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相似を利用した三平方の定理の証明
相似を利用した三平方の定理の証明 posted from フォト蔵

 直角三角形の直角の頂点から斜辺に下ろした垂線を引くと,もとの直角三角形と相似な三角形が2つできます。

 この上の図を使うと,ピタゴラスの定理三平方の定理)が証明できます。もし,時間があるなら,どのように証明するか,次の解説を読む前にまず考えてみてください。

 インドのバースカラ(1114年~1185年頃),イギリスのWallis(1685年),日本の会田安明(1810年)が同様な証明を残しているそうです。

 はじめに△ABCと△DBAの相似を証明してみましょう。(   )内にあてはまる記号やことばを埋めながら考えてみてください。

△ABC∽△DBA,△ABC∽△DAC の証明
 △ABCと△DBAで,
∠BAC=∠(    )=90°・・・①
∠ABC=∠(    ) (共通角)・・・②
 三角形の相似条件(              )がいえたので,
△ABC∽△DBA

 同じ様にして,△ABC∽△DACもいえる。

空欄の解答例:BDA,DBA,2組の角がそれぞれ等しい(こと)

 中学生(受験生)の皆さんは,この「同じ様にして」という部分を上の証明をマネてノートに書いてみることをおすすめします。

 それでは,相似な三角形の相似比を利用してピタゴラスの定理を証明してみます。

ピタゴラスの定理の証明
△ABC∽△DBAなので,対応する辺の比が等しいことから
AB:BC=DB:BA
(内項の積)=(外項の積)という比例の性質を使うと,
AB・BA=BC・DB
BA=ABなので,
AB^2=BC・DB  ・・・③  ←この式で,「^2」は「2乗」,「・」は「×」の意味

また,△ABC∽△DACなので,対応する辺の比が等しいことから
AC:BC=DC:AC
(内項の積)=(外項の積)という比例の性質を使うと,
AC^2=BC・DC  ・・・④

③,④を辺〃(ヘンペン)加えます。(左辺どうし,右辺どうしを加えるということ)
AB^2+AC^2=BC・DB+BC・DC
     =BC(DB+DC)
     =BC・BC   (DB+DC=BCだから)
     =BC^2
∴AB^2+AC^2=BC^2

参考文献:森下 四郎 ピタゴラスの定理 100の証明法―幾何の散歩道

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