数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

中学の数学教師が綴る独り言 中学数学,道徳,数学パズル,数学史,和算,Teachers of Mathematicsの話題,小中連携教育,学校行事の様子をデジカメ写真付きで紹介
クラシックカメラ、クラシックレンズで撮影したスナップ写真もほぼ毎日綴っています


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2+3=5
2+5=7
2+11=13
2+17=19
2+29=31
2+41=43

 これらの例のように唯一の偶素数2と奇素数との和をつくった場合に結果がまた素数になる場合がたくさんありそうです。2に足されている奇素数と結果の奇素数は、2違いの素数で、2と3を除けば数の間が最も近い素数の組になっています。


 差が2である素数の組には「Twin Prime (ツイン・プライム) 双子素数(ふたごそすう)」という名前がつけられています。つまり、「双子素数」とは、

(3, 5),(5, 7),(11, 13),(17, 19),(29, 31),(41, 43),(59, 61),(71, 73),・・・

のような2個の素数の組合せです。


 「素数が無限に存在する」ことは古代ギリシアのユークリッドがすでに証明しています。同じように無限にありそうだと予感できるのに「双子素数は無限に存在するか」はいまだ証明されていないそうです。

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ヒポクラテスの三日月


 古代ギリシアの医学者ヒポクラテスがコンパスと定規だけで描ける興味深いこの図形を発見したそうです。彼は、直線で囲まれたアの直角二等辺三角形と円弧で囲まれたイの三日月の図形の面積が等しくなることに気付きました。


 アとイの面積が等しくなることを証明できますか?


参考文献:伴田 良輔 巨匠の傑作パズルベスト100 (文春新書 615)  P158

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3辺の長さの比が次のような三角形は,直角三角形です。覚え方も書いておきます。といっても無理やり覚えるほどのものでもありませんがちょっと面白く思ったのでご紹介します。


3: 4: 5
み よ  こ  さん


5: 12:  13
ご 自由に いーさ


7:24: 25
なんと 似ている姉妹の 双子


8:15:17
やっぱり 囲碁は いーな


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今日はまず フラッシュゲーム「四色問題」 にチャレンジしてみてください。

【四色問題 ゲームについて】
プレイヤーとコンピュータがそれぞれ2色ずつ持っていて、交互に色を塗っていきます。同じ色が隣り合うことがないように塗り分けるというのが条件で、相手よりも多く塗ることができたほうが勝ちというゲームです。


【四色問題】とは

 1840年にドイツの数学者メビウスは「どんな複雑な地図でも、四色の色鉛筆があれば必ず塗り分けられる」ということを講義の中で述べたとされる。これが「四色問題」である。


四色問題
 「地図上の各国のうち、境界線を共有する国を必ず違う色で塗るものとすると、最低何色必要か?もちろん、1点で接しているだけの二つの国やまったく接していない二つの国は同じ色で塗っても差し支えない。」


 四色による塗り分けについては、地図印刷業者の間では、経験的に知られていたことであったが、イギリスのA・ケイリーが1879年にロンドン地理学会の席上で発表して以来、注目を集めることになった。1890年には、同じくイギリスのヒーウッドがどんな地図でも五色あれば塗り分けられることを証明した。


「与えられた図形を連続的に形を変形させてもとの性質が変わらない場合にはもとの図形を単純化させて考えればよい」という「トポロジー」という数学を応用して、この問題の解決が試みられた。


 三色では不足で、五色なら十分であることは証明されたが、四色ではどうかということは、意外な難問であった。四色で十分であることは、1976年にアメリカのアッペルとコッホの協力を受け、カナダの数学者ハーケンが、証明した。大型コンピュータを約4年間、のべ1000時間以上もかけての解決である。


 ちなみにドーナツ面上の地図は7色、「クラインの壷」上の地図は6色が必要でかつそれだけあれば十分である。


 私が住む新潟県と境界を接する日本海と隣県を含む白地図を4色で塗り分けてみました。(この図の場合は3色あれば塗り分けられますね)なお、日本地図ぬりぬり から、日本の白地図をダウンロードすることができます。 


新潟地域4色塗りわけ 日本地図

参考文献:
樺 旦純 数学がらくにわかる本 (知的生きかた文庫)  三笠書房 P254~P256
銀林 浩, 小沢 健一, 野崎 昭弘 家庭の算数・数学百科  日本評論社 P357

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 正方形の4辺上に配置された物や人の並べ方を変えることによって,実際には全体の個数や人数に増減があるのに,うまくごまかすことができる場合があります。このごまかし方を工夫するパズルを日本で「盗人隠し(ぬすっとかくし)」と呼びます。

 江戸時代の終わり頃,柳亭種彦という人が著した随筆本『柳亭記』の中に次のような話が紹介されているそうです。

 船を見張る「船改め」の番所があり,16人の見張り番を7人ずつ配置して四方(正方形の4辺)の見張り番をしていた。そこに8人の盗人が来て、自分たちをかくまってくれと頼んできた。同情した見張り番は彼らをかくまうことにするが,四方を見張る人数に増減があると,ばれてしまうので並べ方を工夫した。そしてとうとう8人全員をうまくかくまうことができた。


 西洋でも,ワイン蔵の見張りが蔵からワインを4本持ち出したのをごまかす話があります。四方から見ると9本ずつ全部で24本あったところから4本持ち出しても人にばれないようにワインの配列を工夫したわけです。うまくやると四方からは相変わらず9本ずつに見えるようにごまかしたのです。


盗人隠し

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