Wed, April 09, 2014

検討問題:形態はどうやって形成されるのか:螺旋、フィボナッチ数列、黄金分割(黄金比)

テーマ:GP陰陽哲理学:ガウス平面と陰陽論の統合
渦巻や螺旋の発生は陰陽の90°回転力学で説明されよう。
 即ち、日光軸が形成され、同時に、時間軸が発生し、空間三次元事象が生起するというように考えるのである。
 今思ったのは、以前考えた陰陽円の存在である。それは、ガウス平面において、虚軸を直径とする、ガウス平面に直交する円である。それが、90°回転すると考えるのである。
 そうすると、それは、ガウス平面上で単位円を形成しよう。どうも、これが、渦巻を創る「原光円」(造語)ではないだろうか。
 そして、三次元空間では、球体となろう。つまり、太陽ないし原太陽である。あるいは、原宇宙、原コスモス球かもしれない。
 とまれ、単位円=原光円において、凸i、凹i、+1,-1のよっつの基本単位がある。これが、四大(地水火風)に関係するのではないだろうか。凸iが風、凹iが水、+1が火、-1が地に相当するかもしれない。また、五大(地水火風空)で言えば、空は原点、MP(メディア・ポイント)に当たろう。
 以下の参照を見ると、直観で、現象形態の発生は、螺旋、フィボナッチ数列、黄金分割に関係すると思われる。
 しかし、問題は、数学的に説明されるだけで、エネルギーが問題になっていないのである。あえて言えば、数学と現象力学が分離しているのである。
 数学、数にエネルギーを与える必要があるのであえる。
以下の参考1の「自然法則と黄金分割」の説明をヒントにしてみよう。
 上述したような五大(地水火風空)が原型となって、黄金分割を形成すると述べている。
 問題は正五角形の形成原理である。四大(地水火風)はわかりやすい。それは、単位円での「十字架」を考えればいいのであるから。しかし、正五角形にするのは難しい。
 ただ、数的には、5は上記のようにすぐ出てくるが、正五角形が生まれないのである。
 ここでは、正五角形を前提するより、フィボナッチ数列的視点から始めた方がいいようだ。
 参考2の図が参考になろう。フィボナッチ数列、1,1,2,3,5,8,13,21,・・・であるが、これをガウス平面の立体的変形座標に適用するのである。
 つまり、最初は、1と1でいいが、その次は、半径が2(=1+1)になり、その次の半径が3(=1+2)となり、同様に展開すると見るのである。
 これで、螺旋現象数的力学は説明されよう。後、時間軸に沿って、立体化させていけばいいだろう。
 そして、後の数を分母、前の数を分子にして、割り算すると、黄金分割に接近するのである。つまり、フィボナッチ数列から黄金分割が生まれることになる。
 そして、黄金分割から念願に正五角形が発生すると思われるのである。これで、現象形態の説明の大雑把な輪郭がわかろう。
 フィボナッチ数列的形成であるが、それは、当然、現象形成であり、ガウス平面での形成ではない。日光軸(実軸)があり、それが、原点を中心にして、時空間四次元現象へ、いわば、展開するのである。
 しかしながら、どうして、フィボナッチ数列的構成をとるのかという疑問が湧く。
 逆に、黄金分割の比が基本であるというようにも考えられる。
 これではどうどう巡りである。
 これは検討課題にしておく。
 

参考1:

自然法則と黄金分割

http://www.nersrch2020.sakura.ne.jp/1-11.htm

そして、これらの4つの要素をうまくバランスをとり、調整し、場を形成する役割をなすのが「空」の

性質なのです。言い換えると、あらゆるエネルギー源をあなたがたに与えるために転換したり、拡散し

たり、収束させたり、回転させたり、消滅させたり、する性質を持つもの。これを「五大要素」とよんで

おります。


  「五大要素」が均等に作用したとき、ちょうど「星形の五角形」を作り上げるのです。この五大要素が

「創造宇宙のトーラス」の中をぐるぐる、ぐるぐる回転しているのです。

 そして「星形五角形」の中には、きれいな黄金分割比が現れるのです。(黄金分割比とは1:1.618

という分割比を指します。また、その逆が0.618となります。)


 この「黄金分割比」というのは数字を「1,1,2,3,5,8、13、・・・・」というふうに並べてみてくだ

さい。これは、隣り合わせの数字を足して、その次の数字は、たとえば、1と1を足すと2(1+1=2)

となります。2の次は3になります。つまり 1,1,2,3… という数字の配列になっていくわけですが、

永遠にこの演算を繰り返してゆくと、出てくる数値が1.618。または0.618に収束してゆく数列をい

い、これを「フィボナッチ数列」ともいいます。

  この数字の配列というのは、自然界のこの五大要素を基準とした分布システムにも適用されている

のです。隣り合わせの数字を割ってゆくと、限りなく「黄金分割比」に近づくようになっていきます。

 これが自然界の「永遠に続くフラクタル構造」または「入れ子構造」をうまく説明出来るのです。


参考2:

生命に宿る黄金比とらせんエネルギー - ゴルフィーライフ(New) ~ We ...

http://blog.goo.ne.jp/lifelongpassion/e/4e9068485f459e834966f46bc21bf8e7

ゆらぎやフラクタル、といった美しくも心地よい自然の法則を形成する重要なファクターにこの黄金比があります。

この1,1,2,3,5,8,…という数字の並びはフィボナッチ数列と呼ばれるもの。
隣り合った数字を足し合わすと、
 1+1=2、
 1+2=3、
 3+5=8、、
と続いていきます。

これらの数字の間隔は、5:8 ≒ 1: 1.618、という風に、黄金比率に近づいていきます。

上の図のように「らせん」にも黄金比率が存在するし、
360°の円も、黄金分割すると、約137.5°という黄金角になります。

パルテノン神殿やピラミッド、ダビンチをはじめ葛飾北斎に至るまでの絵画や美術品は言うに及ばず、
自然界は黄金比率に溢れている。
ミツバチの巣の中の雄と雌の個体数が黄金比になったり、
木の枝のつく間隔や葉っぱのつく間隔にも、1:3:5:8…と黄金比の法則が顕現する。



 
オウム貝の渦巻きを500万倍に拡大するとハリケーンの渦巻き雲になり、
さらに60兆倍すると、渦巻き星雲の形になるといいます。


参照:

対数螺旋 - Wikipedia

対数螺旋(たいすうらせん、 : logarithmic spiral)とは、自然界によく見られる螺旋 の一種である。等角螺旋(とうかくらせん、 : equiangular spiral)、ベルヌーイの螺旋ともいい、「螺旋」の部分は螺線、渦巻線(うずまきせん)、匝線(そうせん)などとも書く。ヤコブ・ベルヌーイ (ジャック・ベルヌーイ)は、17世紀スイス の数学者。

定義[編集 ]

極座標表示 (r, θ) で

r=ae^{b\theta}\,

と表される平面曲線を対数螺旋という。ここに、eネイピア数a, b は固定された実数 である。r が原点からの距離を表すため、a でなければならないが、b は正、負のどちらでも構わない。正の場合は中心から離れる際に左曲がりである螺旋になり、負の場合は右曲がりの螺旋になる。裏返すことによって左曲がりを右曲がりにできるため、b > 0 に限った定義をすることもある。定義式において形式的に b = 0 とすると、半径 a となる。

定義式は

\theta=\frac{1}{b}\log \frac{r}{a}

とも書ける。歴史的には指数関数 よりも対数 の方が先に認知されていたので、「対数螺旋」と呼ばれるようになった。b が正(負)の場合、r が 0 に近付くと θ はいくらでも小さく(大きく)なるので、中心近くでは無限回渦巻いている。

直交座標 における媒介変数 表示として、

x(\theta) = r \cos \theta = ae^{b\theta} \cos \theta\,

y(\theta) = r \sin \theta = ae^{b\theta} \sin \theta\,

とも表せる。

後述する理由により、対数螺旋とは(ひとつの定数 B のみを用いて)

r=B^\theta\,

で定まる曲線である、と定義されることもある。ただし、B は 1 ではない正の数。

性質[編集 ]

対数螺旋の回転は、拡大・縮小と同等の変形である。

本節では、対数螺旋の式は

\mathbf{r}(\theta) = (ae^{b\theta} \cos \theta,\,ae^{b\theta} \sin \theta)

で与えられているとする。

対数螺旋は自己相似 である。すなわち、任意の倍率で拡大または縮小したものは、適当な回転によって元の螺旋と一致する。例えば、eb 倍に拡大したものは、回転することなしに元の螺旋と一致する。対数螺旋は、拡大・縮小以外にも様々な変換に対する不変性を持つ。例えば、伸開線 および縮閉線 は自分自身に一致する[1]

中心から伸ばした半直線 と螺旋は無限回交わるが、隣り合う交点について、原点との距離の比は一定で eb である。対して、距離の差が一定であるような螺旋がアルキメデスの螺旋 である。

中心から伸ばした半直線と対数螺旋が成す角は一定である。等角螺旋の名はこの性質に由来する。実際、その角 α は

\alpha=\arccos \frac{\langle \mathbf{r}(\theta), \mathbf{r}'(\theta) \rangle}{\|\mathbf{r}(\theta)\|\|\mathbf{r}'(\theta)\|} = \arccos \frac{b}{\sqrt{b^2+1}} = \arccot b

と計算される。b が正のとき、α は0度から90度の間の角であり、α の余角 90°- α を対数螺旋のピッチ (pitch) という。b が負のときは、α は90度から180度の間の角であり、α - 90° がピッチである。ピッチが大きいほど、螺旋に沿って中心から遠ざかる際に、中心からの直線距離がより速く大きくなる。すなわち、開いた形状になる。ピッチ が0度に近付いた極限は円で、ピッチが90度に近付いた極限は中心から伸びた半直線と見ることもできる。

対数螺旋の形状は巻きの向きとピッチのみ、すなわち b のみによって決まるので、回転による違いを考慮しないならば、対数螺旋とは r = ebθ によって定まる曲線である、と定義してもよい。B = eb とおけば、さらに簡潔な式 r = Bθ で定義できる。

螺旋上の一点から螺旋に沿って中心に向かうと、前述のように無限回渦巻き、中心に辿り着くことはできないが、その道のりは有限である。実際、例えば b が正のとき、中心からの直線距離が r である点 (r cos θ, r sin θ) (ただし、r = aebθ)から中心までの道のりは

\int_{-\infty}^\theta \|\mathbf{r}'(\theta)\| d\theta = \frac{a\sqrt{b^2+1}}{|b|}e^{b \theta}=r|\sec \alpha|

と計算される(結論は b が負のときも成り立つ)。

曲率関数

\chi(\theta)=\frac{1}{ae^{b\theta}\sqrt{b^2+1}}=\frac{\sin \alpha}{r}

である。螺旋の見た目からも明らかなように、中心に近付くほど限りなく大きくなり、中心から遠ざかるほど限りなく 0 に近付く。b が正である場合は曲率関数は単調減少 であり、b が負である場合は単調増加である。この性質は進行方向に依らない。

指数関数は、複素数平面 において、実軸にも虚軸にも平行でない直線を対数螺旋に写す。しかも、任意の対数螺旋はそのようにして得られる。実際、指数関数によって

x+iy \mapsto e^x \sin y+i e^x \cos y

と対応するから、直線 x = cy + d (c ≠ 0) 上の点 (x, y) は

(e^d e^{cy} \cos y, e^d e^{cy} \cos y)\,

に写る。

同じく複素数平面において、実部と虚部がともに 0 でない定数 k に対する関数 xk は、実軸を対数螺旋に写す。

自然界における対数螺旋[編集 ]

対数螺旋は、自然界のさまざまなところで観察される。例えば、 が獲物に近付くとき、対数螺旋を描いて飛行する。その理由は、獲物を一定の角度で視認するためと考えられる[2] 。同様に、 が花に向かって飛ぶ軌跡も対数螺旋に近い[3]

相似な多角形を連ねていくと、対数螺旋に近い形を描く。

軟体動物 の殻、 の角、 の牙など、硬化する部位で、本体の成長に伴って次第に大きい部分を追加することで成長するような生物の器官において、対数螺旋が観察される[4] 。その理由は、図のように相似で少しずつ大きくなる多角形が次々に形成されていくと、螺旋に近い形が描かれるからであると説明される。成長が連続的となるように各断片を小さくしていくと、その極限図形の境界線はちょうど対数螺旋を描く。ピッチは生物によって異なり、サザエ では約10度、アワビ では約30度、ハマグリ では約50度である[5] 。ピッチが小さい場合は自分自身を巻くことができるので巻貝 に見られ、ピッチが大きいものは大きく口を開けた形の二枚貝アワビカサガイ のようなものに見られる。

渦巻銀河 の渦上腕は、ピッチがおよそ10度から40度の対数螺旋の形状に近い。太陽系 を含む銀河 である銀河系 は、主要な渦状腕を4本持つとされ、そのピッチは比較的小さく、12度ほどと考えられている[6]

なお、同じ渦巻きでもクモの網 に見られる横糸の渦巻きはアルキメデスの螺旋である。巻き貝、あるいはそれ的なものでも、オオヘビガイ のようにあまり太さを増さないままに巻数が多いものはこれに近くなる。

人工物における対数螺旋[編集 ]

紀元前5世紀 に完成したイオニア式 建築の神殿エレクテイオン の柱頭

アルキメデスの螺旋ほどではないが、デカルト やベルヌーイが数学的に解析するよりも前から、自然界に現れる対数螺旋は人々に認識されており、美術作品や建造物に用いられたといわれる。例えば、古代ギリシア の建築様式のひとつ、イオニア式 の柱頭の特徴は、組になった渦巻の飾りであり、対数螺旋に近いものもある[7]

バチカン美術館 の二重螺旋階段

また、レオナルド・ダ・ヴィンチ の設計したバチカン美術館 の二重螺旋階段は、真上から見ると対数螺旋である[8]

近年では、PlayStation 4 の筐体内部の冷却機構に取り入れられ、PlayStation 3 の後期型に比べ特性を大幅に改善した[9]

黄金螺旋[編集 ]

黄金長方形 と黄金螺旋

黄金螺旋 (golden spiral) とは、黄金比 φ に関連した対数螺旋の一種であり、

|b|=\frac{\log \phi}{\pi/2} \approx 0.30634896253

なる定数 b に対して r = ebθ で与えられるものである。さらに、B = eb とおいて、r = Bθ でも定義される。正の b に対しては

B=\phi^{2/\pi} \approx 1.358456274

であり、負の b に対しては

B=\phi^{-2/\pi} \approx 0.736129693

である。黄金螺旋のピッチは約17.03239度である。

オウムガイ の殻の模様は黄金螺旋を描いている、という説は有名である。しかし、その合理的な理由は知られておらず、実際にはオウムガイの殻のピッチは8度から10度であって17度とはかけ離れているなどの、黄金螺旋ではないとの指摘もある[10] [11]



かたち*あそび おもしろ図形 螺旋


黄金分割


黄金


黄金比と正20面体 - 関西学院大学


黄金分割 ―自然と数理と芸術と― / アルプレヒト・ボイテルスパッヒャー ...


渦巻ができていく・・・黄金螺旋 この螺旋は球とも親戚です | 世界史掲示板 ...


夢のもつれの哲学2:黄金比とフィボナッチ数列 はじめの1~ベンフォード ...


不思議な数字:花の生え方はフィボナッチ数列によって ... - Jackと英語の木

このフィボナッチ数は、花の数とも一致します。ユリ3枚、サ クラ、ウメ5枚、コスモス8枚、キク科植物は13枚、21枚、34枚、55枚などあって、いろいろな花の花びらの数となっています。植物の葉っぱも、茎を 中心にして、次第に伸びてゆくことにより、2方向、3方向、5方向、8方向に生えてゆき、自然に葉を重ねずに、太陽の光の対して、光合成の効率を上げるよ うに、フィボナッチ数で出来ています。

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