数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

中学の数学教師が綴る独り言 中学数学,道徳,数学パズル,数学史,和算,Teachers of Mathematicsの話題,小中連携教育,学校行事の様子をデジカメ写真付きで紹介
クラシックカメラ、クラシックレンズで撮影したスナップ写真もほぼ毎日綴っています


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 Kaleidocycle(カライドサイクル)は偶数個の四面体の輪です。各四面体は、垂直な辺で繋がっています。内側や外側に連続的にねじることができ、それぞれの四面体の異なる辺(や面)が現れるのが特徴です。



The Ring of Eight Tetrahedra(8つの四面体の輪)

Kaleidocycle 005


Kaleidocycle 002



 図のように紙で輪を作ることができます。8つの四面体を別々に作り、粘着テープで連結して作ることができます。これは簡単ですが、作業に手間がかかります。そこで、ここでは、折りたたむのがやや難しいですが、正三角形を網目にした展開図を使うことにします。



【Kaleidocycleの作り方】



Kaleidocycle8色つき


(1)コンパスと定規を使って正三角形の網目を描きます。(展開図にかいてある)1から8までの数字は単に説明のためのものです。xはノリシロになる面を表しています。一つの三角形の長さを例えば2.5cmとすると、ちょうどA4サイズになります。



(2)展開図を切ります。



(3)折りたたみやすくするためにボールペンや切れないはさみのふちで線をなぞります。



(4)最初は四面体1111と2222を同時に組み立てます。三角形12(最下部)を三角形xx(最上部)の上にのり付けします。(ここが一番難しいところです。ご自分で実際に作られたときに悩んでみてください。)



(5)3333/4444、5555/6666、7777/8x8xという四面体のペアをこの順に、(4)と同じ手順で繰り返します。



(6)最後に三角形88を三角形xxの上にのり付けして輪を閉じます。



 四面体の数を10,12,14、・・・にした輪にしたければ、もっと三角形の紙片を追加してください。



次のページからKaleidocycleの型紙がダウンロードできます。
http://www.mediafire.com/?zmluheznyd2

この稿は次のページを翻訳したものがもとになっています。
参考:Kaleidocycles

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 マック・マーンの立方体は、6つの面を異なる6色で塗り分けた場合にできるすべての組み合わせからなる立方体の集合のことです。色は決まっていません。どんな色でも選ぶことができます。
P.A.マック・マーンはイギリスの数学者であり、また少佐でもありました。彼は1854年に生まれ1929年に亡くなった人です。


 今日の問題はこの「MacMahon's Coloured Cubes」です。


6色立方体塗り分け問題


立方体を6色で塗り分けると塗り分け方は何通りあるでしょうか?もちろん回転させると同じ塗り分け方は一通りと考えてください。


【求め方】
 ある一つの色に着目します。この色と対面にある面の色を決めます。すでに着目している最初の色は使えませんから5色のなかから選ぶことが出来ます。これで平行に位置する2つの面の色が決まりました。

 残る4つの面はリング状になっているので、これらの面を4色で塗り分ける仕方は「円順列」になります。よって、4つの異なる色をリング状に並べる場合の数は、
(4-1)!=3×2×1=6

 したがって、立方体を6色で塗り分ける場合の数は、
5×6=30
で30通りということになります。


「円順列」
n個のものを円状に並べる場合の数を円順列といい、その総数は(n-1)!で計算できます。

参考 MacMahon's Coloured Cubes

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YouTubeのほうにもアップしてあります。Kaleidocycleに関連した動画をたくさん見ることができます。↓

YouTube - Kaleidcycle Rainbow


動画の扱いに慣れていないこともあり、画質がきれいではありません。お許しくださいませ。


型紙のダウンロードはこちらからお願いします↓

Kaleidocycle8虹色-docune

Kaleidocycle10-docune

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「Heart Basket」を選択教科 数学 受講生徒に作ってもらいました。私が作図した型紙を色画用紙に印刷したものを配布して作業に入りました。受講生のうち26人中21人は女生徒ですが、残り5人の男子生徒も一生懸命作っていました。50分授業の中で、一番早い生徒で2つ作ることができました。切ったり貼ったりすることなくバスケットを編むことができることに興味を持った生徒が多かったようです。

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 夜中に目が覚め、ふとつけっぱなしのテレビ番組を見たら、あの秋山仁先生がNHKの数学基礎という高校生向けの番組の講師をしておられました。「数学と芸術」というのがテーマで、四面体の展開図で平面が敷き詰められるという内容でした。いろいろな色の紙に四面体の展開図を印刷し、四面体を組み立ててはその四面体を覆い隠すように外側から四面体を組み立てていきます。入れ子にして4重5重の形で組み立てていくわけです。そして四面体の辺のところからカッターで切れ込みを入れ、はさみの先を突っ込んで自由に切り開いていきます。展開し終わったときに現れる図形を想像しながら切っていくのも楽しいものです。想像した通りにはなりませんけど、偶然現れる形が芸術的に見えてきます。


番組の内容について、詳しくは下のリンク先を訪ねてみてください。

●NHK高校講座●学校放送●


正四面体切断場面 003 正四面体切断場面 006


正四面体の型紙や組み立て、切断の状況写真は下のリンク先からダウンロードしてご利用ください。

docune-正四面体の展開と平面の敷き詰め
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