数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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円卓並び順
円卓並び順 posted from フォト蔵


 昨日は,卒業式。夜は新潟駅南口のワシントンホテルで,卒業祝賀会パーティーを行いました。会場は,8人がけの円卓でした。

そこで,問題です。

「8人の人が円卓に座る異なる座り方は全部で何通りでしょうか?ただし,席を同じ方向に一斉に回転させたときに同じになる場合は一通りと数えます。隣同士や向かいの席に座る人が異なる場合を考えてください。」

 これは,私が高校時代に教わった「円順列」に関する問題です。誰か1人を固定しておいて,残りのメンバーの並び順を調べればよいと教わりました。

【3人の場合】
いきなり8人の座席を考えるのは止めにして,人数を減らして考えてみましょう。3人くらいからがんばってみましょうか。

3人を区別するために,A,B,Cと表すことにします。Aの人を固定と決めてAと表し,残る2人の座席を考えます。
すると,3人の場合は,次の2通りしかないことが分かります。

 A
B○C

 A
C○B

 固定したAを除き,反時計回りにB,Cを並べると,
BC,CB

 Aさんの右隣から反時計回りに座席を決めていくと考えると,最初がBさん,Cさんのどちらか2通りの選択肢があり,次はもう,残りの1人に決まってしまうので1通りしかありません。

最初の2通りのそれぞれの場合に,次が1通りずつ決まってくる場合は,
    2×1=2
と計算してしまえそうです。

【4人の場合】
 次は4人の場合です。4人をA,B,C,Dと表し,Aの人を固定して,残る3人のメンバーの座席を考えます。

B○D
 C


B○C
 D


C○D
 B


C○B
 D


D○C
 B


D○B
 C

 以上のように6通りになります。

これも,Aさんの右隣から反時計回りにB,C,Dの3人を並べていくと,
BCD,BDC,CBD,CDB,DBC,DCB
となります。

 Aさんの右隣から順に席を決めていくと考えると,最初はBさん,Cさん,Dさんのどの人を選んでもよいので3通りあり,その隣は残る2人のうちから選ぶことになるので2通りの選択肢となります。そして最後は,残りの1人になるので1通りの選択肢しかありません。
これも,3通り,2通り,1通りと選択肢が減っていっています。はじめが3通りあり,そのそれぞれの場合に2通りずつあり,そしてそのまたそれぞれの場合に1通りずつあるという場合は,
3×2×1
=6
と計算してもよさそうです。

乱暴ですが,3人と4人の場合からの考察をもとに一般化すると,n人の円卓の場合は,
 (n-1)×(n-2)×(n-3)×・・・・×3×2×1

これを(n-1)!と表し,「(n-1)の階乗」と読みます。

8人の場合は,n=8と代入して
(n-1)×(n-2)×(n-3)×・・・・×3×2×1
=(8-1)×(8-2)×(8-3)×・・・×3×2×1
=7×6×5×4×3×2×1
=5040
 
実に5040通りもの座席配置が考えられることになります。階乗(!)の問題は,やはりビックリするほど急激に大きくなりますね。



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