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久しぶりに、数学ダイジェストのシリーズを更新しましょう。
前回までで、一次関数が終わってますから、今回から中2の図形分野に入りましょう。
 
中2の図形分野といえば、証明ですね。
もう、何人の方から「中2の証明で数学がキライになった」と言われたことか・・・。
数学嫌いにさせる天才です。
証明も、大人になって考えてみたら、意外と大したことをやってないって気付く人も多いんですけど、中学生にとっては大きなハードルでしょうね。
 
さて、証明と言えば「合同条件」と言って、辺の長さが等しいとか、角度が等しいとか
色々出てきますね。
その仕込みとしてまず、同じ角度を見つけやすくなる方法を伝授させる必要があります。それが、平行線と角です。
 
では、まず基本事項をサクッと押さえてしまいましょう。
 
まず覚える事が3点です。
 
①対頂角(たいちょうかく)
上の図で言うと、aとcとか、bとdとか、eとgとか、hとfのような位置関係にある角の事を対頂角(たいちょうかく)と言います。
そして、対頂角はどんな時でも絶対に等しいです。
 
②同位角(どういかく)
上の図で言うと、aとeとか、bとfとか、cとgとか、dとhのような位置関係にある角の事を同位角と言います。

 

※同位角は常に等しいとは限りません。後で書きますが、平行線の場合のみ等しくなります。

 

 
③錯角(さっかく)
上の図で言うと、bとhとか、cとeのような位置関係にある角の事を錯角と言います。
※錯角は常に等しいとは限りません。後で書きますが、平行線の場合のみ等しくなります。
 
 
 
ここまでは、ただ用語を覚えているだけなので、そういうものだと理解すれば終わりです。
が、次に②同位角と③錯覚は平行線の場合に等しくなるという定理が登場します。
 
今回の図は、平行な2本の直線が登場していますね。
それによって、aとe(同位角)とか、dとe(錯角)が等しくなります。ここまで覚えれば、この単元については最低限をクリアでしょう。
 
では最後に、どうやってこれを捉えれば良いかという話をして終わりますが、数学っていうのは、一つ何か覚えたら、それを色んな場面で使いまくるっていう教科です。
だから、今回覚えた
①対頂角は常に等しい
②平行線なら同位角が等しい
③平行線なら錯角が等しい
の3つを、今後も手足のように使いこなせるようになればOkという事ですね。
 
なので、学校や塾なんかで、上の3つを覚えたら頭の中でこう変換して下さい。
①線が2本交わってたら、対頂角が等しい事をチェックせよ!
②平行線があったら、同位角が等しい事をチェックせよ!
②平行線があったら、錯角が等しい事をチェックせよ!
 
 
最近、あらゆる場所で言いまくってるんですが、いわゆる「出来る子」っていうのは、ただ単に授業の内容を聞いているだけではなくて、こういうメッセージとして頭の中で瞬時に変換しています。
 
授業中に先生が、対頂角、同位角、錯角の3つの話をした瞬間に、
「あ~、なるほどね。要するに今度から、平行線見たら、同位角とか錯角が等しいって使えば良いんでしょ。カンタン、カンタン」
というような感じで、問題を上から目線で見るくらいの感覚で取り組んでいるようです。
 
今回の単元は、押さえるべきポイントが少ない事もそうですが、これから始まる図形分野との長期戦には、こういう視点で一つ一つの定義や定理を押さえていくのが、大切だと思います。参考にしてみて下さいね。
 

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さて、つい先日更新した数学ダイジェストのシリーズが、中途半端になっていたのでキリの良い処まで終わらせてしまおうと思います。
 
前回は、比例と一次関数の関係性について触れました。
数学は、拡張と融合の学問です。
比例を拡張すると一次関数になります。(定数項を一つ加えるだけですからね)
そして、その違いもほんのちょっとしかありません。複雑そうに思っていても、実はほとんど同じなんですね。
 
但し、比例の単元と、一次関数の単元で決定的に違う所があります。
それは、交点を求めるようになるという点です。
 
比例のグラフは、全て原点を通りますね。
 
よって、何本も比例の直線があったとしても、交点はどうせ原点。分かっているので、交点を求める必要がありません。
 
しかし、一次関数というのは、xy座標の中で、どんな直線になるか分かりません。
もちろん、原点を通るなんて保証はない。だから、交点の場所も分からず、わざわざ求める必要があります。
 
 
そこで、中2の1次関数の範囲では、直線の交点を求める方法が教えられます。
それが連立なのです。 ←今日のメインはココです!!
 
ちょっと抽象的な話が続いたので、具体的にやってみましょう。
y=3x-1 と、y=‐x+3 の交点を求めてみます。
 
連立方程式で習った通り、代入法か加減法を利用して連立します。
一次関数の場合は、普通は 「y=   」の形で表されてますから、代入法が簡単ですね。
 
ということで、
3x-1=-x+3 となり移項して、
3x+x=1+3
4x=4
x=1
 
ですね。
これを元の式の簡単な方に代入して、
 
y=3×1-1
y=2
 
という事で、x=1、y=2と出ました。
これが、xy座標の(1,2)と対応しています。
 
図で見ると、こんな感じ。
 
 
恐らく、ほとんどの人が何気なくやっていたこの作業が、物凄く大事です。
今日は「連立方程式の解=グラフの交点」という関係性をしっかり把握しましょう!
 
これ、実は方程式の世界と、関数の世界を結ぶトンネルのようなもの。行ったり来たり出来ます。
例えば。
 
Q、連立方程式
x+y=4
-x+3y=2 を解け。
っていう問題が出たら、皆さん何を考えるでしょうか?
 
多分、ほとんどの方が反射的に、加減法で解き始めると思うんですね。
別に、答えを出すだけなら、それだけで構いません。
 
しかし、
x+y=4 という直線と -x+3y=2 という直線の交点を求めるんだな、と図形的に考えても良いのです。
 
こういう風に、方程式を見た時にわざと関数的に考える、その逆に、関数を見た時にわざと方程式として考えるのは、中学2年生から出来る大学受験対策なんですね。
※この理論、高校数学の最後までずっと使います。微分や積分でもバリバリ使います。
 
目先の問題を解いて答えを出すだけなら、こんな細かい事や面倒な事を考える必要はありません。しかし、難しい問題に出会って、解き方が分からなくなった時に頼りになるのは、数学の理論です。
 
そして、学校や塾では中々教えてもらえないこと、強調してもらえないことが、連立方程式や一次関数には含まれているのです。
 
という事で、連立方程式から一次関数まで、ちょっと本質に迫る話ばかりしてきましたが、いかがでしたでしょうか?
中学数学が、大学数学に及ぼす影響は計り知れません。適当に計算ばっかりやっていると、あとでしっぺ返しを食らいますよ!?
 
 
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前回まで、連立方程式に関してアレコレ語ってきましたね。元と式の本数の関係、解や連立の意味合いについて触れながら、数学の解法の整理をしてきました。
代入法と加減法の手順についても触れたので、連立方程式については終わりにしまして、今回からは一次関数に入っていきましょう。
 
まず、今日は一次関数の基本的な性質について。
一次関数というのは、y=ax+bで表される関数の事です。
yやxについて、つまり座標に関する話は、下のリンクでしましたのでどうぞご覧ください。
 
よくある例えとしては、
 
Q、1個100円のボールペンをx個と、1個50円の消しゴムを1個買いました。料金をy円とすると、関係式はどうなるでしょう?
A、y=100x+50
 
って感じですね。
 
最近の子供だったら、
Q、スマホの月額料金は5000円です。パズドラで1個100円の魔法石をx回課金すると、携帯の料金はy円になります。yとxの関係式を求めなさい。
A、y=100x+5000
みたいな方が、分かりやすいんでしょうかね。
 
下らない事はおいといて、
aは、比例の時と同じで直線の傾きのことであり、xが1増えた時のyの増加量ですね。
bは、y軸との交点、つまりy切片のことです。xに関わらずyに加算される量とも言い換えられます。
※x軸との交点という意味で、「x切片」という言葉もあります。
 
aの値が大きくなると、右肩上がりのグラフが急になり、小さくなると段々右肩が下がってきて、
aの値が負になると右肩下がりのグラフになってしまいます。
 
bの値はy軸との交点。
よって、bの値が大きくなればグラフが上の方に移動して、bの値が小さくなれば、グラフが下の方に移動します。
 
と、原則としてこれだけです。
これを理解して、グラフが書けるようになったり、読み取れるようになれば、一次関数の基本は終わりです。
(オトナになってから見返すと、短いものです。)
 
 
付け加えるとしたら、変化の割合という言葉くらいですが、変化の割合というのは、実は微分法を扱うための布石として習う言葉なので、ここでは割愛してしまいます。
 
 
さて、これで終わったら、ただの一次関数の性質を紹介するだけになってしまうので、一次関数で初めて学ぶ重要な考え方をご紹介!
 
数学というのは、拡張と融合の学問です。

 

正負の数で言えば、

プラスしか使わなかったのにマイナスの方まで拡張した。

小学校の時の計算方法と融合させて、マイナスを使っても矛盾がないように理論を組み立てた

って事であって、こうやって拡張と融合を繰り返して、数学の理論が広がっていく。

 
 
今回扱っている1次関数というのは、比例を拡張させた単元と言えるでしょう。
比例の式は、y=axでしたが、
一次関数は、y=ax+bです。
 
比例の式に1つ項を加えると一次関数になり、一次関数でb=0という非常に限定的な場合に
絞ったのが比例です。
こうして一つ項を付け加えて、拡張したり複雑化して発展させるのが、数学の流れなのです。
 
だから、一次関数を一次関数として勉強するだけでなく、比例との違いを比べながら勉強してほしいですね。比較すれば、拡張の仕方が分かります。
 
という事で、比例との関係を比較してみましょう。
 
比例はy=axで、一次関数はy=ax+b
比例は必ず原点を通るけど、一次関数は原点を通らない(b=0なら通る)
 
実は、この二つしかありません。
これだけの事なのに、色々言われて説明されると、分からなくなってしまうんですよね。
 
この後、比例、一次関数に続いて、二次関数(中3)、二次関数(数Ⅰ)、三次関数(数Ⅱ)と拡張されます。
拡張されるごとに、急激に難しくなっていく印象があるかもしれませんが、実は使っている理論は、それほど多くなかったりします。
 
たくさん問題を解いたり、時間をかけて進んだりすると、難しい印象がありますが、ポイントになる理論だけを押さえて、数学の流れを見ようとするとあまり多くない。
という事で、これからも本シリーズでは数学で押さえなきゃいけないポイントだけを押さえて、数学って簡単なんだって思えるような記事を目指していきます。
 
では、次回は関数の交点に行きましょう。
これが、また重要なんだな。
 
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