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それでは、今日も東大入試問題の解説に行きましょう!

 

問題はこちら。2017年の文系数学、第2問でございますー。

 

とりあえず、図形の問題ですね。

 

予備校の講評や、ネットの評判だと簡単だっていう噂ですが、僕は意外とそう思ってなくて、

初手を間違えるとドツボにハマります。

(というか、自分がハマった)

図形の問題は、特にその傾向があるような気がしますね。とにかく初手で間違えたら面倒。

 

この問題の特徴としては、図形であること(正六角形)、動点があること、内分点の軌跡を追う事、面積を求める事などでしょうか。

 

これらの情報から、初手を決めていくわけですが・・・

 

図形の問題では、

①三角比で攻める

②座標に乗っけて攻める

③ベクトルで攻める

④初頭幾何的に攻める

の4つが主な攻め方だと思います。

 

これに、内分点が登場しているのに注目すると、このうち②か③に絞られるでしょう。

なぜなら、内分点の公式は、図形と方程式で座標を用いたものと、ベクトルを用いたものの2つを習うからです。

 

で、僕はここで②を選んで、正六角形を座標に乗っけて解こうとアプローチしたんですが、

挫折しました。

 

まあ、あんまり冷静に選んだわけじゃなかったんですけどね。

動点が2つあるのでパラメータが2つ登場するし、線分の軌跡を追おうとすると大変になってしまいます。

 

ということで、ベクトルで解くのが良いわけですね。

ベクトルの領域図示は、平面図形にパラメータが2つあっても、あまり困りません。内分点も簡単に求められるし、角度のついた図形にも強い。

という事で、僕も冷静に判断すれば良かったなと思いました。あ、ちゃんとやり直して解きましたけどね。

 

 

数学が得意な方や、先生をしている方向けに一つ補足をしておくと、要するに直交座標ではなくて、斜交座標の方が相性が良かったということですよね。

直交座標では複雑になりすぎる計算も、斜交座標で解くとシンプルになるという事です。

 

では、手書きの解答へどうぞ。

 

 

いつもより、丁寧に書きました。

基底のベクトルの取り方も迷うと思うので、わざと迷いながら解く生徒を想定して書いてます。

 

では、また明日。

明日は、文系第3問と理系第2問、半共通問題だった、確率を解説します。

 

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さあ、今年度も予算案が成立しましたね!

しかも、過去最大だそうです!

予算案、年度内に成立=過去最大97兆円、衆院通過

 

一般会計の総額は97兆4500億円ほど。

これは、5年連続で最大を更新しています。

予算は衆議院が優越ですが、今回で衆議院を通過したので、年度内には自然成立する見込みです。


その内訳はどうなっているかというと、こんなグラフです。

 

 

税収が57兆円に対して、社会保障費は32兆円。相変わらず高いですね。

 

注目の防衛費は5兆1250億円。

増えたは良いけど、全然足りません。

トランプ大統領になり、日本の自主防衛の意志がますます重要になってるんですが、結局ちょっと増やしただけで、ほとんど増額されていません。(一応、防衛費も過去最高だそうですが)

 

私が若輩ながら出演しています、チャンネルくららでは防衛費10超円を提唱しています。

日本では、防衛費はGDPに対して1%以内という慣習的な枠が出来ています。対して日本のGDPは、約500兆なので、防衛費がいつも5兆円前後で推移しているのです。

 

しかし国際的な標準はGDP2%だそうです。

つまり半額に過ぎず、日本が大国であるにも関わらず、防衛的義務を果たしていません。

 

そこへ、トランプ大統領が誕生し、日本も防衛義務をもっと果たせという圧力がかかってきましたから、防衛費を2%に、つまり10兆円に増額するのは妥当な結論だ、というものです。

 

ただし、トランプ大統領が誕生したのが1月で直前だったことと、日本の政治家や、特に官僚はこれまでと極端に違った方針を転換するのは苦手ですので、出来るだけ本質的な議論ではなく、当たり障りのない方向(例えば、プレミアムフライデーなど)へ進むのだと思います。

 

という事で、今回の予算ではそれほど期待していませんでしたが、来年度の予算でどうなるかは注目です。

 

ちなみに、予算案を作ってるのは財務省だそうですね。そして衆議院は修正する権利はあるけど修正したことがないそうな。

色々な力関係が働いていると思いますが、財務省が力を握っている理由の一つが、ここにありあそうですね。

 

年度末は道路工事が多くなる、なんて話がありますが、どこの官庁も役所も、与えられた予算を使い切らないと減額されてしまいます。それだけ予算はどこでもほしいし、存在意義にも関わってきます。

という事で、お金にまつわる日本の力関係を見てみましたが、過去の歴史ばかりで予算を組むのではなく、未来への意志が反映された予算になると、少し変わってくるのではないかと思います。

 

【〆の一言】

皆さんのご家庭の財務省はどなたでしょう?

 

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昨日から、2017年東大入試の数学解説を、毎日1本ずつアップする企画をやっています。

理系と文系を混ぜていこうと思いますので、今日は理系の第1問です!

 

では、早速問題をどうぞ。

 

(1)は、fとgにおいて、cosの整式で表せという問題ですね。

cosの整式で表すと言えば、チェビシェフの多項式が有名です。

チェビシェフの多項式の説明リンクを貼っておきましたが、別に知らなくても解答には問題ありません。知ってると、ちょっと楽しいくらいですかね。

 

fの始めに、cosの3倍角があるので、知らなければ作れば良いですが、これは覚えててほしいレベルでしょう。

手書きの解答の方には、sinの3倍角と並べて書いておきました。

sinの3倍角は、「サンシャイン引いて夜風が身に染みる」という有名な覚え方がありますが、

cosの方は、sinをcosに変えて、符号を逆にすると出ます。

 

 

また、gの方では分母にcos-1がありますが、分子もcos-1で因数分解できるのはすぐにわかります。なぜなら、分子にθ=0を代入すると0になるからです。

という事で、字数の低い文字である、aやbに注目して降べきの順に並べながら因数分解すれば、自然と分母と分子がcos-1で割れると思います。

 

詳しくは、手書きの解答をご覧ください。

 

また、(2)ですが、最小値が0と言われてますね。

最小値は、原則としてグラフを書いて、定義域内における最小のyを探します。それで解けなければ他を考えるのですが、今回はgがθ(というかx)の正式になっていますから、そのままグラフを描けば良いでしょう。

 

しかも計算をしてみると、gはxの二次関数にすぎません。

という事は、グラフを書くのに微分も必要ないので、平方完成をすれば良い。

 

さらに調べると、軸の位置にパラメータが存在するので、定義域より左、定義域内、定義域の右の3種類で場合分けするタイプの問題です。

これは高校1年生からの典型的な問題ですので、迷うことなく進みましょう。

 

ちなみに、0<θ<180°ということで、cosの範囲は‐1<cos<1という、開区間になります。

※開区間というのは、範囲の両端に=がない区間で、閉区間というのは=がある区間です。

 

開区間では端点がありませんから、端点で絶対に最大値や最小値を取る事はありません。よって、結局は定義域内に頂点が入る場合のみ考えれば良い事になりますね。

 

あとは、aとbの条件を整理すると自然と領域図示が出来ます。領域図示もそんなに複雑ではないですね。二次関数の一部になります。

 

ということで、手書きの解答で、今までの流れを追って下さい!

 

 ※すみません!手書きの回答の、右の段4行目の②の部分、書き間違えてます!最後のグラフはあってます。ご注意を!


この問題は、東大理系であれば、7割や8割の得点を取っても満足するレベルではないでしょう。満点解答も多く出ると思います。

来年、東大受験を目指している受験生は、今の時点で解けないまでも、春から夏くらいには超えたいところ。

 

むしろ、解けるのは当然として、どれだけ短時間で解けるかが勝負になる問題と言って良いと思います。

 

という事で、次回は文系第2問に行こうと思います。

 

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