているので、ちゃんと説明しておくと、「解」というのは、答えのことではありません。
数学の方程式を解いていると、「解なし」って出てきて、「答えがないってどういうことだ!!」と、目を吊り上げる子がいますが、違います。
 
ちゃんと言葉を説明すると、元の方程式を満たす値の事を「解」と言います。
だから、「解なし」というのは、元の方程式を満たすxの値は一つも存在しないという意味です。
この世に存在しないという結論ですから、しっかりと意味があります。
 
また、解を全て求める事を数学では「解く」と言います。
だから上の方程式で、x=0 か x=3 となりましたが、これで方程式が解けたことになります。
 
とまあ、このように因数分解をすると、方程式が解けます。
この後、二次方程式、三次方程式、高次方程式と進んでいきますが、基本的に解き方は同じ。
左辺を掛け算の形に因数分解して、右辺を0にするだけです。
 
因数分解の方法は様々習いますが、行きつくところは同じです。
 
中3の教科書では、この後二次方程式を習います。
細かく言うと、平方根の単元を挟みますが、展開も因数分解も平方根も、全て二次方程式を解くための単元です。
そういう流れなんだ、と掴めると勉強もしやすいと思います。

 

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今日から6月ですね。

6は一番小さな完全数です。

完全数というのは、約数を全部並べた時に、合計が自分自身になっている数のことです。(但し、自分自身は除く)

例えば、6の約数は1、2、3、6の4つですが、このうち6以外の3つである、1と2と3を足すと6になります。
1+2+3=6
という事です。
 
これって、結構珍しい数で、適当な数字を選んでも成立しません。

例えば、約数が少ない7で計算しようとしても、そもそも約数が1と7しかありませんからダメですね。
 
逆に、約数が多そうな12でやってみると、12の約数は1、2、3、4、6、12ですが、これを足してみると
1+2+3+4+6=16となって、12になりません。
 
ほら、珍しいでしょう。
 
ちなみに、6の次に小さい完全数は28です。
28の約数は、1、2、4、7、14、28となって、足してみると
1+2+4+7+14=28
よって、確かに完全数です。
 
計算はしませんが、次に小さい完全数は496で、その次が8128、その次が33550336だそうです。
 
 
なぜこんな話をしたかと言うと、今日は数学ダイジェストの続きで因数分解の話だからです。
 
いやいや、因数分解って言ったら、
ax+ay=a(x+y)
とか、
x^2-y^2=(x+y)(x-y)
とかいう計算方法でしょう。
 

とお思いかもしれませんが、これがちゃんと関連があるのです。

 

では、皆さんに質問なのですが、「因数」って何でしょうか?

因数分解は出来ても、因数について説明するのは、結構難しいですよね。

教科書でも説明されますが、こういう用語の説明ってあまりちゃんと聞いてない人も多いと思います。授業していても、用語の説明はあまり興味なさそうですが、計算練習になると手を動かし始めますからね。

 

 

「因数」を説明するのに便利なのが、実は「約数」です。
先ほどやった通り、6の約数は1と2と3と6でしたね。

6という数字は、何かもっと小さい数字の掛け算に分解出来て、それが例えば2×3とか、1×6なのですが、このように掛け算に分解出来た時の一つ一つの事を約数というのです。
ここまでは、小学生で習う話です。
 
これに対し、

ax+ayは因数分解すると、a(x+y)になりますが、aとx+yの2つを因数と言います。


つまり、数字の時に約数と呼んでいたものを、文字式では因数と呼んでいるだけなのです。

問題を解いている時には、a(x+y)はaとx+yの因数を持つ、なんて使われ方をしますね。

 

因数分解が難しいとか、苦手と言う生徒さんもいますが、約数を探しているだけだと思えば、少し肩の力が抜けるのではないでしょうか。

 


ちょっと話は変わりますが、数字を素数だけの積に直す計算しますよね。

30=2×3×5

とか、

56=2^3×7

とか。

この計算方法の事を、素因数分解と言うんですが、よくよく見てみると素“因数分解”となっているの、気付いてましたでしょうか?

そうです。実は因数分解という言葉が隠れていたんですね。

(隠れていたというより、ほぼ全てですけど笑)

 

ソインスウブンカイと、カタカタの響きで覚えているとスルーしてしまいますが、実は因数分解をしていたのです。

但し、素因数分解は、数字を使って行うのに、なぜか「約数」ではなくて「因数」という語を使います。

素“約”数分解でも良さそうなものですけど、、、何故でしょう。ご存知の方、教えて下さい。

 

ということで、因数分解というのは、文字式の中に隠されている要素を探して、掛け算にする作業のことです。

では、なぜ因数分解が重要なのでしょうか?

それは、次回のお話へ。

 

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ちょっと期間が空いてしまいましたが、数学ダイジェストのシリーズ続きに行きましょう。
 
今日から中3数学に入ります。
中3ともなると、結構本格的になります。後半には、二次関数とか、三平方の定理も登場しますしね。結構、計算も複雑になります。
 
その仕込みとして、今日は展開公式を扱いましょう。
展開と言ったら、展開公式!
細かく見ると、中3で10個くらい習うのかもしれませんが、実はルールは1つだけ。
そこから、たくさんの公式が導かれていきます。
 
数学の公式って、たくさんあるように思うかもしれませんが、実は根本的なルールは少ないのです。あれこれ条件を変えて、たくさん増殖しているように見えるだけです。
 
ということで、今日と次回で、展開公式を紹介しながら、数学の世界が広がっているのを実感してもらいましょう。
 
では、まずは展開の一番根っこにあるルールの確認です。
 

①(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

 
この公式を覚えることから、始まります。
とは言っても、実はこの公式すら、中1数学をちょっと工夫すれば求められます。
 
①の左辺で、a+b=Aかなんかで置き換えてみましょう。
すると、
A(c+d)=Ac+Ad となりますね。 ←ここで中1数学の展開を使いました。
 
置き換えたAを、元のa+bに直すと、
(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd となって証明完了です。
 
 
もう一つ、有名な証明方法としては、面積の利用です。
ぷちっと数学ネタシリーズでも、何度か面積を利用した証明法をご紹介していますが、数学では掛け算を見た瞬間に面積を思い出すっていうのは、ベタな発想なのです。
 

①の左辺の(a+b)(c+d)で言えば、縦の長さがa+bで、横の長さがc+dの長方形の面積を表します。
 

つまり、下のような図
 

この長方形の面積を、色に分けて四分割していますが、左上の緑の部分の面積がacで、右上がad、左下がbcで、右下がbdです。
よって、(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd は当然だという話。
 
ということで、展開の公式の証明は終わり。
あまり、肩肘張って証明するようなものではなくて、へぇ~と言って終わってしまえば良いです。
 
で、次回はここから生まれる様々な展開公式の導き方をやっていきましょう。
 
 
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