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数列のきまりを見つける
数列のきまりを見つける posted from フォト蔵

 最近は,数列や模様などの規則性に関する入試問題が出ているようです。いくつかの例から,パターンをつかみ,一般化して規則を推理していくような問題は,時間の限られた入学試験では,「難問」になりやすい問題だと思われます。焦れば焦るほど,規則性がつかめず,受験生を奈落の底に突き落としそうです。

 図の赤丸で囲んだ数字のn番目を式で表してみて下さい。
垂直方向の数列を左から「1列目,2列目,3列目,・・・」,水平方向の数列を上から「1行目,2行目,3行目,・・・」,m行n列目のマス目に入る数をN(m,n)と表すことにします。

 1行目に並んだ数は,規則を見つけやすいと思います。皆さんもお気付きのことと思います。そうです。平方数(何かある自然数の2乗になっている数)が並んでいます。1行目のn列目はN(1,n)と表される約束ですから,

N(1,n)=n^2(nの2乗)

と表すことができます。

 次に,1行目に並んだ数は,どんな数になっているかを考えてみましょう。これは,この列に並ぶ数字「1,2,5,10,17,26,・・・」だけを見ていてもきまりは見つけにくいと思います。数字は縦と横の2方向だけでなく,斜めに見たり,カギの手に見たりすることも必要な場合もあります。

この問題の場合は,カギの手(Jの字形)に眺めることによって,黄色い行の数と次のカギの手の数の1列目の数が連続した数になっていることに気付きます。そして,1列目の数からカギの手に右方向,上方向に,順に数字をたどっていくと,連続した数になっていて,最後は,必ず1行目の平方数に辿り着きます。

以上の観察を踏まえて,1列目のn行目の数N(1,n)とn行,n列目の数N(n,n)を求めてみます。n行,n列目の数N(n,n)は,つまり赤丸の数字のことです。カギの手の左端(1列目の数)から赤丸の数までは,1行目なら1個,2行目なら2個,3行目なら3個,4行目なら4個,・・・,n行目ならn個の数が並んでいます。同じように黄色い行の平方数から赤丸の数までは,1列目なら1個,2列目なら2個,3列目は3個,4列目は,4個,・・・,n列目はn個の数が並んでいます。

 N(n,1)は,黄色い行に並んだ1行,(n-1)列目の平方数プラス1ですから,

N(n,1)=(n-1)^2+1 ※ 「^2」は「~の2乗」という意味です。


 赤丸の数になるn行n列目の数N(n,n)は,この1列目の数から数えてn個目と考えられるので,
N(n,n)=N(n,1)+(n-1)
=(n-1)^2+1+(n-1)
=(n-1)^2+n

文字が入ると,とたんに文章が読み取りにくいですね。ここまで解読して下さった皆様お疲れ様でした。

この問題の原題は,次の(1)~(3)までの問題が並んでいました。

(1)N(1,n)=n^2であることに注目して,N(10,1)が表す数を求めなさい。
(2)N(6,8)が表す数を求めなさい。
(3)N(m,n)=115のとき,mとnの値を求めなさい。ただし,途中の計算も書くこと。

 ちなみに私が解いた答は,(1)82 (2)59 (3)m=7,n=11
というものです。まだ,余力のある読者の皆さん,チャレンジしてみて下さい。

 

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