数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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 メビウスの帯(メビウス・バンド)のことを知っている中学生は,ほとんどいません。最近は,テレビ等で話題になるようなこともないので無理からぬことではあります。私自身が,この帯のことを知ったときに「へぇー!」と思ったので,今日は,選択数学を受講している3年生に作らせてみました。

よく知られているメビウス・バンドの作り方を説明します。

 テープのような紙を用意して,ひとひねりしたら,輪を作ります。これでいちおうメビウス・バンドのできあがりです。

バンドに沿って,面を鉛筆で辿っていくとひとまわりしたときには,いつの間にか裏側に着いてしまいます。このため,メビウスバンドは,裏と表の区別が付かない面という風に言われます。しかし,これは,数学的には正しい言い方ではないのだそうです。

なぜなら数学でいう「面」の概念は,厚さというものがないので,どんな面でも裏表を考えられないそうです。しかし,厚さのない面のモデルなら作ることができます。それが,次の2重メビウス・バンドです。

2重メビウス・バンドの作り方を説明します。

2枚のテープ状の紙を用意し,重ねて同時にひとひねり。これで2重になったメビウス・バンドを作ることができます。

この2重の帯に挟まれた空間があることを2つの帯の間にもう1枚の紙を差し込んで確認してみて下さい。この2重の帯に挟まれた空間こそ本物に限りなく近いメビウス・バンドなのだそうです。

「裏表の区別が付かない」という言い方を,数学的に厳密に言い換えると,「向き付け不能」というのだそうです。この「向き付け不能」という概念を確認する模型も作れます。それが,次の透明なプラスチックシートで作るメビウス・バンドです。


メビウス・バンド
メビウス・バンド posted from フォト蔵


作り方を説明します。

透明なプラスチックシートは,クリアファイルを使いました。これなら100円ショップ等に必ずあります。OHPシートでもよいそうです。これをバンド状に切り,メビウスバンドを作ります。そして図のように矢印を記入したリングを巻きます。これでできあがりです。

「向き付け不能」性を確認するには,矢印を記入したリングをバンドに沿った方向の矢印の向きにひとまわりさせます。すると,スタート位置に戻ってきたときには,もう一方の矢印(バンドを横断する方向の矢印)の向きが逆向きになるのを確認できます。

選択数学では,鉛筆でたどったメビウス・バンドを鉛筆の線に沿って,ハサミを入れたり,同じ切り方でもう1回,2回と切らせてみました。生徒は,2つの輪に別れていると思っていたのが,ひねりが加わった形で1つの輪になったり,チェーンになって繋がる様子に感動していました。


参考資料:小沢 健一, 数学教育協議会算数・数学おもちゃ箱―作って・さわって・遊ぶ  P92 メビウスの帯



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