数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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 最近,学校の職員研修用に

吉田 武
虚数の情緒―中学生からの全方位独学法

という本を購入してもらいました。この本の中に「階乗といろは歌」について書かれた章があります。いろは歌を調べているのには,理由があります。実は,今週の全校朝会で,校長先生が全校生徒に出した宿題がこのいろは歌を調べてくるというものだったのです。校長先生が「「いろは歌を知っている人,いますか?」と訊いたところ,生徒会長のH君が手を挙げ,スラスラと答えていました。H君には負けられないと私も調べていたところ,この本に出会いました。

この本に書いてあることを受け売りすれば,いろは歌は47文字を1文字ずつ使って作れる47!(47の階乗)通りの中の1つだというのです。では,47!通りというのは,どのくらい大きな数なのか,試しにエクセルで計算させてみたところ,
47!=2.58623E+59
と表示されてしまいました。エクセルも降参してしまうほどのとてつもなく大きな数なのでしょう。「兆」の10個も上の単位の恒河沙(コウガシャ?)という単位になるのだそうです。明治三十六年にいろは歌の一般公募があったそうです。47文字を重複なく一文字ずつ使って意味のある歌をつくるのは,相当な難問だろうと思います。

 いろは歌は,47文字を使って次のように歌われています。

いろはにほへと 色は匂へど
ちりぬるを 散りぬるを

わかよたれそ 我が世誰ぞ
つねならむ 常ならむ

うゐのおくやま 有為の奥山
けふこえて 今日越えて

あさきゆめみし 浅き夢見じ
ゑひもせす 酔ひもせず

このいろは歌には,意外な意味の「暗号」が隠されています。教務室で席が隣りの国語の先生に教えてもらいました。読者の皆様の中にはご存知の方もいらっしゃるかと思います。いろは歌の文字を頭から7つ目,次も7つ目,その次も7つ目というふうに順番に拾っていきます。すると,意味のある文章になります。やってみましょう。

いろはにほへ 色は匂へど
1 2 3 4 5 6 7
ちりぬるを 散りぬるを
1 23 4 5
よたれそ 我が世誰ぞ
6 7 1 2 3 4
つねらむ 常ならむ
5 6 7 1 2
うゐのおやま 有為の奥山
34 5 6 712
けふこえ 今日越えて
3 4 5 6 7
あさきゆめみ 浅き夢見じ
1 23 4 5 67
ゑひもせ 酔ひもせず
1 2 3 4 5

最後は,5文字目の「す」を拾います。

「と」「か」「な」「く」「て」「し」「す」
「とかなくてしす」
「罪無くて死す」

いかがですか?ご存知でしたか?

【階乗についての解説】
「階乗」については,以前この場で書いていますが,例えば,「4の階乗」ならば,
4!と書き,次のように計算します。
 
4!=4×3×2×1=24

 いくつか「階乗」の計算をしてみます。
2!=2×1=2
3!=3×2×1=6
4!=4×3×2×1=24
5!=5×4×3×2×1=120
6!=6×5×4×3×2×1=720
7!=7×6×5×4×3×2×1=5040
8!=8×7×6×5×4×3×2×1=40320
9!=9×8×7×6×5×4×3×2×1=362880
10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3628800




たった「10の階乗」で,すでに「三百六十二万八千八百」にもなってしまうわけです。
ビックリするほど大きくなるので「!」マークが付いているのだと高校の先生から教わった記憶があります。ところで,この「!」は日本語では,「階乗」ですが,英語だと「Factorial(ファクトリアル)」と読みます。

 「階乗」は,いくつかのものを左から順番に並べる場合の並べ方の数を表しています。

試しに「す」「う」「が」「く」の4文字を1列に並べる並べ方の総数が,
本当に,4!=24(通り)になるかどうか調べてみます。
 
(1)先頭が「す」の場合
すうがく
すうくが
すがうく
すがくう
すくうが
すくがう
 ∴6通り

(2)先頭が「う」の場合
うすがく
うすくが
うがすく
うがくす
うくがす
うくすが
 ∴6通り

(3)先頭が「が」の場合
がすうく
がすくう
がうすく
がうくす
がくすう
がくうす
 ∴6通り

(4)先頭が「く」の場合
くすうが
くすがう
くうがす
くうすが
くがうす
くがすう
 ∴6通り

 確かに24通りありました。4!=24

これは,次のように考えることもできます。
「す」「う」「が」「く」の四文字のうち,
一番左に置く文字の選び方が4通りあって,
左から2番目に置く文字の選び方が1番目に置いた文字をのぞく3通りあって,
左から3番目に置く文字の選び方が1番目,2番目に置いた文字をのぞく2通りあって,
最後の4番目に置く文字の選び方は,すでに3文字使ってしまっているので,1通りに決まってしまいます。
 4通り,3通り,2通り,1通りを順番にかけると4×3×2×1=4!=24になりますね。

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