こんにちは。

東大入試の解説も、ついに10問目です!

理系第4問行きましょう。

 

非常にシンプルな問題ですね。問題文が短くて、主張もシンプル。ちょっと京大ぽい感じもします。

 

問題を読んで、パッと理解出来ない部分は恐らく1点でしょう。すなわち「鋭角三角形をなす」という部分。

問題文が短いですから、この条件をどう立式するかがポイントですし、これさえクリア出来れば満点の問題です。

 

さて、ここで思い出してほしいのは、文系の第一問。

文系の第一問では、xy座標に3点与えられていて、鋭角三角形をなす条件を求める問題でした。こちらは複素数平面ですが、非常に似ていますよね。

という事で、文系第一問の復習をしたい方は、こちらのリンクへ飛んで下さい。この問題の勉強にも、非常に参考になると思います。

 

ですが、理系の問題という事で、文系の時よりちょっと詳しく書きましょう。

 

鋭角三角形をなす条件というのは、高校数学の教科書のどこにも明確に登場しません。つまり、知っている条件を組み合わせて使う事によって、鋭角三角形の条件を構築しなければならないという事。

 

まず、3点が三角形をなす条件は、

・3点のうち、どの2点を選んでも同一の点ではない(3つが全部バラバラの場所にある)

・3点が、同じ直線上に並ばない

です。この2条件を両方満たしていれば、鋭角かどうかはともかく、三角形になります。

 

また、文系第一問の時にもやりましたが、角度が鋭角の条件は、よくあるタイプとしては下の二つ。

・余弦定理でosが正

・ベクトルの内積が正

です。

 

但し、今回は複素数平面ですから、argを使おうっていう発想が自然でしょうね。

という事で、解答はこのようになります。

 

 

複素数平面は、習うのが高校3年生の最後の方になる場合もあるでしょうから、扱いに慣れずに入試に突入するかもしれません。

僕も現役の頃は、比較的苦手な分野だったのですが、この問題は比較的簡単な部類でしょ

条件もシンプルだし、計算も簡単です。出来れば、15点くらい欲しい問題です。

 

最後にもう一度言っておきますが、鋭角三角形の条件を、いかに自分の頭の中から引っ張り出せるか。この応用が問題のポイントでした。

文系第一問と合わせて復習しておいてくださいね。では。

 

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