文字式の計算規則は、日本では100年以上、「立場１」（2a÷2a＝１ 現行の学校教科書方式）で、やってきました。明治初めの代数教科書も「立場1」であったことを、国会図書館のサイト「近代データライブラリー」で確認できました。
http://kindai.ndl.go.jp/BIDtlSearch.php
ということは、明治初めの教科書は、欧米の翻訳が中心でしたから、当時（19世紀後半）の欧米も「立場１」であったことがわかります。
ということは、「はたして「立場2」で文字式の計算を書いた数学の本というのが、世界中を探してみてあるのだろうか」という疑問は、否定的に解決されたと断言していいでしょう。つまり、立場2のルール（2a÷2a＝a^2 ）で書いた数学の本なんてものは存在しない！！！
となると、残る疑問は２つです。
第1は、なぜ、ずっと中学高校で立場１の規則が教えられてきたのに、立場2で「理解」する（つまり、立場１を誤解する）生徒がこんなにいるのか、ということ。
第2は、立場１の規則ははたして「正しい」のかということ。「正しい」という意味は、答が２つ以上出てくるような式はないし、答が確定しない式もないということ。（無矛盾かつ完全、というと大袈裟ですが）
第1については、教科書の教え方が悪い、ということでしょう。教わる側が理解しないのは、教える側の責任だということは、教育の鉄則でしょう。
100年間以上、立場１が教えられてきたわけですが、教え方（教える順番）はいろいろでした。
1980年前後の中1の教科書では、
a÷bc
a
＝―
bc
ということを、中1の文字式の最初の段階で教えたこと、しかし平成15年の教科書では中2になってから、ということは、以前書きました。
中1以来、立場2で理解していた生徒が、中2になって困惑する実例は、前トピにありました。当然だと思います。立場2で理解して構わない問題しか、1年間やってこなかったのですから、その理解が誤解だということを納得するように教えなくては、立場2は払拭されないまま、大学生になり、社会人になるでしょう。（そして、mixiで発言するでしょう。）
ゆとり教科書は、「難しいこと」を後回しにして誤解を生んでしまったのです。
今回知ったのですが、明治30年の『代数学教科書』（チャールス・スミス著、藤沢利喜太郎他訳）の20コマ目にこうあります。http://kindai.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/828132/37
「a÷b÷c＝a÷(bc) なり a÷(bc)の代わりには通例a÷bcと書く」。
最初から、こうはっきりと、( )の省略についても書かれていたら、立場1の理解はスムーズにいったでしょう。
さて、第2の論点です。
立場１の計算規則は｢正しい｣のか。
このトピでは、70番台後半あたりで、単項式の演算については解決をみたような雰囲気になりました。私も、多項式については議論が残っているけれど、というような趣旨の発言をしました。
しかし、私のブログにごんべえさんからコメントをいただき、
http://ameblo.jp/metameta7/entry-10883856196.html#cbox
また以前、積分定数さんがご自身のブログで書かれていたのですが、単項式と多項式を分けて扱う（まとめる場合は「整式」という）のは、日本の中等教育（中学・高校）の特異な教え方のようで、本来は「単項式も多項式である」。
だから、立場1が多項式についてあいまいさが残る計算規則であれば、問題です。
確かに、現在の教科書でも、(多項式)÷(単項式)は中2で、(多項式)×(多項式)は中3で、(多項式)÷(多項式)は、高1でやります。多項式についても計算規則は確定しているはずです。
しかし、
ア．(単項式)÷(単項式)(多項式) （÷の後が、×が省略された形）
イ．(多項式)÷(単項式)(多項式)
ウ．(多項式)÷(多項式)(多項式)
の場合が「微妙」です。
ア、イ、ウと区別しましたが、単項式と多項式を区別する意味がないのですから、「ウ」ひとつで良いのですが。
つまり、
6a÷2(a＋2a)
という式の意味が確定しているのか、ということです。（私も判断を保留していました。）
もし今までの規則では、「ウ」の意味が確定しないなら、その意味を確定する規則を追加すればよいわけですが、はたして規則を追加しないと、ウの意味は確定しないのでしょうか。
先ず、実際問題として、「ウ」タイプの問題は、最近の高校教科書で出てくるのでしょうか。私が参照できたのは、昭和60年の東京書籍『精選数学Ⅰ』（小平邦彦編）なのですが、(多項式)÷(多項式)はあるが、「ウ」タイプはありません。「ウ」タイプは、÷記号を使わないで分数式になっています。
÷記号を使った「ウ」タイプの問題は、立場1で意味のある式です。この式の意味（値）が1通りに決まらないとすると、立場1は問題でしょう。（その場合は、「ウ」タイプの式の意味を1通りに確定する規則を追加すれば良いのですが）
明治6年の海軍兵学寮の『代数学教授書』の37コマ目に「ウ」タイプの問題がありました。
｛5(a+b)^3－10(a+b)^2+15(a+b)｝÷－5(a+b)
という問題など4題があります。http://kindai.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/828163/25
当時は、式の意味は確定していたということでしょう。
確かに、思えば、
a^2÷a^2＝1
は、立場１だけでなく、立場２も認めていました。
ならば、
(a+1)^2÷(a+1)^2＝1
も成り立つでしょう。
すると、
(a+1) (a+1)÷(a+1)(a+1)＝1
も成り立つとするほうが理にかなっているでしょう。
ならば、
2(a+1)÷2(a+1)＝1
も成り立つでしょう。
とすると、
6a÷2(a＋2a)＝1
となるでしょう。
立場1の計算規則に、矛盾や不完全性は、とりあえず無いと言って良いでしょう。