前回までの投稿において、波動方程式Ⓐを分離して得られる



の一般解の概形を得るところまで進みました。



この段階で波動方程式Ⓐの一般解U(x,t)は、次の⑪ようにあらわされます。



⑪ U(x,t)=Σ(Cn*sin(ωn*t)+Dn*cos(ωn*t))*sin(nπ*x/L)


上の⑪式はCnとDnのかかる三角関数 が逆で以下が正しいです。


申し訳ありません。


⑪U(x,t)=Σ(Cn*cos(ωn*t)+Dn*sin(ωn*t))*sin(nπ*x/L)


今回の投稿はこの⑪式に初期条件の


③Ut(0,x)=0 これは、t=0において弦を静かに離すことを意味しています。


Ut(x,t)=Σ(-Cn*ωn*sin(ωn*t)+Dn*ωn*cos(ωn*t))*sin(nπ*x/L)


上式に初期条件③式を適用すると


Ut(x,0)=ΣDn*sin(nπ*x/L)=0


となり、この式において、


ωn=0は、ω=Kn*v=0 より、Kn=n*(2*π)/λ=0 から


nのトリ得る値は0のみ、これは無意味。


故にDn=0 が、結果として得られる。

  
hu-rie.ss5



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最近「波動方程式」とそのサブタイトルで投稿している


記事の順序の整合性が私のミス


であっていないものがあることに気づきました。



ご迷惑をおかけしたことを深くお詫びいたします。こ


の「波動方程式」 と題する投稿の時間的順序は


「波動方程式◎」の◎に入る数字の順序のとうりです。


この「波動方程式」と題する一連の記事は


波動方程式の解く段階を分かりやすく解説するつもりです。


また、フーリエ展開と物理とのかかわりについて、


解説していく予定です。

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 前回の投稿において


は、境界条件の考慮したにおいて解答の多くの段階における重要


事項の判明することを述べました。


まずは境界が、固定端もしくは自由端


のいずれか判明します。


固定端なら距離xに関する方程式⑩式の解Xn(x)は、sin(Kn*x) 


であることが判明します。


でまた、波数Kも量子化されます。


⑯Kn*L=nπを満たすように。


この段階において位置による変化をつかさどる関数Xn(x)は、


Xn(x)=Bsin(Kn*x)=Bsin(nπ*x/L) とまで判明します。


このことは、のちに使うフーリエ展開が、


フーリエsin展開であることをも示しています。


個々からは、解法の段階の3に進みます。



hu-rie.ss5


解法no.3


時刻変化をつかさどる関数Tn(t)を導く微分方程式⑦は、


次のようなものでした。


⑦ ∂²/∂t²(Tn(t))*(K*v)²+T(t)=0


というものでした。


ここで、[K]*[V]=S⁻¹より


K*V=ω と置きます。ωは、角振動数です。


これを用いると⑦式は、以下のように書けます。


⑨∂²/∂t²(Tn(t))*(ωn)²+T(t)=0



ここで、⑨式の解は、一般に次のように書けます。


Tn(t)=(Cn*cos(ωn*t)+Dn*sin(ωn*t))  ⑩


Cn,Dn:任意定数よってここまでの段階で波動方程式Ⓐを満たす


一般解の第n項un=Xn(x)*T(t)は、次のように書けます。


Un(x,t)=(Cn*cos(ωn*t)+Dn*sin(ωn*t))*sin(nπ*x/L))  ⑫


ここで、B*Cn B*Dn は各々Cn,Dn と置きなおした。


よって波動方程式Ⓐの一般解U(X、T) は、


U(x,t)=Σun(x,t)=Σ(Cn*cos(ωn*t)+Dn*sin(ωn*t))*sin(nπ*x/L))  ⑬


と表すことができるのが判明しました。


⑬式のCnそしてDnを求める際にようやくフーリエ展開の出番


となりますが、それは、次回の投稿で。






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