アニメ、カブト、クワガタ三昧そして東大理Ⅲを目指す受験生の方へ捧ぐ

アニメ、カブクワのよもやま話を綴っています
アニメは、ガンダム、エヴァ、おねがいツインズ、まどか☆マギカ、マリア様がみてるなどを中心に、、、


テーマ:
【問題】(94 第3回算数オリンピック 大問3)

重さが全て異なる8個の品物があります。
品物の重さは全て1g単位で(1g未満の端数がない)、1gから15gのいずれかです。
平ちゃんは、天秤ばかりを出来るだけ少ない回数使って、最も重い品物を取り出そうと思い、
次のような測定を行いました。

①4個ずつ2つに分けて、その両方の重さを比べる。

② ①で重かった方の4個を、さらに2個ずつ2つに分けて、その両方の重さを比べる。

③ ②で重かった方の2個の重さを比べて、重い方を取り出す。

途中で天秤ばかりは一度も釣り合うことなく、平ちゃんは1個の品物を取り出しました。
ところがこの品物は、8個のうちの5番目に重い品物でした。
この品物の重さを求めなさい。
また、8個のうち、2番目に軽い品物の重さを求めなさい。

さて、前回までの解説で、品物①、②の状況まで把握できました

それでは、残りの品物の状況を整理してゆきます

まず、以下の3つの状況が成立します

②+1=<①、⑤+2=<③、⑥+2=<④
3つの式の左辺、右辺を加算します
②⑤⑥+5=<①③④
この式より、
②⑤⑥⑦>①③④⑧となるためには、⑦>=⑧+6(Ⅰ) が成立しなくてはなりません

また、⑤+3=<②ですから、設問②の状況を満たす(⑤⑥>②⑦)ためには、
⑥は⑦より少なくとも4g重い必要があります

⑥>=⑦+4(Ⅱ)

(Ⅰ)(Ⅱ)より、

⑥-4>=⑦>=⑧+6
つまり
⑥>=⑦>=⑧+6+4=⑧+10

ここで⑥と⑧の品物の状況を考えます
⑥>=⑧+10

⑧=1gと仮定します
⑥は最も軽くても11gになります
この仮説ですと

⑤=12g、④=13g、③=14g、②=15g、①=16g(それぞれ最も軽い場合)

上記の赤字の箇所は問題文の条件と矛盾します

よって、仮説は誤りであり、設問①の重い皿に品物①がのっている状態が正

と分かります

よって設問①の状態は

重い皿;①⑤⑥⑦
軽い皿;②③④⑧

また、設問②の状態(計算は割愛、同じロジックで簡単に導けます)は

重い皿;⑤⑥
軽い皿;①⑦

となります

それでは設問②の状態の考察に戻ります

自明の理として、⑥+5=<①
これより
設問②において、⑤>=⑦+6
かつ④>=⑤+1なので、④>=⑦+6+1
つまり④>=⑦+7(Ⅲ)

さらに、⑤+3=<②、⑥+3=<③と(Ⅲ)より

⑤⑥⑦+13=<②③④

設問①の皿の状況と合わせると、品物①は⑧より最低でも14g重い

上記より

①=15g
⑧=1g

が確定します

かつ①と⑧の重量差が「ちょうど」14gであることから、

今までの品物同士の重さの比較の式は、全て等号(=)でなくてはならない
よって、①⑧以外の品物の重さも導けます

①=15g
②=14g
③=13g
④=12g
⑤=11g
⑥=10g
⑦=5g
⑧=1g

青字の箇所が回答になります

【正答】

5番目に重い品物の重さ=11g
2番目に軽い品物の重さ=5g

これが、算数・数学の醍醐味です
論理を積み上げ、仮説・検証を繰り返し、事実を手繰り寄せる

算数が得意な小学生の皆さん
是非算数オリンピックに挑戦してみましょう!

※受験勉強が簡単すぎて馬鹿らしく思えてしまう弊害はありますね









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