数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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 中1のクラスでは,1年間の総復習をさせています。昨日は,私が黒板に問題を書いて,生徒に解かせる形で授業を行いました。3問出題したうちの1問が次の問題です。


「ある学年の生徒が遠足に行くのに55人乗りのバスを利用すると,最後のバスには40人の空席ができる。そこで,65人乗りのバスにしたところ,55人乗りのバスより2台少なくてすみ,どのバスも空席はなかった。遠足に参加した生徒の数を求めよ。」


 55人乗りのバスの台数をχと表して考えるとよいという私のヒントでほとんどの生徒が解決することができました。55人乗りのバスをχとすると,次のようにこの問題を解くことができます。


 55人乗りのバスをχ台とすると,最後のバス(これをχ号車と呼ぶことにします)には,空席が40人分あるわけですから,遠足に参加した生徒の数は55χ(=55人×χ台)人よりも40人少なく,


(55χ-40)人・・・①


と表すことができます。

 一方,65人乗りのバスを使うと,55人乗りのバスの台数χより2台少なくてすむのですから,65人乗りのバスの台数は,(χ-2)台と表すことができます。そして,空席ができなかったわけですから,この(χ-2)台の65人乗りのバスには,


65(χ-2)人・・・②


の生徒が乗っていることになります。


①,②はどちらも遠足に参加した生徒数を表しているので,等号=で結合することができます。すると,次の方程式ができることになります。


55χ-40=65(χ-2)


55χ-40=65χ-130

55χ-65χ=-130+40

-10χ=-90

χ=9(台)

55人乗りのバスだと,9台必要であることがわかりました。

χ=9を①または②の式にあてはめると,遠足に参加した生徒数が出ます。χ=9を①に代入すると,

55×9-40

=495-40

=455(人)

χ=9を②に代入しても,

65(9-2)

=65×7

=455(人)


 中にひとりだけ次の式を立てた女生徒がいました。ただし,この生徒は,自分の立てた式のχが何を意味しているか答えることはできませんでしたが。


(χ+40)/55=(χ/65)+2 ・・・③


 この式で,/は,÷の意味です。分数の分母と分子を区切る棒と同じ意味で使っています。


 この方程式では,χは,遠足に参加した生徒の数を表しています。遠足に参加した生徒数χ人に40人追加すると,どのバスにも55人ずつ乗せられるわけですから,(χ+40)人を55人で割った③の左辺(=の左側の式)は,55人乗りのバスの台数を求めていることになります。


 一方,遠足に参加したχ人だと65人乗りのバスに空席なく乗っているわけですから,χ人を65人で割り切ることができ,(χ/65)は,65人乗りのバスの台数を表しています。65人乗りのバスだと,55人乗りのバスより2台少なくてすむと書いてあるので,③の左辺,つまり55人乗りのバスの台数と合わせるためには,もう2台追加することになり,③の右辺の式になります。③の方程式の左辺も右辺も,55人乗りのバスの台数を表す式だったわけです。


 実は,この方程式を解くのに,分母を払って解こうとすると,55と65の最小公倍数が必要になりますが,素因数分解を知らないと,最小公倍数を求めるのがつらいです。

55=5×11

65=5×13

と素因数分解でき,55と65の最小公倍数は5×11×13と計算して 715 という大きな数になってしまうのです。この女生徒は,式は立てられましたが③の分母をどんな数で処理したらよいかで悩んでいましたので,私がお手伝いをして,χ=455が求められることを確認したところ,顔の曇りがなくなり,明るい顔になってくれました。




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