東大に文理両方で合格した男が綴る、受験の戦略

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ちょっと期間が空いてしまいましたが、東大数学の解説の続きです。
まずはいつも通り、問題をどうぞ!
 
 
さあ、出ましたね。これは非常に難しいですよ。
予備校の難易度の発表では第6問が一番難しいってなっていますが、僕としてはこの問題が一番キライ。
というのは、僕がただ単に、長い問題文がキライなだけなんですがね(笑)
 
ちなみにこれ、一読でどんな問題か分かった人っているんですかね?僕は何度か読んで、ちょっと計算し始めたくらいで、やっと意味が分かりました。
一読で分かったとしたら、相当なレベルでしょう。多分、簡単に東大に受かります。

なぜ難しいかと言うと、具体的な数字が登場しないからです。言い換えれば、非常に抽象的な問題だという事です。
具体的なことはわかり易く、抽象的なことは理解づらくなるのが、普通です。数字の計算は出来ても、文字式の計算は難しいのです。
 
よく見てみて下さい。
2とか3とか、具体的な数字が登場しませんよね。
10は登場しますが、これは桁数を表す数字なので、ちょっと特殊。だから例外です。
 
(1)から小数第k桁ですから、いきなり一般的な小数の問題です。
普通(1)では、具体的な数字を当てはめさせて、法則を見破らせることが多いんですけどね。でも、そうしない。
という事で、解きにくい問題です。
 
だからと言って、具体的な数字で試してはいけないわけではありません。
東大入試の数学は、冊子をめくって左半分は問題文、右半分は計算用のスペースですから、そこを使ってアレコレ計算すれば良い!
それに、一般的な大学受験のテクニックとしても「具体的な数字を代入して、イメージを掴みなさい」って習うはずです。
 
という事で、私も例に漏れず、小さな値を代入してみました。
では、手書きの解答ですが、左半分をご覧ください。
 
 
簡単で小さい値という事で、0.12を代入してみました。(さすがに0.1じゃ、桁が少なすぎてマズイでしょうね笑)
 
移項して、二乗して・・・と計算を進めると、nとして求められたのは10025と10026です。小数ばっかりの問題だと思いきや、10000以上の数字が登場。中々面白いですね。
 
僕は、ここまでで方針が見えたので止めましたが、分からなければ他にも何個か代入して法則を見つけて下さい。0.345とか、0.4213とか、何でも構いません。
 
やってみるとわかりますが、どんな数字を代入しても、nは2個求められるはずです。そして、必ず桁数が大きい数字になります。
もっと言えば、10000…??のように、一番上の位の数字は1で、その後0がいくつか続く。(場合によっては続かないかも)
そして、最後の方0に以外の数字が登場するような数になると思います。
 
という事で、この問題のポイントを発表しましょう。これはスケールの問題です。
 
スケールっていう言葉は一般語として日常でも使いますね。「スケールの大きい話」みたいに使います。
しかし、理系でスケールっていう言葉が出てきたら、桁数を表します。
例えば、アリはミリメートルのスケール、人間の体はセンチメートルのスケール、みたいに使います。※本当は、10の3乗のスケールとか、10のマイナス5乗のスケールっていう使い方ですが。
 
与式を見て下さい。
左辺は1より小さな小数ですね。右辺は左辺の小数第k位に1を足した数ですから、これも1より小さな小数です。
 
では真ん中はどうでしょう。
ルートnの値はわからないとして、10のk乗を引いています。10のk乗って、0がk個並ぶような、物凄く大きな数ですよね。
要するに、左辺と右辺は小さな数なのに、真ん中だけスケールの大きな計算をしているっていう、変わった式なのです。
 
この式で、nを求めようとすると、10のk乗を移項して、全体を二乗する作業になります。すると左辺と右辺に3種類のスケールの項が登場するのがわかりますでしょうか?
(ちょっと面倒ですが、手書きの解答と見比べて読んで下さい。)
 
①10の2k乗のスケールの数(0が2k個も続く様な大きな数)
②1とか10とかそれくらいのスケールの数
③物凄く小さな小数
 
の3種類です。要するに、大中小の3種類。
しかも、①と②はほとんど同じ値で共通していて、③だけコマゴマした計算になります。
 
一方で、求めろと言われているのはn、つまり整数ですよね。スケール感で言うと、①と②のスケールだから、③のコマゴマした小数なんてどうでも良いのです。
 
小数なんて、どうせ0と1の間の数なので、挟んでしまえば消えてしまいます。こうして、ざっくりとした計算をしながら、nの候補を絞り込んでいくのが、大きな方針です!
ということで、あとは手書きの解答をご覧ください!
 
 
では次に(2)の話ですが、これは(1)の延長。ほとんど同じ話なので、手書きの解答をいきなりどうぞ。(左半分です)
 
(1)と違うところは最後の候補の絞り方です。
整数の存在証明のために左辺と右辺の差を取るっていう、ちょっと変わった方法を使っています。珍しいので、是非ここで覚えて下さいね。
※近い概念としては、連続する整数のどちらかには必ず2の倍数が含まれるとか、連続3整数のうち一つは3の倍数が含まれるとか、ですかね。十分広く範囲を取れば、どこかに一つは含まれるっていう発想です。

 

最後に(3)。

普通、こうやって問題文が続いてくると、(1)とか(2)が誘導になっているんですが、全く誘導になっていないという、珍しい問題(笑)

 

僕がいつも生徒に言っているのは、

数学は全部誘導問題!あっ、これ誘導だったんだ、て気付いちゃダメ!!

って話なんですが、これは誘導ではないですね。出題の意図がわかりませんが、とにかく解説しましょう。

あ、ちなみに、(1)や(2)より、僕は解きやすかったですね。

 

まず、ガウス記号が登場しています。

苦手にしている生徒が多いですが、一発で直観的にわかる方法を教えましょう!それは、ガウス記号はただの整数部分だって事です。

※ただし、中身が正のときだけですが

 

そして、もう一つ。

背理法が連想出来れば、勝負ありです。

ルートの証明や、存在証明なんかでは頻出ですから、連想出来なかった方は反省して、覚おえましょう。

有名なのは、ルート2が無理数であることの証明ですが、ほとんどそれと同じでイケます。

という事で、さっき貼りつけた、手書きの解答の右半分をご覧ください!

 

 

むずかしい問題だったので、長くなってしまいました。

この問題であれば、半分取れたら結構凄いレベルでしょうね。(3)だけ解けたって人も中にはいたのかも。

(1)が解けなくても、(3)が解ける問題って、実は結構ありますから、すぐに諦めずに最後まで問題文に目を通してくださいね!

それでは、次回は理系数学の最後の問題です!!

 

 

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