メタメタの日

パンセ


テーマ:
かけ算のイメージ(第10回)

かけ算の交換法則は、
4×3=3×4
と、小2で教わる。
文言としては、「かけられる数と、かける数を入れかえて計算しても、答えは同じになります。」である。
小4で「計算のきまり」として、
□×○=○×□
という記号を使って教わる。
「交換法則」という用語は、中1の最初の単元の「正負の数」のところで、
「加法の交換法則」として、a+b=b+a 
「乗法の交換法則」として、a×b=b×a
と、文字を使って教わる。

かけ算の式の「×」の左右の数を入れかえても積が変わらないというのが交換法則だが、×の左右の数についての理解はさまざまに分かれる。

(1)因数4×因数3=因数3×因数4
これは、左右の数について「意味」の違いを認めない理解である。

(2)被乗数4×乗数3=乗数3×被乗数4
「かけられる数と、かける数を入れかえて」を素直に読むと、こういう理解になると思う。私は、かけ算の順序問題に首を突っ込むまで、何十年もこう理解していた。(ところが、文科省の理解は違っていた。)
「被乗数・乗数」という用語は、日本最初の学会・東京数学社が、明治13年にmultiplicandの訳として「實または被乗数」、multiplierの訳として「法または乗数」とする草案を発表してから広まった語で、日本にも中国にももともとはなかったから、理解しにくい。意味を汲めば、被乗数は、同数累加の「同数」、乗数は「累加数」であり、あるいは、被乗数は「実」(モノの個数)、乗数は「法」(ハタラキの回数)となろう。

(3)被乗数4×乗数3=被乗数3×乗数4
これが、文科省の理解であった。
 被乗数と乗数の区別について、×の左を被乗数、右を乗数とするのは、明治時代に西洋から教わったときの西洋の主流の理解がそうだったからであり、現在の西洋の主流は逆になっても、日本では教わったときの順序を守っているわけである。
 つまり、数字4と3の順序は入れ替わっても、被乗数と乗数の順序は入れ替わらないのである。

(4)1あたり量4×いくら分6=1あたり量6×いくら分4
   1人あたり4個×6人分=1回あたり6個×4回
 かけ算の式の×の左右にくる数の意味は決まっていて順序も決まっているという理解は、「被乗数×乗数」(「モノ×ハタラキ」)に変えて、「1あたり量×いくら分」(「量(モノ)×量(モノ)」)で導入することを提唱した数教協でも踏襲された。
「6人のこどもに1人4こずつみかん」の問題で、6×4の式も正しいとした遠山啓の理解は、トランプ配りを考えれば、
1回分6こ×4回
と解釈でき、「1あたり量×いくら分」の順序は守られているというものだった。
 しかし、遠山らは、どちらの数値を「1あたり量」とし「いくら分」とするかの解釈は、(「分離量については」という限定付きであったが)トランプ配りを考えれば交換可能であることを認めていた。(現在の数教協の現場の先生方がこの解釈に否定的か消極的だったのはビックリだった。)

「トランプ配り」というと実際に配る行為が伴わなければならないように感ずるが、要は、「1あたり量」は内包量、「いくら分」は外延量と理解するのではなく、「1あたり量」を外延量、「いくら分」を内包量として、内包量の倍増を考えればよいのである。
 ジャーゴン(業界用語)が出てきて、わかりにくくなったが、「たこ3匹の足の数は」という問題で、
 3×8
の式を書くと、タコの足が3本になる、という嫌味を先生に言ってほしくないのである。
健全な社会人の常識では、この式は、
 たこ3匹×1匹あたり8本
と理解される。
 つまり、
(5)1あたり量8×いくら分3=いくら分3×1あたり量8
という交換法則が前提されている。
 これで十分であり、こういう常識が通用しない算数教育はどうにかしてほしいのだが、 3×8の式も「1あたり量×いくら分」の式として解釈可能である。
 たこの足が1匹1本とすると、3匹だから3本、しかし、1匹8本だから、3本の8倍と考えればよいのである。
AD
いいね!した人  |  コメント(13)  |  リブログ(0)

メタメタさんの読者になろう

ブログの更新情報が受け取れて、アクセスが簡単になります

AD

ブログをはじめる

たくさんの芸能人・有名人が
書いているAmebaブログを
無料で簡単にはじめることができます。

公式トップブロガーへ応募

多くの方にご紹介したいブログを
執筆する方を「公式トップブロガー」
として認定しております。

芸能人・有名人ブログを開設

Amebaブログでは、芸能人・有名人ブログを
ご希望される著名人の方/事務所様を
随時募集しております。