東大に文理両方で合格した男が綴る、受験の戦略

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久しぶりに、東大数学の解説シリーズ再開します!
 
今日からは、2015年の理系。
まずは、第一問の問題をどうぞ。
出ました!!
頻出問題の、通過領域ですね。
通過領域って、入試問題ではよく見ますが、教科書では登場しません。
教科書レベルを超えたテーマとしては、絶対に扱わなければならないテーマでしょう。
受験生は、絶対に身につけて下さい。
 
とは言ってもですね、解法としては非常に単純です。
主に2種類の解法が存在して、
①解の存在条件を求める(解の配置)
②いわゆる包絡線の解法を使う
 
なんですが、①の解法を使えば、どんな問題でも解けちゃいます。
この問題も、②の包絡線を使って解く事も出来るんでしょうけど、ちょっとやってみたら面倒そうだったので止めました。
 
昔に比べて、数学の入試問題が簡単になったなんて話もありますが、今も①の方法だけで問題が解けてしまうので、①をしっかり極める前に②に手を出さなくても良い気がしますね。
 
確かに、中には②の包絡線を利用して解くと、スッキリ簡単に解ける問題もあるので、身につけるに越したことはありませんけどね。
一応①よりも②の包絡線の方が圧倒的に簡単に解ける例を1つ挙げておきます。
「y=2tx-t^2 が、t≧0の範囲で動くときの通過領域を求めよ。」
 

ということで、問題文を見た瞬間に、①の解の配置の問題だと気付くのは良いとして、その後はaで降べきの順に整理しますね。
すると、aの2乗の係数に、xが含まれてるので、aの2乗の係数が0になるか、0にならないかで場合分けをする必要が出ますね。
 
なぜなら、aの2乗の係数が0だと一次方程式になり、aの2乗の係数が二次方程式になり、解の存在条件の求め方が全く異なるからです。
 
そして、二次方程式になる時(aの2乗の係数が0出ない時)は、少なくとも1つa>0に解を持たなければならないので、
重解にになるときと、ならないときに分けて、重解にならない時は、1解なのか2解なのかで分けて・・・と、まあ場合分けが面倒くさいです。
 

しかし、解の配置の問題で、面倒な場合分けを処理させる問題も、これまた頻出のテーマなので仕方ありません。丁寧に式変形を追って下さい。僕も面倒で嫌いです。

 
ということで、手書きの解答をどうぞ。
 
 
通過領域の問題は、最後の図示の時に、これまで求めて来た領域がピッタリとパズルのピースを当てはめるように、過不足を補いながら埋まっていくのが、ちょっと気持ち良いですね。
ダブるように、場合分けをしても構わないんですけど、ダブらないように場合分けをすると、最後の図示もダブらずに出てきます。
 
ということで、次回は第二問へ・・・
 
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