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ちょっと間があいてしまいましたが、東大入試数学を解説するシリーズの続きです。
今日は2015年の理系数学、第4問でございます。
いつも通り、問題をどうぞ。
 
 
さあさあ、出ましたね漸化式。それも、結構複雑そうタイプ。
問題文の1行目に登場する、分数や二乗が入ってる漸化式なんて、まず見た事ないでしょうし、(1)に登場する漸化式はもっと複雑です。
 
ただし、(1)はやる事が明確!
「nによらない事を示せ」というのは、「数列の順番が変わっても値は変わらない」ということ、もっと言えば「定数の数列」ということです。
 
具体的な解法としては、与えられた数列を別の数列に置いて操作するのが、やりやすいでしょう。後でご覧頂く手書きの解答では、問題文の中にpとqが見えるので、その次のrを使ってます。n+1番目とn番目の値が同じだと示せれば、完了です。
 

次、(2)ですが、漸化式を作れという問題。でも、僕からしてみれば、ただの連立方程式です。式が複数あって、不要な文字を消し、必要な文字だけ残せば自然と答えが出ます。
そして、計算過程で使う方法も、せいぜい代入法と加減法くらいなもの。方程式の解法については、こちらの記事に書きましたので、よろしければどうぞ。
 
この東大の問題に関してで言うと、問題文の式、(1)で使った式(定数は3でした)の2種類ありますが、求めたい関係式が、Pn-1が登場する関係式ですから、その2種類の式を変形していても絶対に求められません。
よって、使える2種類の式の順番をずらして、n-1が登場するようにしましょう。
 
手書きの解答には、最短最速で解答が出せる方法かどうかわかりませんが、ストレートな考え方と計算方法を踏まえて、確実に答えが出る解法を載せておきましたので、少しややこしいのかもしれませんが、ご了承下さい。
 

さて、最後に(3)ですが、「二つの漸化式が、実は同じ値でした」というのを証明する問題ですね。
pの数列が、実は簡単な漸化式だったといのが(2)の結論でしたが、(3)で登場するqの数列もシンプル漸化式ですから、同じになるというのも、納得かもしれません。
 
さて、解答の方針ですが、帰納法が一般的でしょうね。
なぜ帰納法という発想になるかと言うと、言おうと思えば様々ありますが、大学受験生ならば
 
数列とか漸化式とか整数が絡む証明問題は、帰納法を使え!
 
というくらいの認識で、それほど間違えないでしょう。漸化式と帰納法は非常に相性が良いのです。
 
さらに、細かい計算過程の方針を言うと、pとqの数列が等しいと言いたいので、どちらかに統一します。
手書きの数列では、qに統一しました。
 
また、qの数列に統一した後も、順番がバラバラなので、端っこの順番を真ん中に寄せるように変形すると上手く行くでしょう。
 
さらに愚直な方法として、pとqの数列の一般項を出して比較しても良いでしょう。ということで、手書きの解答の最後の余白に計算して載せておきました。確かに一致しますよ。
 
ということで、正解を導き出すまでの思考の仕方はこれくらいで良いでしょうから、細かい所は手書きの
解答でどうぞ。
 
 
最後に、(3)で登場したqの数列は、よく見るとフィボナッチ数列ですね。数学オタクの大好物ですが、数学に興味がない人から見ると変人に見られます(笑)
フィボナッチ数列っていうのは・・・と語りだすと、長くなりすぎるので今日はここまで。いずれ、そういう特集で記事をかけたら面白いんですけどねー。
 
では、また次回!
 
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先日、私のブログを見て東大に入学したという方とお話したんですが、印象に残ってる記事として、本シリーズを挙げてくれました。
 
この、東大入試数学の解説シリーズって手間がかかるんですよね。
東大入試を解きなおして
問題の解法やポイントを整理し直して
ブログの本文の部分と
手書きの解答に書く部分を決めて
手書きの解答を作って(これが一番大変)
それをスキャンして
と、短めに書けるシリーズに比べて、2~3倍の時間がかかるので、余裕のある時にしか出来なかったんですが、見知らぬ誰かのためになっていると知れて、非常に救われましたね。
 
他の塾や予備校の数学の解説とは、意識的に差別化して書いていますので、そういうポイントに注目してもらえると非常に有り難いと思うのですが、皆さんお分かりになっていたでしょうか?
 
・一問ずつの解答(技術、戦術レベル)だけではなく、その年の問題を全て解説する。(先生は、解説出来る問題しか解説したくないという心理があるので)
・同じ年度の問題を横に並べて比較検討し時間間配分や、点数配分に言及する(作戦レベル)
・解答の流れだけではなくて、どうしたらその解答が思いつくかという、発想の得方に力点を置く。
・あっと驚く(つまり、先生だけが思いつくような)素晴らしい解答ではなく、教科書の勉強を地道に積んだ生徒が書きやすい解答を優先する。
 
などなど、僕なりに気を遣って書いてました。
あんまり同業者に見られたくないポイントもあるんですけど(笑)、まあそういうところも含めて楽しんで読んでもらえれば良いかなと思いますね。
 
では、前置きが長くなりましたが、2015年の第三問です。
(第二問は、間違えて飛ばして、先に第三問を解いてしまいました。が、文系とほぼ共通の場合の数・確率の問題なので、このままスルーでも良いかなとも思ってますが)
 
 
 
読んだ第一印象として、あまり悩まず、最後の方まで予想が付く問題。
だって、グラフが接する条件を求めて、定数の値を出すのが(1)。んでもって(2)で求積して、(3)で特定の値の時に限定するわけです。
しかも、回転体の体積って、中学受験とか、高校受験じゃないんだからと。
教科書の章末問題でも、同じ流れの問題が出るんじゃないかというくらい、非常にスタンダードな流れの問題。
 
こういう問題に出くわしたら、少なくとも2つの事は思いましょう。
 
1つは、必ず部分点を取るべき問題だということ。
この問題のレベルで、全く手が付かないようでは、かなりマズイでしょうね。計算が煩雑で手がストップしてしまうことはあるかもしれませんが、方針が立たなくてストップするのは非常にマズイです。
計算が面倒でなければ、満点を狙ってもおかしくない問題ですから。
 
もう一つは、計算が面倒になるかもな、と警戒すること。
いや、もちろん解いてみなければ分からないんですよ。
積分の計算過程まで、問題文から予想出来なくても良いですし、する必要はあまりないと思いますが、東大入試って煩雑な計算をさせることも多いですし、このシンプルな問題で計算が簡単で終わる事はないだろうと、少なくとも警戒はしましょう。
 
逆に、物凄く計算が簡単になるように、数字が設定されているとしたら、絶対に高得点を取らなくてはならない問題になります。取らなきゃ死亡、取っても差を付けられる問題ではないというくらいに思って良いでしょうね。
 

では、一つ一つ見ていきますと、(1)は「2曲線の共有点が1点のみになる条件」を求める問題。
これが、二次関数と直線だったら、判別式が0だけで終わりなんですけどね。
残念ながら極値や凹凸、漸近線などを知らない(という振りをして)解かなければならない問題です。
 
logの方に関しては、教科書に書いてあるグラフですから、グラフの凹凸や漸近線など知ってる前提で進めて良いですが、
ax^pの方は、(どうせ、あんな形になるだろう)とほとんどわかっているにも関わらず、ちゃんと調べなきゃいけない曲線です。
 
さて、2つの関数の共有点の個数を調べる時には、別々にグラフを書いて調べたりしませんね。
差を取った関数のグラフを書くのが定石です。
 
差を取って、微分して、増減表を書いてみると、一度だけ極小値を取って、両端は単調増加になる関数だと判明しますね。
あとは、両端の極限を取ってみると、どちらも正の無限大に発散。ということは、極小値でx軸に接するしかないという結論になります。
以上、回り道したように思えますが、予想通り接する条件になりました。めでたしめでたし。
細かくは、手書きの解答で確認して下さい。
 
 
次に(2)ですが、(1)で得た情報をもとにグラフを書いて、該当する部分を確認して、積分計算をすれば終わりですね。
そこで、やはり出ましたよ。(log)^2の積分計算!これは面倒ですね。
 
さて、僕が常日頃言ってる事ですが、面倒な計算は罠(の可能性が高い)です!
面倒な計算は、やたらと時間がかかる割に、計算ミスの可能性が高い。
つまり無暗に時間を使って、1点も得られない可能性があるわけです。
 
こんな問題に優先的に時間を使うのは下策だと思うのですが、受験生はマジメですから、生じた問題には手を出してしまうんですよね。
「落としてはならない城がある」と言う言葉を、よく覚えておいてください。
 
但し、この問題に関しては(3)があります。
しかも、(3)は非常に計算が簡単な可能性が高い!(2)の計算結果を、=2πとするだけですからね。
ということは、(2)で正解出来れば(3)も正解出来るわけです。
 
そのメリットを見越して、あえて時間をかけるなら、作戦としてアリだと思いますけどね。でも欲張ると良い事はないとも言いますしね。やはり検討事項とくらいのレベルではないでしょうか。
 
以上、手書きの解答以外で必要な部分は触れました。あとは下の画像を見ながら、細かい計算の仕方を確認しておいてください。
 
 

計算は、やはり結構面倒ですね。
相当慎重にやらないと、失敗する可能性は高いでしょう。
 
過去問演習って言うのは、レベル感のチェックや、時間配分の検討、過去の出題傾向を把握するなんて、当たり前中の当たり前です。やって当然。
この問題では、是非とも面倒な計算にかかる時間のチェックをしてほしいですね。
そして、自分は本番の緊張状態の中、この複雑な計算を正確に当てられるのだろうかとも、考えてほしいと思います。
それでは、また次回をお楽しみに。
 
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久しぶりに、東大数学の解説シリーズ再開します!
 
今日からは、2015年の理系。
まずは、第一問の問題をどうぞ。
出ました!!
頻出問題の、通過領域ですね。
通過領域って、入試問題ではよく見ますが、教科書では登場しません。
教科書レベルを超えたテーマとしては、絶対に扱わなければならないテーマでしょう。
受験生は、絶対に身につけて下さい。
 
とは言ってもですね、解法としては非常に単純です。
主に2種類の解法が存在して、
①解の存在条件を求める(解の配置)
②いわゆる包絡線の解法を使う
 
なんですが、①の解法を使えば、どんな問題でも解けちゃいます。
この問題も、②の包絡線を使って解く事も出来るんでしょうけど、ちょっとやってみたら面倒そうだったので止めました。
 
昔に比べて、数学の入試問題が簡単になったなんて話もありますが、今も①の方法だけで問題が解けてしまうので、①をしっかり極める前に②に手を出さなくても良い気がしますね。
 
確かに、中には②の包絡線を利用して解くと、スッキリ簡単に解ける問題もあるので、身につけるに越したことはありませんけどね。
一応①よりも②の包絡線の方が圧倒的に簡単に解ける例を1つ挙げておきます。
「y=2tx-t^2 が、t≧0の範囲で動くときの通過領域を求めよ。」
 

ということで、問題文を見た瞬間に、①の解の配置の問題だと気付くのは良いとして、その後はaで降べきの順に整理しますね。
すると、aの2乗の係数に、xが含まれてるので、aの2乗の係数が0になるか、0にならないかで場合分けをする必要が出ますね。
 
なぜなら、aの2乗の係数が0だと一次方程式になり、aの2乗の係数が二次方程式になり、解の存在条件の求め方が全く異なるからです。
 
そして、二次方程式になる時(aの2乗の係数が0出ない時)は、少なくとも1つa>0に解を持たなければならないので、
重解にになるときと、ならないときに分けて、重解にならない時は、1解なのか2解なのかで分けて・・・と、まあ場合分けが面倒くさいです。
 

しかし、解の配置の問題で、面倒な場合分けを処理させる問題も、これまた頻出のテーマなので仕方ありません。丁寧に式変形を追って下さい。僕も面倒で嫌いです。

 
ということで、手書きの解答をどうぞ。
 
 
通過領域の問題は、最後の図示の時に、これまで求めて来た領域がピッタリとパズルのピースを当てはめるように、過不足を補いながら埋まっていくのが、ちょっと気持ち良いですね。
ダブるように、場合分けをしても構わないんですけど、ダブらないように場合分けをすると、最後の図示もダブらずに出てきます。
 
ということで、次回は第二問へ・・・
 
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