数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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正多面体
正多面体 posted from フォト蔵

 当校で現在使用している教科書では,5種類の正多面体が残念な扱いになっています。教科書の裏表紙に申し訳程度に載っているだけです。正多面体は,数学史や工作を取り入れることができ,普段,数学が苦手な生徒も意欲を持って取り組むことができる題材でした。もし,指導計画にゆとりがあるなら,授業で取り上げる価値は大いにあると思います。
 
 5種類の正多面体の(面の数),(頂点の数),(辺の数)の間にはある共通した関係が成り立ちます。今日は,この関係について考えてみます。

 ところで,正多面体の(頂点の数)や(辺の数)を数えるのは,案外ややこしいです。面の数が多くなればなるほど難しくなります。コツを知らないと1度数えた頂点や辺を2度,3度数えてしまうことになります。
 
 正十二面体の辺の数や頂点の数を例にして,そのコツをご紹介します。

① 正十二面体は一つ一つの面が正五角形であり,正五角形は5本の辺を持っています。5本ずつ辺を持つ正五角形が十二面あるので,
5×12=60(本)

② ところが,一つの正五角形の一本の辺に目をつけると,その辺は隣り合うもう一つの正五角形の辺にもなっています。どの一本の辺も二つの正五角形が共有しているわけです。

③ ①の計算では,1つの辺を2回ずつ数えたことになります(ダブルカウント)ので,実際には,半分の本数,つまり,
60÷2=30(本)

④次に頂点の数については,一つの正五角形だと,5個の頂点があり,12個の正五角形では,
5×12=60(個)

⑤ところが,1つの正五角形の1つの頂点に目をつけると,その頂点のまわりに3つの正五角形が集まっています。つまり,④の計算だと,1つの頂点を3回ずつ数えていることになります。

⑥トリプルカウント(同じ頂点を3回も数えていること)を1回分になおして,
60÷3=20(個)

 他の正多面体についても,同じ様に考えることによって,上の表が完成できるわけです。

 表が完成したところで,いよいよ「辺の数と頂点の数と面の数の間の関係」について考えます。勘のいい方は,お気づきだと思います。実は,次の関係が成り立ちます。

 (辺の数)=(面の数)+(頂点の数)-2
 または,(面の数)+(頂点の数)-(辺の数)=2
 
 この関係を発見者の名前を付けて『オイラーの多面体定理』というのだそうです。ちなみにこの関係の覚え方もあります。
 「線は,帳面に引く」という覚え方です。「帳面」というのは,ノートのことです。
 「線」を「辺の数」,「帳」を「頂点の数」,「面」を「面の数」,「帳面」とくっつけるのは,「頂点の数」+「面の数」と考えます。「に引く」は「2を引く」と考えればよいわけです。

 ついでに,『博士の愛した数式』でも度々登場する十八世紀の大数学者オイラーさんについて調べてみました。先日,ご紹介した『
吉田 武
虚数の情緒―中学生からの全方位独学法
』P584~P586を参考にしてまとめてご紹介したいと思います。。

 オイラーさんの名前は,Leonhard Euler(れおんはると おいらー)といいます。
1707年4月15日に,牧師さんの子供としてスイスのバーゼルで生まれました。牧師の後を継がせるため,父親は息子のオイラーをバーゼル大学に入学させます。当時名声の高かった「ヨハン・ベルヌーイ」の講義に魅せられたオイラーは数学に夢中になります。

その後の劇的な生涯を追ってみます。
19歳   パリ科学アカデミーのアカデミー賞を受賞,翌年,ロシアへ移住
1735年 右目の失明
1741年 ロシアから脱出してペルリン科学アカデミーへ
1744年 ベルリン科学アカデミーの数学部長に就任
1766年 再びロシアへ
1773年 左目の白内障の手術を受けるが,左目も視力を失う

 そして,1783年9月7日,天王星の軌道計算について,息子の家族と食事中に語っている最中に突然,銜えていたパイプを落とし,そのまま亡くなりました。
 
 「人が呼吸をするが如く,鷲が空を舞う如く,オイラーは計算をした」

と称せられるほど,ひたすら数学の道を突き進んだそうです。

 オイラーは,数学だけでなく物理学の分野でも輝かしい業績を残しており,彼の名前の付いた方程式や,数,公式などがたくさんあります。今日ご紹介した「オイラーの定理」もその一部です。数学で使う表記法の開発にも優れ,定数のe,i,関数記号のf(χ)などもオイラーの発案だそうです。ガウスと並び,「数学王」と呼ばれています。



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