東大に文理両方で合格した男が綴る、受験の戦略

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僕が書いている中で、一番マニアックなシリーズの東大入試数学を解説するですが、一部からとても好評を頂いているので、続けていこうと思います。

 

今日から2015年入試に入りまして、2016年の時と同じ流れで進めます。一問ずつ解説して、最後に一年分の作戦を提案するという流れです。

 

では、2015年、東大文系の第一問です!

 

 

珍しく真偽判定の問題ですね。

命題2つに関して真偽の判定をしろとの事ですが、どうやら二つにあまり関連性はなさそう。つまり、いわゆる誘導になってなさそうですから、出来そうな方から解けば良いでしょう。

※命題Aは正の整数で、命題Bはただの整数だし、命題Aはnだけに対して、命題Bはnとmが登場するので、ぱっと見で関連性はなさそうだと判断できます。

 

さて、真偽の判定の仕方ですが、これは「反例が存在するかどうか」です。

反例が存在すれば偽、判例が存在しなければ真です。

これを頭に置いて、命題Aから見ていきましょう。

 

命題Aの不等式は、まさか分母に26を置いたままで計算する人はいないでしょうから、とりあえず分母を払いますね。

すると、n^3-26n^2+2600≧0 となります。

 

ここで真偽判定のチェックの仕方を思い出してください。反例が一つでもあれば偽で、反例が一つもなければ真です。

この「反例が一つもなければ」という言葉は、代わりに「常に」という言葉を使われたりします。

 

そして「常に」 n^3-26n^2+2600≧0 が成立するかどうかを問われたら、左辺の最小値が右辺を超えるかどうかを調べるというのがセオリーです。

 

よく数学の先生が使う例えを紹介しますと、

「クラスの最低点が60点以上だ」と言ったら、「クラス全員が60点以上だ」ってわかるのと同じです。

 

よって、左辺の最小値を調べようという発想になります。

左辺の式を見るとnの3次式。3次式の最大最小の求め方は、3次関数と見てグラフを書くのが、これまたセオリーです。(二次式だったら色々と武器があるのですが)

という事で、あとは左辺の3次式のグラフを書けば解けるな、という目途が立ちます。

 

ちなみにnは整数値ですが、3次関数は定義域が実数です。

だから、左辺のグラフを書いた後に、一番近くの整数の点を探さなければならない事に注意して下さいね。

手書きの解答を見ても、最小値はx=52/3の時なんですが、n=52/3を代入することは出来ませんから、一番近くの整数であるn=17で解答を進めています。

 

また、偽の証明は反例を示せば良いので、解答用紙にはあまり色々書かなくて良いです。

「命題Aは偽である。反例はn=17である。」

とだけ書けば良いんでしょうけど、あまりにも簡素過ぎると感じたなら、n=17の時の計算結果を少し書いておけば安心です。

何にしろ、3次関数のグラフの辺りは、解答用紙に書かなくて良いと思います。n=17を導くまでの思考回路では必要ですけどね。

では、手書きの解答をどうぞ。

 

 

では、命題Bへ移りましょう。

基本的な考え方は同じですが、変数が多いですね。nとmとlが登場します。

5n+5m+3l=1 の時に 10mn+3ml+3nl<0 を示せという事です。

等式が一本あるので、文字を一文字減らしてしまいましょう。

 

1式目も2式目も、nとmは対称性があり、lだけ特殊な使われ方をしてますから、lを消去するのが自然でしょうね。

1式目を、3l=・・・ の形に直して、2式目の左辺に代入します。

 

すると、 m‐5m^2+n-5n^2 という、mとnが独立した形になります。

という事は、m-5m^2<0だけ証明すれば、同時にn-5n^2<0も証明されたことになりますから、やはり対称性を保ちつつ変形したのが正解でした。

 

さて、mと5m^2の大小関係ですが、これは有名な不等式「m≦m^2」が使えそうですね。

もちろん、使える時のmの条件もありますから、この辺りを細かく丁寧にチェックして下さい。上手く使えば、これで解答終わりです。

 

ちなみに、この不等式の事を知らない受験生も多いと思うので証明や補足も載せましたし、この不等式を思いつかなかった人のための解答も載せましたので、参考にして下さい。

細かい事は、手書きの解答をご覧くださいませ。

 

 

以上、文系第1問でした。

 

整数の最大値、最小値の扱いは、あまりやった事がないかもしれませんが、関数のグラフを書いて、最大値や最小値付近の整数を調べる方法は、東大で過去にも登場しているので押さえておいて欲しいですね。

 

また、有名不等式もいくつか教科書や参考書に載っていますから、それもこの際、一度まとめて調べておくのも良いでしょう。

特殊な不等式のくくりでは、相加相乗、コーシーシュワルツ、三角不等式、絶対不等式、実数条件・・・と結構いっぱい登場します。

 

では、以上です。

 

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