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ヒポクラテスの月
ヒポクラテスの月 posted from フォト蔵

 古代ギリシャの数学者ヒポクラテス(紀元前470年~400年頃)は,図の月形の面積について,次のようなことに気がついたそうです。

「直角三角形△ABCの3辺BC,CA,ABが直径になる3つの半円をかいたとき,直角をはさむ2辺上の月形ア,イの面積の和は,この図の中のある図形の面積に等しくなりそうだなあ。」

ある図形というのが,どの図形か皆さんは想像がつきますか?予想を立ててみてください。

ご存知の方もいらっしゃると思います。実は,この図について,

(月形アの面積)+(月形イの面積)=(直角三角形ABCの面積)

という関係式が成り立ちます。皆さんの予想は当たりましたでしょうか?

 複数の円弧で囲まれた曲線図形が,直線で囲まれた三角形と面積的に等しいというのは,美しくも不思議な関係です。円弧で囲まれた図形なのに,その値には円周率πが含まれないというのは,本当に不思議としかいいようがありません。

 「博士の愛した数式」に登場する博士ではありませんが,まさしくこれは神様が,遙か太古の昔に見つけた定理で,人間が見つけてくれるのをいまかいまかと待っていた定理なのに違いありません。三平方の定理を知ったヒポクラテスが定理を発展的に考えることによって発見したのでしょう。

選択教科の数学受講生向けの課題として,また,普段の授業での発展課題として考えさせることによって,この「ヒポクラテスの月」の美しさや不思議さ,ヒポクラテスの発見のすばらしさ等を感得させることができると思います。

それでは,この「ヒポクラテスの月」を証明してみましょう。
直角三角形ABCの直角をはさむ2辺の長さを2a,2b,斜辺の長さを2cとおきます。図をよく観察すると,
(月形アの面積)+(月形イの面積)
=(この図形全体の面積)-(斜辺を直径に持つ半円の面積)
={(直径2aの半円の面積)+(直径2bの半円の面積)
  +(直角三角形ABCの面積)}-(直径2cの半円の面積)

の関係が成り立ちますから,この式の右辺を文字式に直して計算を進めてみます。

={1/2πa^2+1/2πb^2+1/2×2a×2b}-1/2πc^2 ・・・①
 ※ いつものように「○^2」は,「○の2乗」を表しています。

 ここで,直角三角形ABCに三平方の定理を使うと,
(2c)^2=(2a)^2+(2b)^2
2c×2c=2a×2a+2b×2b
4c^2=4a^2+4b^2
c^2=a^2+b^2・・・②

 ②を①のc^2に代入して,整理していきます。
①={1/2πa^2+1/2πb^2+1/2×2a×2b}-1/2π(a^2+b^2)
 =1/2πa^2+1/2πb^2+1/2×2a×2b-1/2πa^2-1/2πb^2
=1/2×2a×2b

1/2×2a×2bは,直角三角形ABCの面積を表していますから,めでたく,

(月形アの面積)+(月形イの面積)=(直角三角形ABCの面積)

の関係が確かめられました。


参考文献:中学校 数学3 教科書および教師用指導書 大日本図書


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