今回も京都工芸繊維大学平成28年度

物理の大問Ⅲを取り上げます。

小問1~6は、無限に長いソレノイドコイル

の内部の一様な磁場の大きさを問われて

います。

それも、最も簡単な高3でも解けれる

アンペールの法則とソレノイドコイル内

の磁場は、一様で,外部に磁場は存在しない

という性質を利用したやり方で。

この時,アンペールの法則を適用する閉曲線

は、問題文に与えられています。

下図のようにソレノイドコイルの内部と

外部とにまたがる長方形abcdです。

アンペールの法則

∫B(r)dr=μ0・Σi  の左辺を以下に

具体的に書くと

辺ab:ab方向のBがない

辺bc:bc方向のBが存在し、BL


辺cd:cd方向のBがない

辺da:ソレノイドコイルの外部より

       Bが存在しない

以上の事より,閉曲線abcdにおいて,

アンペールの法則を適用すると、
 
左辺=0+BL+0+0=右辺=nLI


故に、

B=nI

以上小問1~6 の解です。

次の小問7から12そして,b,cは、磁場中

の荷電粒子の運動を取り上げています。

まず、小問7 、磁場中で荷電粒子は

ローレンツ力を受けて、それが向心力と

なり等速円運動を行い,その半径を求めよ.

という問です。

これは,高3物理の基礎問題レベルです。

下図のとうりです。

次に ,小問3,9,10ですが,荷電粒子は、原点

から,X軸上を正の向きに速度vで入射して

0の領域で磁場から受ける

ローレンツ力fbは、

fb=e・v×B

で与えられるので、大きさはevB

向きは、y軸負の向きです。

荷電粒子に直線運動をさせるために

0の領域にかける電場Eは、

E=(0,vB,0) です.これが,8,9,10の解です.

また,次の11速度ベクトルvを向きと大きさ

の2つを含む形式で表せ,という問です.

ここで,

fb=v×B

より,「ベクトル解析の公式を用いて

vベクトルを求めなけれっばならない」,

と考えがち,ですよね。

しかし,そう考えると,どつぼにはまります.

ここは,単純に考えて,

B=(0,0,B)

E=(0,vB,0)

v=(v,0,0)

から,外積の超基本的定義を利用して

(B×E)/(e・B^2)=v

とすれば、いいです。

左辺をまず,こうではないか,と思って書き

それが右辺のvと一致するよう

「つじつまあわせ」 をすれば,いいのです.

次の小問bは,ローレンツ力は以下の外積

で与えられる

fb=ev×B

外積の定義より、fb,v,Bは、互いに

直交関係にある。

で答えても、いいし、

fb・v=0を示してもいいです。

成分表示の内積を使いましょう。

さて,次の小問BからFが,イヤらしいですね

この部分は、

岩波文庫 物理テキストシリーズ4

電磁気学 砂川重信著

に比較的分かりやすく書かれていますが,

理学部物理学科や,教養課程の講義に

電磁気学が存在するところなら,ともかく,

そうでなければ,めったに,目にする機会は,

ないでしょう。

少し,意地悪で,興味本意の出題です。

高校生の大学一般入試では、

1995年あたり同志社大学の物理に

出題されていました。

まず,x軸の正の向きに,荷電粒子と同じ

速度vで動く慣性系から見ると荷電粒子は,

静止しているので,磁場からは ,

ローレンツ力を受けません。

消えます。これが,Bの解。

電場E=(0,vB,0)により荷電粒子が,Eから

受ける力は、変わりません。

これがCの解。

静止している慣性系から見ると,

荷電粒子は、x軸上をの正の向きに

速度vで等速直線運動している .

次に荷電粒子と同じ速度ベクトル

で運動している慣性系から荷電粒子を

見ると荷電粒子は,静止して見える。

静止と等速直線運動は、同じ運動なので、

2つの慣性系からの観測に問題は,ない

ように思えます。

しかし,静止している慣性系では,荷電粒子

に働くローレンツ力と電場から受ける力

この2つの力が,等大逆向きで,釣り合い,

荷電粒子が,等速直線運動をしているように

見えます。

しかし,荷電粒子と同じ速度ベクトルで運動

している慣性系から,荷電粒子に働く力は,

y軸の正の向きに働く電場から受ける力

しか,観測できません。

これでは,運動している慣性系において、

荷電粒子が力の釣り合いの状態にあり,

等速直線運動をしていることは,物理的法則

に反するものとなり,等速直線運動は、

できない、という結論となります。

そこで,運動している慣性系では,荷電粒子

には、電場から受けるy軸正の向きに働く

力と等大逆向きの力が,働き,運動している

慣性系においても荷電粒子に力の釣り合い

の状態を実現させなければなりません。

D:y軸

E:負の向き

F:電場

小問12:大きさvB

が、解となります。








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久々の投稿です。

もう、神大,理と九大,理の編入試験の合格

発表も終わり理工系編入試験も終盤にさし

かかってきました。

とはいえ,関西の人気大学,神大・工と

京都工芸繊維の2つが,試験日を同じにして

8月の末にありますね。

この2つの大学の編入試験は,理工系編入

試験の終わりを飾るものと言っても

過言ではありません。

そこで、今回は,京都工芸繊維の平成28

年度の物理の大問Ⅰを取り上げてみたい

と思います.

過日に3質点系の振動が,頻繁に出題されて

います,と書きましたが,大問Ⅰがまさに、

それが出題されています。

質点系の振動は,物理的に考察を行うと,

非常に面白いのですが,本問は,概ね

解くことのみを要求されているみたいです.

故に,解法と超重要な物理的意味を知って

いると,コワクは、ありません。

言い方を変えると,理学部物理学科の編入

試験でないかぎりは、次の①②をおさえて

おきましょう。

①質点の運動方程式を立てる

  これは,原則,バネは,伸びているものと

  と仮定してたてましょう。  

②①でたてた運動方程式は,連立微分方程式
 
  なので,それを解いていきます。

  線形代数の対角化を利用するのが,精密で,
 
  多くの事柄を知ることができますが、
 
  そうでない限りは, まずは、質点系の

  固有振動を求めていきます。

  固有振動においては、すべての振動の

  角振動数は,均しくソレヲωとおくと,

  i番目の質点の変位Xiは,

  Xi(t)=Ai・sin(ωt)    ①
  (i=1,2)
 
と書けます。

 今、質点は,二個存在しているので、

 固有振動は2つの状態が,存在します。

 本問では、Xi を複素数を用いて,,

 Xi(t)=Ai・exp ・(jωt)

  を用いていますが方針は,全く同じです。

  Xi(t)=Ai・exp(jωi・t)  (i=1,2)

 を①でたてた連立微分方程式に代入し

  A1,A2に関する連立方程式において、

  A1=A2=0    以外の解を持つための条件、

  連立方程式の係数行列の行列式=0

  からωの値が,2つでてきます。

  その2つのωの値を連立方程式に代入し、

   A1=A,A 2=Bの値を求めて終わり

  です。

ω2と問題に指定されていますので

 ω=ω1の基準振動は,1,2の質点の変位が、

 常に等大逆向きの振動
 
 つまり逆位相の振動です。
 
  この時は,質点1,2の重心は,不動です。

 ω=ω2の基準振動は,質点1,2の変位が

 常に同じです。つまり,同位相の振動です.

 この時は,質点1,2の重心は動きます。


























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今回は,、神戸大学理学部物理学科編入

試験2014年7月4日実施の大問Ⅱをとりあげ

ます。

前半は,電気双極子の作る電位と電場を

求めよ,というものです。

求める点をP点とするとP点での電位φを

求めて、

E=-δφ/δr

で電場ベクトルを求める,という基本的な

出題ですが,結果を与えられたベクトルで

表すことが要求されており,これが,少々

ウットウシイですね。

近似も精密に考えると,どの時点で,使えば

よいのか?

近似の精度をテイラー展開まで考慮する

のか,それとも,最も平易な近似式である

(1+X)^n≒1+n*x   ※

の段階でよいのか、判断に迷いますね。

結論を先に言うと,※式の精度の近似で,

OKです。

テイラー展開ともなると,多変数なので、

煩雑さは,普通でなくなり、時間が

足りません。

私もそこで悩み、前回からの投稿から,

時間がかかりました。





まあ最も平易な精度の近似である※式を

利用すれば事足りる,ということでひと安心

ですが,解を与えられたベクトルで,表す

ところに難儀に感じますが,高校数学の

青チャート数B程度のレベルです。

こういうところで,高校数学の手法が要求

されるとは,趣向がなされていて、

おもしろいです。







次は,得られた静電ポテンシャルφ(r)

から,E=-δφ/δr

を用いてP点における電場ベクトルEを

求めます。

ここで,

δr/δx=x/r②

δr^(-3)/δx=δr/δx*δr^(-3)/δr
=x/r*(-3*r^(-4))

=-3*x/r^(-5)  ③

②と③は,計算でよく使うので,覚えて

おいても,いいかもしれません。











さて,後半の問題である問3にはいります。

原点近傍にN個の点電荷が,存在するとき、

その全電荷をQとします。

つまり、

Q=Σqi です。

問3では,Q≠0のとき

これは,原点近傍に1個の点電荷,もしくは

1個のイオンが存在する,とみなせる場合

です。

このとき、原点から十分遠い点Pの

静電ポテンシャルφは,下図のように

φ=1/(4*π*ε0)*Q   ④

となり,これが,問3の解です。

次に,問4,Q≠0のとき。

分子でいえば,中性分子のとき,

φ=1(4*π*ε0)*r^(-3)*Σqi*(r・di)


で与えられます。これが問4の解です。

問3の解④式は,1個の点電荷もしくは,

イオンが,遠方に形成する静電ポテンシャル

問4の解⑤式は,中性分子が遠方に形成する

静電ポテンシャル

を各々表しています。

次に,式④⑤を同じ静電ポテンシャルφ

表す式の中に含ませると、

φ=1/(4*π*ε0)*Σqi*r^(-1)

  +1/(4*π*ε0)*r^(-3)* ( μ・r)

=φ4+φ5

ここで

φ4:問3のケースQ=0 1個の点電荷もしくは
  イオンの場合の遠方の静電ポテンシャル  

φ5:問④のケースQ≠0中性分子の場合の
   遠方の静電ポテンシャル

またQ=0の場合で、 出現しているμは,
電気双極子モーメントベクトルです。

μx=Σqi*xi

μy=Σqi*yi

μz=Σqi*zi

μ=(μx,μy,μz) 

で定義されるものです。

よって原点から十分遠方の点Pにおける

静電ポテンシャルは,φ5よりもφ4の

ほうが大きいので超遠方であれば、φ4の

静電ポテンシャルのみ感知することが

できます。

それから原点に近付くにつれφ5の

静電ポテンシャルを感じるようになる。

この問題の結論として,超遠方から原点を

見ると1個の点電荷が存在しているように

見える。

それから原点に近づくにつれ、

電気双極子、電気四重極子が次第に

見えてくる。

これが,結論❗






















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