数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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テーマ:
最短経路1

「Start地点からGoal地点までの道が図のように縦3マス,横4マスのマス目状に通っています。後戻りをしないように縦の道は↑方向に,横の道は→に進むことにすると,全部で何通りの道順があるでしょうか?」

というのが,前々回アップした問題でした。その後,kazさんより「組み合わせ7C3(コンビネーション7の3)を使って解いた方が簡単ですよ」というコメントをいただきました。そこで,今日は,この問題に関する別解法を紹介したいと思います。

 最短経路の道順と暗号を「一対一」対応させるテクニック(?)を使います。

 ポイントを確認しながら解決していきたいと思います。

①縦に3マス,横にも4マス分の道があるので,Start地点からGoal地点まで行くのに↑方向に3回,→方向にも4回で合計7回進めばよいことになります。

②「道順を選ぶ神様」を想定します。「道選び神様」は「→→→→↑↑↑」や「→↑→↑→↑→」などの暗号(?)を使って,いつ縦の道を選び,いつ横の道を選ぶかを「→」と「↑」の矢印を並べながら考えているものとします。

 例えば,「↑↑↑→→→→」は,Start地点から一気に↑方向へ3回移動し,その後はずっと右方向へ4回移動してGoal地点に至るルートを表しています。

③「道選びの神様」は,ナマケモノです。一々「→」を4個,「↑」を3個並べるのも面倒になってきました。

④7個の矢印すべてを並べるのではなく,番号付きの7個の入れ物(場所)があって,どの番号の入れ物に↑を入れようかと考えることにしました。
1234567
□□□□□□□

⑤なぜなら,↑の入る場所が決まれば,自動的に残りは→が入る場所になってしまうからです。

⑥そこで,「道選びの神様」は「↑」を入れる番号を選び始めました。
 123 ↑↑↑→→→→
124 ↑↑→↑→→→
125 ↑↑→→↑→→
126 ↑↑→→→↑→
127 ↑↑→→→→↑
・・・・・・・・・・・・

⑦ここまで来て,神様は,さらにもっと楽をする方法がないかと考えました。結局は,1から7までの8個の整数のなかから3つを選び出す仕方が何通りあるかを考えればよいことに気付きました。それでも手間がかかりそうですが,地道に書き出していきました。

123 234 345 456 567
124 235 346 457
125 236 347 467
126 237 356
127 245 357
134 246 367
135 247 
136 256 
137 257 
145 267 
146
147
156
157
167

 これも辞書式に左側に,より小さい数字を並べ,辞書式に数を並べていく方法で整理してみました。

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