東大に文理両方で合格した男が綴る、受験の戦略

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今日は、東大文系数学の第4問と、理系第4問です!(共通問題でした)

 

簡単だ、簡単だと言われ続けている今年の数学ですが、これは難しかったと評判です。

 

 

問題を見てみると色々気付く事がありますね。

 

まず、p=2+√5に対して、pのn乗と、-1/pのn乗があります。

大抵、こういう時は、共役な無理数になるモノですが、計算してみるとやっぱりそうなりますね。

 

さらに、共役な無理数や複素数同士のn乗の和になっている、漸化式も良く見るタイプですし、漸化式と整数を絡めた問題も良く見るタイプです。特に東大では頻出です。

という事で、(1)は計算してパッパと片づけて、(2)の漸化式を作ってしまいましょう。

 

ただ、(2)の漸化式が上手く作れない方もいたかもしれません。an+1と、an-1の二つを使うとなると、どういう形になるかが分かりません。

という事で、手書きの解答では、2種類の解法を書いておきました。

 

1つは、模範解答でも載っているような、最短での計算方法で、

もう一つは、面倒で遠回りだけど、絶対に求められる方法です。(pのn乗と、-1/pのn乗を不明量とみなし、連立方程式で無理矢理解いてます。)

(2)が解けると、(3)や(4)にも手を出せるタイプの誘導問題ですから、時間をかけてでも正しい漸化式を出したい所ですね。

 

さて、(3)ですが、これは非常によくある問題。サービス問題と言っても良いと思います。

漸化式×証明のコラボときたら、帰納法でしょう。

帰納法自体は、難しい証明法ではありませんから、その意味でも(2)に時間をかける意味があります。

 

で、(4)は最大公約数を求めよという問題。これが、難しかったと評判ですね。

ただ、僕としては「なんで難しいの?」という感じ。

だって、最大公約数を求める手法と言ったら、真っ先に思い浮かべるのが、ユークリッドの互除法ですから。(他にも、GCMとLCMを使って、等式を作るタイプもありますけどね)

 

(2)で漸化式を求めておけば、an+1と、anの最大公約数が、anとan-1の最大公約数になることが分かります。

そして、漸化式を一つずらせば、anとan-1の最大公約数が、an-1とan-2の最大公約数になり、

またずらせば・・・と、繰り返すと結局a2とa1の最大公約数になります。

 

難しいなと感じた方は、頭の中の回路で「最大公約数=ユークリッドの互除法」と強く結び付けておいてください。

 

ということで、手書きの解答です。どうぞ。

 

 

手書きの解答では、計算を簡単にするため、対称式を使って計算しています。

共役な無理数や複素数が出てきた時は、よくある方法なので、これにも注目しておいてくださいね。

それではー。

 

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昨日は、朝のブログお休みしてしまい、すみませんでした。

ちょっと仕事が立て込み過ぎて、体を休めるために、お休みさせてもらいました。

7月中旬から、必ず毎日書いていたので、ちょっと残念ですが・・・。お察し下さい。

と言っても、今回も安定の徹夜明けですwww頑張ります。

 

で、今日は、書きたい記事がたくさんありました。

お忙しい皆さんは、ニュースチェック出来ないでしょうから、面白いと思ったニュースを立て続けに紹介していきます。

 

日本人の平均寿命、過去最高を更新 G7でもトップ

2015年の日本人の平均寿命が、男性が80・75歳、女性は86・99歳となり、過去最高を更新!2位は男性がスイスの80・7歳、女性はフランスの85・1歳だったとのこと。

要するに、男女ともに日本が1位です。

日本が世界1位になった項目を押さえておくと、会話のネタにもなるし、受験生は問題にも出やすいし、注目です。

 

長寿の理由は、衛生状態の改善、医療技術が発達、和食が健康的など色々ありますね。あと、キーワードとしては、たんなる寿命に対して、健康寿命なんかを押さえておくと良いでしょう

 

 

では次!

<小山田古墳>巨大方墳に驚き…研究者ら「天皇」、「豪族」

小山田古墳が、飛鳥時代最大級の方墳だと判明したそうです

被葬者は舒明(じょめい)天皇か、蘇我蝦夷(そがのえみし)のどちらかだと見られているそうです。

舒明天皇と言えば、高校日本史でも登場しますが、大化の改新の少し前の天皇ですね。

蘇我蝦夷は、その大化の改新で、自害した人物として覚えると思います。
 

飛鳥時代の様子を知る上でかなり重要な発見になるそうですが、舒明天皇説と蘇我蝦夷説で対立しているみたいですね。細かくは、リンク先を見て下さい。

 

今もこうして古代の日本に関わる発見が続いています。

数十年後には、教えられていたのと、全然違うことになっているかもしれませんね。楽しみです。

 

 

そして、最後です。

「18歳成人」提出見送り=今国会は「共謀罪」優先―政府

このブログでも何度か取り挙げましたが、成人年齢が18歳に引き下げられる法案が、提出見送りになるそうです。

共謀罪を優先するそうですが、まあ18歳引き下げは急務ではないでしょうからね。

秋の国会で提出を予定しているそうです。

 

成人年齢が引き下げられると、18歳とか、19歳でも親の同意なしに結婚したり、高額商品の契約が可能になります。

また、改正案には、結婚年齢を「男性18歳、女性16歳」から18歳に統一する規定も盛り込まれるとのことで、バラバラだったものが、全部18歳になります。

 

18歳で成人と認定するのが、早いか遅いかは分かりませんが、18歳でもオトナっぽい方はたくさんいらっしゃいます。一方で30歳でもオトナになり切れない所は、少なからず皆さんあると思います。

 

教育に携わる者としては、年齢より自覚や経験が大切だと思いますね。新成人には期待しています。

 

という事で、今日はこの辺で。

 

【〆の一言】

成人年齢が引き下がって、寿命は延びて、オトナの時間が長くなります。

 

 

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