東大に文理両方で合格した男が綴る、受験の戦略

戦略で受験を攻略する方法、お笑い×数学、数学の深い話、東大数学の解説、最新ニュース解説、グルメ店紹介、変わった指導法など、幅広く書いています。


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今日から、東大理系数学の解説を始めます。

 

前回までは文系数学の解説でしたから、レベルは上がりますが、やることは変わりません。

まずは1問ずつ解説して、それぞれ高得点を取れるようになり、最後に全体を見比べて、どの問題から着手するか、どの問題に時間を使うかなどを検討します。

ミクロの視点と、マクロな視点の両方が大切です。

 

では、東大理系数学の第一問を早速ご覧いただきましょう!

 

数学を知らない方には、チンプンカンプンだと思いますが、東大理系を受験する人にとってはそれほど珍しい問題ではありません。

こういう大小を評価する問題はよく出ますよね。

 

でも、僕が現役生のときを思い出すと、こういう不等式の問題はイヤでしたね。きっとそういう受験生、今でもたくさんいると思いますが。

 

しかし東大とは言っても、数学です。いやもっと言えば、受験数学です。

受験数学にはセオリーがあります。

セオリーでわからなければ、定石の手段でも良いですし、パターンでも良いです。

そういうセオリーをたくさん知っていて、正しい時に正しく使える人が勝つというだけのシンプルな世界なのです。

 

では、この問題はどう考えれば良いか。

 

証明したい式を見てもらうと、細かい部分の意味が分からなくても、3つの値が二つの不等号でつながっているのは分かりますね。

すなわち、A<B<C となっているということです。

 

「A<B<C」 というのは、「A<B かつ B<C」と同値です。同値というのは数学的に全く同じだということ。そして、この事実は証明なしに、いつでも使って良いものです。

3つの値を同時に比べると煩雑なので、二つの比較を二回やることにしようという発想ですね。

 

次に、左側の二つ、A<Bの証明に移りますが、これは数Ⅱで習う「不等式の証明」の範囲を丁寧に使うのが、基本的な考え方です。

この問題を証明するのにはタマタマ必要ありませんが、復習しておいて損はないですよ。何しろ、不等式の証明は頻出中の頻出です。

簡単にまとめておくと、不等式の証明には、主に4種類の手段があります。

 

A<Bを証明したい時には、

①B-Aを計算していって、正を示す

②A>0かつB>0の場合なら、B^2-A^2を計算して正を示す。

③特殊不等式の利用(相加相乗、コーシーシュワルツ、三角不等式など)

④面積の比較(数Ⅲの積分の最後に登場する手法)

 

では、この問題のA<Bを証明する方法を、具体的に検討していきますが、この問題の最大の特徴は、Bの部分、すなわち真ん中がe(自然対数の底)という、ただの数字になっている事でしょう。

もっと突っ込んで言うと、これ以上いじれないという事です。平方完成したり、微分したりという手段は通じません。

 

だから、単純に左辺とeの比較をすれば良いという、シンプルな解法になります。

そして左辺を見るとeの定義に似ています。というか、発散させればeになる形そのものです。ご丁寧に、eの定義式では、tを使っているのに対し、証明したい不等式ではxになっています。

 

これは明らかにヒントですよ。

xで連想する事と言えば、当然関数です。よって、左辺のグラフを書いて最大値がe未満だと言えれば、証明完了です。

 

では、手書きの解答に移りましょう!

 

1枚に詰め込み過ぎて、ごちゃごちゃしてしまいましたが、受験生にとっては一枚の方が便利でしょうから、ご了承下さい。

 

結局、f1(x)を1回微分しても符号や解が分からないので、もう1回微分して符号を判断する問題でした。

この論理は、教科書の例題や問題集でも頻出ですから、難しいと思ってはいけませんね。

 

もう少し端的に言うと、左辺は単調増加で極限値がe、右辺は単調現象で極限値がeだという事を示す問題です。

 

実は、左辺が単調増加だということは、有名な事実ですから、知っておいてほしい所です。もちろん証明方法も含めて。

 

また多少、計算が煩雑なのが気になりますが、正直言って東大数学レベルから言えば、決して難しくありません。出来れば20点満点を狙いに行きたい問題だと思います。

10点だと合格ラインは厳しいかもしれません。

 

ちなみに、手書きの解答では、前半戦と後半戦という言葉で分けてますが、どちらもやることはほとんど同じです。前半戦が解ければ、後半戦も解けます。

 

本当は、自然対数の底についてのウンチクでも垂れた方が良いのかもしれませんが、受験の戦略ブログなので、割愛します。

 

では、1問目はこのくらいにしましょう。次回もお楽しみに!!

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