数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

中学の数学教師が綴る独り言 中学数学,道徳,数学パズル,数学史,和算,Teachers of Mathematicsの話題,小中連携教育,学校行事の様子をデジカメ写真付きで紹介
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 レオナルド・ダ・ピサは,イタリアのピサのレオナルドさんという意味です。あの有名な「モナリザの微笑み」のレオナルド・ダ・ヴィンチも「ヴィンチ村のレオナルド」の意味なのだそうです。

 レオナルド・ダ・ピサは,通称「フィボナッチ」といい,次の「永遠に子供を生み続ける不思議なウサギの問題を考えました。

「一年で成熟し,その翌年から以後,毎年一度に雌雄のペアを出産する兎のペアが居る.n年後には,何組の兎のペアが居るだろうか」

最初のペアの数は1。
一年後は成熟だけで出産はしないのでペアの数は1のまま。
二年後には,最初の子供が生まれるので,ペアの数は2になります。
三年後は,最初のペアの子供がまた生まれ,二年目に生まれたペアは成熟するだけで,子供は生まないので,ペアの数は合計3になります。
四年目は,最初のペアと,二年後に生まれたペアの子供が生まれ,三年後に生まれたペアが成熟します。よって,ペアの数の合計は,2だけ増えて,5になります。
五年目には,最初のペアと,二年後に生まれたペアと,三年後に生まれたペアの子供がそれぞれでき,四年後に生まれた2ペアが成熟します。よって,ペアの数は3増えて,8になります。

 この繰り返しです。ペアの数だけ,書き並べた数列は次のようになります。

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,・・・

 皆さんも気付いていらっしゃると思いますが,ある年のペアの数は,その前の年と,そのまた前の年の和になっています。つまり,
1+1=2
  1+2=3
    2+3=5
      3+5=8
        5+8=13
・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・
という構造になっているわけです。

 高校時代に教わった漸化式を利用すると,この数列の第(n-2)項,第(n-1)項,第n項の関係を表す式は次のようになります。
 この数列の第n番目の数(n年目の兎のペアの数),第n項をf(n)と表すことにすると,
f(1)=1,f(2)=1,
f(n)=f(n-2)+f(n-1) nはn≧3の自然数

 驚くことに,フィボナッチ数は私たちの身のまわりに存在していたのです。

 なんと,花びらや葉,木の枝などはフィボナッチ数になっているそうです。植物や樹木がフィボナッチ数を選ぶのは自分自身を守るためなのだそうです。

 植物や樹木が育つためには,光と水,栄養分の三要素が必要です。これらの要素が自身の体に行き渡るように,花びらや葉っぱの枚数,枝の数はフィボナッチ数でなければならないそうです。なぜフィボナッチ数だと都合がよいかの理由については,下記資料をご覧下さい。非常に興味深く,ここに書いた以外にもあるフィボナッチ数列の秘密が中学生にも,分かりやすく解説されています。

一部引用および参考資料:
吉田 武
虚数の情緒―中学生からの全方位独学法
』 東海大学出版会 P436~P441
6.5.4 フィボナッチの数列
6.5.5 黄金数とフィボナッチ数の精妙な関係




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