数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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 中1生の春休み課題のテキストに次の「原価と利益」に関する問題があります。


「ある品物に,原価の20%の利益を見込んで定価をつけておいたが,売れないので,600円値引きして売ったところ,なお原価の5%の利益があった。この品物の原価は何円ですか。方程式を作って求めなさい。

 原価をχ円とすると,
方程式(                  )


                 答(     )円 」


 この問題で多くの生徒が躓いていました。理由を考えてみました。

まず,文章題の読み取りと理解の問題。「原価」や「定価」,「値引き」と言った言語レベルで文章の理解ができない生徒が少なからずいました。中1生にこの問題を教えるには,まずこのレベルから入っていく必要があったようです。

次に,「%」(百分率)の問題。「~の何割」,「~の何%」といった割合の問題が生徒は苦手のようです。「割合」が出てくるのは,小学校高学年かと思います。生徒は,「割合」の意味や「~の」の「の」が,なぜかけ算になるかというようなあたりをていねいに教えられてきていないのではないかと思われます。

もう一つは,文章から関係を把握して式に表す手だてや方略を具体的な問題場面で使うことができないことです。「文章から関係を把握する手だてや方略」というのは,文章で与えられる状況を絵に描いたり,線分図で表したり,言葉の式で表したり,数量を表形式に整理したりというようなことです。

この問題を解く前に,言葉の意味を確認します。今の生徒たちには,商品流通の仕組みについても話をしておく必要性を感じます。

「原価」はお店の人が問屋さんから仕入れたときの元々の値段と考えます。「利益」はお店の人の儲け分です。この問題の場合,「利益」は,原価に「利率(%,割など)」をかけた分で計算します。

「定価」は「原価」に「利益」を付け足した金額です。次の関係があります。
(定価)=(原価)+(利益)
    =(原価)+(原価)×(利率)
「定価」は,お店の人が,「原価」に「利益」分を付け足して「定」めた「価」格と考えます。

 この問題の状況が複雑なのは,実際の「売値(ばいか,うりね)」が「定価」と違うところです。「定価」から600円値引きして売ったと書いてありますから。

それでは,この問題を解いていきます。

「定価」は,「原価」の20%の利益を見込んでつけたと書いてありますから,原価をχ円とすると,
(定価)=(原価)+(原価)×(利率)
     =χ+χ×(20/100)
=1χ+0.2χ
=1.2χ(円)・・・①

 売値は,この定価から600円値引きしたので,①から
(売値)=(1.2χ-600)(円)・・・②

そしてその売値でもなお5%の利益があったのですから,
(売値)=(原価)+(原価の5%分の利益)
    =χ+χ×(5/100)
=1χ+0.05χ
=1.05χ(円)・・・③

②,③は,同じ「売値」という一つの数量を二通りの式で表した式なので,等号(=)で結合することができます。つまり,次の方程式が得られます。

1.2χ-600=1.05χ

この方程式を解いて原価χを求めます。
両辺を100倍すると,
120χ-60000=105χ
移項して整理すると,
120χ-105χ=60000
15χ=60000
両辺を15で割ると,
χ=4000
原価は4000円だったということになります。

今日の稿では,生徒が文章題でつまずく要因が,数学の理解不足以外にも,国語の語彙力,文章の読解力の不足,商品流通などの社会の仕組みに関する知識の欠如などによると考えられる場合が多々あることを指摘したいと考えました。

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