数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

中学の数学教師が綴る独り言 中学数学,道徳,数学パズル,数学史,和算,Teachers of Mathematicsの話題,小中連携教育,学校行事の様子をデジカメ写真付きで紹介
クラシックカメラ、クラシックレンズで撮影したスナップ写真もほぼ毎日綴っています


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まるい時計の文字盤上にある12個の数字を覆い隠すようにチーズが置いてある。一匹のねずみが数字の1を覆うチーズを食べ,そのあと,時計の周囲を右回り(時計回り)に移動しながら,チーズを(1つとばしで)食べ尽していく。最後に食べ残ったチーズの下の数字はいくつになるだろうか?

Small pieces of cheese are placed over each of twelve numbers on the face of a circular clock. A mouse eats the cheese over the number 1 and walks clockwise around the clock, eating every other piece of cheese. What number will be under the last uneaten piece of cheese?

数学の問題として,うまく翻訳できていません。金曜日の解答発表を待って,正確な問題文に修正したいと思います。


Solution:解答:
最後に残ったチーズの下の数字は8である。時計をまわるねずみの最初の移動では,すべての奇数の上にあるチーズを食べることになる。11の上のチーズを食べた時点で,次の数字の上にはまだチーズがある。:12,2,4,6,8,10.思い出してほしいのは,ねずみは遭遇するほかのすべてのチーズを食べなければならないことである。だから,11の後は,2,6,10を食べることになる。ねずみが今10の上にいるとチーズは12,4,8の上に残っている。次は4のうえのチーズを食べることになる。そして残るは8と12の上のチーズである。ねずみは8をとばして,12の上のチーズを食べる。結局,チーズがまだある最後の数字は8ということになる。
8. In the mouse's first trip around the clock, it eats the cheese on all the odd numbers. When it has eaten the cheese on number 11, the following numbers still have cheese: 12, 2, 4, 6, 8, 10. Remember, it must eat every other piece encountered. Therefore, after 11, it will eat 2, 6, and 10. The mouse is now on 10, and cheese remains on 12, 4, and 8. It will then eat the cheese on 4, leaving 8 and 12. It will skip 8 and eat 12's cheese, leaving 8 as the last number containing cheese.


このねずみは,今残っているチーズを1個とばしで食べ尽くしていっているようです。和算の「継子立て(ままこだて)」の問題に似ていますね。


このねずみがチーズを食べつくしていく様子をエクセルのセル塗りつぶし機能を利用してシミュレーションしてみました。


Middle School Resources


【継子立て(ままこだて)】関連過去記事

継子立て(ままこだて) アメリカヴァージョン

自分の子を後継ぎにするつもりが・・・ ~ 継子立て ままこだて ~

「ヨセフス・フラヴィウス」 サバイバルゲーム 日本の「継子立て(ままこだて)」パズルです

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ワールドシリーズというのは,1つのチームが4試合に勝利するまで続ける連続試合である。ブレーブスとヤンキースが試合をする予定である。このどちらのチームもひとつの試合に勝つ確率は1/2であるとする。6試合行ったものとすると,ブレーブスがワールドシリーズで優勝する確率はいくつか?
The World Series is a series of games that continues until one team has won four games. The Braves and the Yankees are playing. Each team has a 1/2 probability of winning each game. Given that exactly six games are played, what is the probability that the Braves win the World Series?


 6試合行ったということは,ブレーブスの戦跡が4勝2敗で,ヤンキースが2勝4敗だったということです。

 だとすると,ブレーブスが初戦から4試合続けて勝つ場合や,ブレーブスが5試合目までに4勝する場合などは除いて考える必要があるわけです。

 読者の皆様からの明快な解答を期待します。


 第1試合からのブレーブスの勝ちを○,負けを●で表すと,6戦目でブレーブスが4勝目を決めて優勝が決まるパターンは,次のようになる。


①●●○○○○
②●○●○○○
③●○○●○○
④●○○○●○
⑤○●●○○○
⑥○●○●○○
⑦○●○○●○
⑧○○●●○○
⑨○○●○●○
⑩○○○●●○


ブレーブスが勝つ確率が1/2,負ける確率(つまり,ヤンキースが勝つ確率)も1/2なので,たとえば,ブレーブスの勝敗が⑩のパターンになる場合の確率は

(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)=1/64


結局,ブレーブスの勝ちも負けも同じ確率(1/2)なので,①から⑩のどの場合が起こる確率も(1/2)^6=1/64になる。


よって,求める確率は(1/64)×10=10/64=5/32=0.15625


Solution:解答
1/2. 確率は1/2である。

どちらのチームもそれぞれの試合に勝つことは同様に確からしいので,両チームが6試合において勝つことも同様に確からしい。したがって,シリーズが6試合あるとして,ブレーブスがこのシリーズで優勝する確率は1/2である。
Since both teams are equally likely to win each game, they are equally likely to win in six games. Therefore, given that the Series has six games, the Braves have a probability of 1/2 of winning the Series.


High School Resources

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ある人が1928年2月29日に生まれ,2004年1月29日に死んだ。彼の一生の間で,本当に誕生日と呼べる日(訳注:2月29日のこと)は何回あったのだろう。(彼が生まれた当日は数えないものとする。)ヒント:(彼が生まれた年は)うるう年であることを忘れてはならない。
A man was born on February 29, 1928. He died on January 29, 2004. How many actual birthdays did he get to celebrate during his life (not counting the day he was born as a birthday)? Hint: Don’t forget about leap years.


Solution:解答:
18回。2月29日は4年ごとに巡ってくる。2004年はうるう年であり,その人は,次に列挙する年の2月29日に誕生日を迎えることになる。:1932年,1936年,1940年,1944年,1948年,1952年,1956年,1960年,1964年,1968年,1972年,1976年,1980年,1984年,1988年,1992年,1996年,2000年。ここで,2004年は誕生日前に亡くなっているので,回数に入れない。

18. February 29 occurs every four years. 2004 is a leap year, so the man celebrated his February 29 birthday in these years: 1932, 1936, 1940, 1944, 1948, 1952, 1956, 1960, 1964, 1968, 1972, 1976, 1980, 1984, 1988, 1992, 1996, and 2000 but not 2004 because he died before his birthday.

Middle School Resources


次の一番目の過去記事では,エクセルの関数を利用して,一生の間に2月29日が何回あるか計算する方法について解説しています。

【うるう年 閏年 関連過去記事】

1928年2月29日生まれ,2004年1月29日死亡の人の誕生日は何回あったの?

西暦n年がうるう年かどうかの判定は,グレゴリオ暦とユリウス暦で違いがあるのでしょうか?

7年の間にうるう年をはさまない西暦年間があるんですねぇ!?

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p本でcセントの鉛筆があります。dドルあると何本鉛筆が買えますか?

If p pencils cost c cents, how many pencils can be purchased for d dollars?


1ドル=100セント です。


Solution:解答:

鉛筆100dp/c本。

cセントでp本の鉛筆が買えるのならば,cドル(100cセント)では,100p本だけ買えるわけだから,1ドルだと100p/c本買えることになる。したがって,dドルだと,d(100p/c)本,つまり, 100dp/c本買うことができる。
100 dp/c pencils.
If you can buy p pencils for c cents, then you can buy 100p pencils for c dollars (100c cents), so you can buy 100p/c pencils for 1 dollar. Therefore, d dollars is the cost of d(100p/c), or 100dp/c pencils.

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さいころを4回振ったときに,5または6の目が少なくとも1回出る確率を求めよ。
A fair die is tossed four times. What is the probability that it lands with either 5 or 6 on top at least once?


 「少なくとも・・・」ということがら(事象)の確率を求めるには,「余事象(よじしょう)」の確率を利用すると良いことを高校時代に教わりました。


 ある事象Aに対して,事象「Aではない」をAの余事象といいます。
事象Aと余事象Aをあわせると,起こり得ることがら全体になりますから,
(事象Aの起こる確率)+(余事象Aの起こる確率)=1(絶対起こる確率)
が成り立つことになります。


 この関係式を利用すると,余事象Aの確率が事象Aの確率より簡単に求められる場合に,
その余事象Aの確率を1から引くことによって,事象Aの確率を求められます。


 この問題を解決するのに,この余事象の考え方を使ってみます。


事象Aを
「さいころを4回振ったとき,5または6の目が少なくとも1回は出る」
とすると,

この余事象である「Aではない」事象は,
「さいころを4回振ったとき,5,6どちらの目も1回も出ない」
言い換えると,(かなり,頭の中で数回言い換えている感じです)
「さいころを4回振ったとき,4以下の目が4回とも出る」
になります。


 さいころを1回振ったとき,4以下の目が出る確率は4/6=2/3で,4回連続,4以下の目が出る確率は,
(2/3)×(2/3)×(2/3)×(2/3)
=16/81
になります。


 よって,求める確率は今出た16/81を1から引き去って,
1-16/81
=65/81

ということになるでしょうか?


Solution:解答
約0.80247の確率である。


さいころを4回振った場合の起こりうる場合の数は6×6×6×6=6^4通り,つまり1296通りある:なぜかというと4回のサイコロ振りのそれぞれの起こり方が6通りずつだから。


1個のサイコロを1度だけ振って,5,6の目が出ない(つまり,1か2か3か4の目が出る)場合の数は4通りある。だから,1個のサイコロを4回振って,5,6の目が出ない場合の数は4×4×4×4=4^4,つまり256通りあることになる。


以上のことから,サイコロを4回振って,少なくとも1回は5または6の目が出る場合の数は1296-256=1040通りある。(これは起こりうる場合の数の残りとして求めたことになる)


したがって,1個のサイコロを4回投げて,少なくとも1回は5または6の目が出る確率は1040/1296,つまり65/81,これは約0.80247である。
Approximately .80247.
The number of possible ways to roll four dice is 6^4, or 1296: six choices for each of the four rolls.

There are four ways to roll a single die once and not get a 5 or 6 (that is, to get a 1, 2, 3, or 4), so the number of ways to roll a die four times and not get a 5 or a 6 is 4^4, or 256.

Then 1296 - 256, or 1040, ways (the rest of the possibilities) exist to roll the die four times and get a 5 or 6 at least once.

Therefore, the probability of rolling a die four times and getting a 5 or a 6 at least once is 1040/1296, or 65/81, which is approximately .80247.


High School Resources  

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