数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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 昨日は,朝ごはんを食べている最中に,差し歯で入れてあった前歯がポロリ。この歯は,中学のときに柔道部の体格のいい友達とぶつかって折れたものです。前歯の差し歯は,硬いものを噛んでいると,取れやすいのだそうです。年次休暇を半日とり,掛かりつけの歯医者さんで処置してもらいました。差し歯でなく,インプラントという方法だと半永久的に取れなくなるそうです。ただ,治療に半年もかかるのと,治療費もやや高めになるということです。


 さて,数学の話に変わります。


 円柱の上の底面上の点Aから出発したアリが,側面をひと回りしながら,下の底面まで移動する場合の最短経路を考える問題です。


円柱側面最短距離問題
円柱側面最短距離問題 posted from フォト蔵

 そんなアリがいるはずはないし,ひと回りしなければ,点Aの直下に下りていくのが一番近いに決まっています。しかし,そこはありがちな「数学の」問題と考えてください。


 空間図形の側面はなめらかな曲面だったり,途中に辺があって折れ曲がっていたりするので,見取り図のままでは,最短経路(最短距離)は考えにくいものです。


 そこで,曲がったものを平面状に展ばす「展開図」の利用を考えるわけです。この問題も展開図で考えることによって,最短経路を発見しやすくなります。最短経路の長さも三平方の定理(ピタゴラスの定理)を使えば簡単に求まります。


 ただし,円柱の場合,側面の長方形の横の長さが円周率πを含みますので,求まった答があまり綺麗な形になりません。


 板書右上に書いてあるように,四角柱や他の立体の場合に発展させた類題を練習させました。

 

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 中学,高校の教科書では,取りあげられることはないようですが,確率論の歴史の中で「ビュッフォンの問題」とか「ビュッフォンの針」と呼ばれる問題があります。

ビュッフォン(1707~1788年 フランス)は,数学者というよりも,博物学者としてのほうが有名だそうです。数学にも関心があったらしく,ニュートンが著した微分積分学の本を翻訳していたこともあるそうです。

さて,「ビュッフォンの針」というのは,次の問題です。

「平面上に一定の間隔(2hとします。)で,等間隔に平行線が引かれている平面があったとします。この平面上に,ある長さ(2lとします。l<h)の1本の針を,でたらめに(無作為に)落とすとき,この針が平行線と交わる確率を求めなさい。」


 ビュッフォンは,自身で本を著し,この問題に解答を与えているそうです。彼が考えた確率の求め方は,幾何学的な(図形的な)考えを必要とするもので,この問題の正解を円周率πを用いて,2l/πh (πh分の2l)と求めています。

その後,スイスの天文学者ヴォルフ(1816~1893年)が,h=45mm,l=36mmの場合で5000回実験したら,そのうち,針が平行線と交わった回数が,2532回だったそうです。

この実験の相対度数と,ビュッフォンが示した確率の値を=で結ぶと,次の式が得られます。
2532/5000=2×36/45π

 ここからπを求めると,π=3.159557・・・になるそうです。

(参考文献:志賀 浩二 中高一貫数学コース 数学5をたのしむ 岩波書店 P142,143)


 実験の回数を増やしていけば,より正確なπの値が得られそうですね。


【幾何学的な考えで(面積を利用して)確率を求める問題】

「10cm間隔の格子をかいて,1円玉(直径2cm)を投げたとき,1円玉が2本の線の上に乗る確率を求めよう。」

(参考文献:数学ワンダーランド4 何森 仁, 銀林 浩 ギャンブル家の数学組曲「確率」

国土社 P119 トライコーナー)


 選択数学のメンバー8人で実験してみました。用意したのは,方眼大洋紙,記録用紙,一円玉数枚です。

図のように,方眼大洋紙は,1辺10cmの正方形の方眼が目立つようにあらかじめ線をサインペンなどでなぞっておくとよいです。

ビュッフォンの針実験風景
ビュッフォンの針実験風景 posted from フォト蔵

実験はいたって簡単です。一人ひとりが一円玉を何回投げたかと,そのうち2本線に何回乗ったかを記録するだけです。実験は約30分間行い,実験後は各自が次の相対度数(統計的確率)を求めました。

相対度数=(2本の線に乗った場合の回数)÷(一円玉を投げた総回数)

8人の実験結果をまとめたのが次の板書です。

一円玉投下実験相対度数
一円玉投下実験相対度数 posted from フォト蔵


 相対度数による方法でなく,数学的に(理論的に)この実験(試行)の確率を求めるにはつぎのように計算するのだそうです。

一円玉が2本の線に乗っかるのは,一円玉(円)の中心が1辺10cmの正方形の1つの頂点(マス目のカド)を自分の頂点にもつ1辺1cmの正方形の内部に入ったときです。

1円玉投下実験
1円玉投下実験 posted from フォト蔵


 この1辺10cmの正方形の1つの頂点(マス目のカド)を自分の頂点にもつ1辺1cmの正方形は全部で4つあります。

一円玉を無作為に投げたとき,1辺10cm(面積100c㎡)のどの場所にはいるかは,同様に確からしい(起こり方が同じ程度に期待できる)と考えられます。そのうち,さきほどの1辺1cmの正方形4つ(面積1c㎡×4つ=4c㎡)の中に一円玉の中心が入れば,2本の線に乗っかるわけですから,2本の線に乗る確率の計算は,次のように面積を面積で割ることにしてしまいます。

4÷100=4/100=1/25=0.04


この理論値0.04と我々選択数学のメンバーでの実験値35/779=0.04492・・・がほとんど変わらなかったのが不思議でした。実験回数が増えれば増えるほど理論値の0.04に限りなく近くなることが予想されます。(∵大数の法則(たいすうのほうそく):実際の試行で,あることがらが起こる割合は,試行回数が多ければ多いほど,そのことがらが起こる確率の値に近づいていくという法則)


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ty直角三角形と垂線
直角三角形と垂線 posted from フォト蔵

 直角三角形の直角の頂点から斜辺に垂線をおろすと,新たに2つの直角三角形ができます。そしてこれらは,もとの三角形と相似になってしまいます。つまり,もとの直角三角形と合わせると3つの直角三角形があることになります。

2つの三角形の相似を示したり,相似比を利用して線分の長さを求める問題では,どの辺とどの辺,どの角とどの角が対応しているかがわかりにくい場合があります。

例えば,2つの三角形の向きが違う場合や,三角形どうしが重なっている場合,重なっているだけでなく,裏返しになっている場合などです。

この板書の場合は,中にできた直角三角形を裏返して,下の直角三角形と同じ向きに置き換えると,対応辺,対応角がとらえやすくなります。いちいち新たに図を書き加えるのは面倒だなあと思わないことです。難問だと思った問題の視界が開き,「なあーんだ,簡単じゃん。」と思えてくるものです。

図の問題は,相似を利用して線分AD,BDの長さを求めるものです。板書の写真には,証明が書いていないので,△ABCと△DBAが相似になることの証明を穴埋め問題にして載せておきます。答は一番下です。全く同様にして,△ABC∽△DACの証明ができます。下の証明をマネして,実際に証明を書いてみると,よい練習になると思います。証明が自力で書けるようになるには,見本を見ながらマネして書いてみるといううトレーニングが絶対必要です。教科書や問題集の証明の中に「同じようにして・・・」とか「同様にして・・・」という部分があったときは,「同じようにして」どういう証明の文章になるかを実際に書いて先生や友達から添削してもらうようにすると力がつきます。

【△ABC∽△DBAの証明】(     )の中に記号や言葉(文章)などを埋めて証明を完成してみて下さい。

【仮定】△ABCで,∠A=90°,AD⊥BC【結論】△ABC∽△DBA

【証明】
△ABCと△DBAにおいて,
∠ABC=∠(     )(根拠:     )・・・①
∠BAC=∠(     )=90°(根拠:     )・・・②
①,②より,(相似条件:     )がそれぞれ等しいといえたので,
△ABC∽△DBA                    【証明終わり】

【答:DBA,共通な角,(仮定の∠A=90°,AD⊥BC),2組の角】

 
 次は,最近購入した中学生1年~3年用の数学参考書です。基礎基本から応用までの内容を丁寧に分かりやすく解説しています。

高橋 一雄
語りかける中学数学



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 今朝は,この冬一番の冷え込み。気温は-6℃まで下がり,住宅の水道管が凍結しました。この教員住宅に住んで4年になりますが,こんなことは初めてです。


ところで,今日から授業が始まりました。今日は,1年生,2年生の授業と3年生の選択数学の授業がありました。1,2年の方は,冬休み中宿題に出しておいたテキストの確認テスト,3年の選択数学では,確率の問題演習を行いました。次は,今日の選択数学の受講者に解いてもらった確率の問題です。

「大小2個の(正しくつくられた)さいころがあります。これらを2個同時に投げたとき,それぞれの目の積(2つので目をかけた答)が6の倍数になる確率を求めましょう。」


 まず,(正しくつくられた)ということの意味を確認します。「出た目」を少しだけ簡単に「出目(でめ)」と言うことにします。逆に(正しくつくられていない)さいころだと,どういうことになるかというと,ある出目だけが他の目よりも出やすかったり,出にくかったりするわけです。(正しくつくられた)さいころならば,どの目が出ることも同じ程度に期待することができます。このことを「どの目が出ることも同様に確からしい。」という言い方をします。

もちろんさいころの振り方も,ある特定の目が出やすいようにソッと置くような作為的な振り方ではなく,「エイッ!ヤッ!」と空中に投げ,それをできれば平らな固い床の上に転がすような無作為的な振り方が理想的です。

さて,前の問題を解いていきましょう。昨日のポイントを振り返りながら求めます。


【確率を求める手順】
(1)どんなに見た目が同じでもモノは区別して考えるのが確率の問題を解決する定石でした。この問題の場合は,はじめから「大小」の区別があるので特に「さいころ大」,「さいころ小」と区別するだけでよいでしょう。


(2)「2個同時に投げる」という「試行(しこう)」で起こり得るすべての場合を整理していきます。「試行」というのは,確率でよく使う用語ですが,実験と置き換えてもよいでしょう。前回のダランベールの問題の時は,(  ,  )の中に表裏の出方を整理していきました。今回もこの形式を利用してみます。


 いま,「さいころ大」の出目がa,「さいころ小」の出目がbの場合を(a,b)と書く約束にしましょう。場合の数を調べていくときには,こういう約束を自由に決めてもよいのです。
 aもbも小さい出目の方から順番に考えていくと間違えなくてよいでしょう。
(大の出目,小の出目)の順です。


(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)


(3)すべての場合が「同様に確からしい」かどうかをチェックします。モレとダブりをチェックして間違いがなければ,すべての場合の数が何通りか数えます。この場合は,上に書き出したどの場合もモレとダブりはなく,同様に確からしいと考えられますから全部で36通りあることになります。


(4)(2)の36通りの場合のうち,2つの出目の積を求めてから,6の倍数になっているかどうかを確かめていきます。(    )の中の2数をかけて積を求め,同じ順番に並べてみます。


1, 2, 3, 4, 5, 
2, 4, , 8,10,12
3, , 9,12,15,18
4, 8,12,16,20,24
5,10,15,20,25,30
1218243036


 この中で6の倍数がいくつあるかを数えればよいのです。(赤字は6の倍数)
 6が4個
12が4個
18が2個
24が2個
30が2個
36が1個

 全部で15個ありました。


(5)いよいよ確率を求めます。確率は次の公式で求められました。

ある実験(試行)でことがらAが起こる確率 P(A)
=(ことがらAが起こる場合の数)/(起こり得るすべての場合の数)


 この公式にあてはめると,求める確率は,15/36=5/12 (12分の5)になります。


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2つの正方形1
2つの正方形1 posted from フォト蔵 2つの正方形2
2つの正方形2 posted from フォト蔵

 色と大きさが異なる2枚の正方形の折り紙とそれらを貼り付ける台紙を用意します。2枚の正方形と台紙を生徒一人ひとりに配ります。そして,大小2枚の正方形を1つの頂点が共有するように台紙に貼り付けさせます。個々の生徒で貼り付け方が違っていてもかまいません。

 全員の生徒が貼り終ったのを見計らって,次のような指示を出します。

「2つの正方形が共有している頂点をのぞくと,それぞれ3つの頂点が残っています。大きな正方形と小さな正方形の残りの頂点を結ぶ線分を2本引いて合同な三角形を作ってみよう。そして,それらがどうして合同といえるか,三角形の合同条件から証明してみよう。」 

 生徒によっていろいろな貼り方になりますが,貼り方に関係なく,必ず2つの合同な三角形が作れます。図形の性質を生徒自身に発見させるには教師の強力な誘導と生徒が試行錯誤して考えるための十分な時間が必要です。ある程度の時間を与えることによって,生徒は試行錯誤しながらも,偶然,合同な三角形を発見します。見つけた生徒には,「三角形の合同条件」のどれが成り立つ場合かを調べさせます。 教師の役割のポイントは,「発見」という起爆剤をどのようなシナリオで生徒に与えるかということです。

 証明のかき方の指導では,いきなり全文を書かせるのでなく,空欄を埋める「穴埋め問題」を与えます。空欄を埋めながら証明を完成させる訓練を重ねながら,徐々に自力で証明がかける力を養成していくようにするとよいと思います。

The mount that puts a paper folding and them two square with the color and size different is prepared. Two squares and mounts are distributed to one student one. And, it is made to put on the mount so that one the top may share big and small two squares. How to put it may be different by an individual student.

It looks, it is managed that all students finished pasting it, and puts out the
following instructions.

「Three tops remain respectively except the top. Big..square..small..square..remain..top..connect..segment..pull..combination..square..make.And, let's prove why they can be called a combination from a triangular combination condition. 」

The student can make San square no combination of two without fail regardless of how to paste it though he or she becomes various ways to paste. Enough time for teacher's strong inducement and student to try and err to make the student discover the character in the figure and to think is necessary. The square of ..combination.. San is discovered by chance though the student tries and errs by giving some time. It is made to examine which of "Triangular combination condition" consists in the student who finds it. The point of teacher's role is by what scenario to give the student priming "Discovery".

In the guidance of proof or how to come, the full text is not suddenly written, and "Making up problem" that fills the blanks is given. I think that you may train the power that proof gradually puts for oneself while doing training that completes proving while filling the blanks repeatedly.


2つの正方形3
2つの正方形3 posted from フォト蔵  
 

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